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RISPOSTE DOMANDE TEORICHE - ESAME DI STATICA

Prof. Addessi - Ingegneria Edile-Architettura, Sapienza

DOMANDA 1: Vincoli e equazioni di vincolo. Dimostrazione con esempio (spostamenti

infinitesimi)

Definizione di Vincoli

I vincoli sono dispositivi meccanici che limitano i movimenti relativi tra corpi o tra un corpo e un riferimento

fisso, impedendo alcuni o tutti i gradi di libertà.

Equazioni di Vincolo

Le equazioni di vincolo sono relazioni matematiche che esprimono le restrizioni cinematiche imposte dai

vincoli. Per un corpo rigido piano (3 gdl: 2 traslazioni + 1 rotazione), un vincolo elimina uno o più gradi di

libertà attraverso equazioni.

Tipi di vincoli piani:

Carrello: impedisce 1 gdl (spostamento normale alla direzione di scorrimento)

Cerniera: impedisce 2 gdl (entrambe le traslazioni)

Incastro: impedisce 3 gdl (traslazioni e rotazione)

Dimostrazione: Equazione di vincolo lineare sotto ipotesi di spostamenti infinitesimi

Esempio: Pendolo rigido incernierato

Consideriamo un'asta rigida AB di lunghezza L, incernierata in A e libera in B. L'asta può ruotare attorno ad A.

Coordinate:

Punto A: origine (0, 0)

Punto B: coordinate (x_B, y_B)

Angolo θ rispetto all'orizzontale

Vincolo cinematico: La distanza AB deve rimanere costante e pari a L.

L'equazione di vincolo esatta è:

x_B² + y_B² = L²

Linearizzazione per spostamenti infinitesimi:

Configurazione iniziale: B₀ = (L, 0) [asta orizzontale]

Configurazione spostata: B = (L + u_B, v_B)

dove u_B e v_B sono spostamenti infinitesimi.

Sostituendo nell'equazione di vincolo:

(L + u_B)² + v_B² = L²

L² + 2L·u_B + u_B² + v_B² = L²

Trascurando i termini di ordine superiore (u_B², v_B²) essendo infinitesimi:

2L·u_B = 0 → u_B = 0

Equazione di vincolo linearizzata: u_B = 0

Questa è l'equazione di vincolo lineare che esprime che, per piccoli spostamenti, il punto B non può spostarsi in

direzione radiale (lungo l'asta), ma solo tangenzialmente.

Significato: Sotto l'ipotesi di spostamenti infinitesimi, le equazioni di vincolo non lineari diventano lineari negli

spostamenti, semplificando notevolmente l'analisi.

DOMANDE 2, 4, 6, 13: Equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana

Definizione

Le equazioni indefinite di equilibrio (o equazioni differenziali di equilibrio) mettono in relazione le

caratteristiche della sollecitazione con i carichi distribuiti lungo la trave.

Derivazione

Consideriamo una trave piana soggetta a:

carico distribuito p(x) in direzione verticale

carico distribuito q(x) in direzione assiale

Consideriamo un elemento infinitesimo dx della trave in posizione x.

Forze agenti sull'elemento:

Taglio: T(x) a sinistra, T(x) + dT a destra

Momento: M(x) a sinistra, M(x) + dM a destra

Sforzo normale: N(x) a sinistra, N(x) + dN a destra

Carico distribuito: p(x)dx (verticale) e q(x)dx (assiale)

Equilibrio alla traslazione verticale:

T(x) - [T(x) + dT] + p(x)dx = 0

-dT + p(x)dx = 0

dT/dx = -p(x)

Equilibrio alla traslazione orizzontale:

N(x) - [N(x) + dN] + q(x)dx = 0

dN/dx = -q(x)

Equilibrio alla rotazione (polo nel baricentro):

M(x) - [M(x) + dM] + T(x)dx + (dT/2)dx² + ... = 0

Trascurando gli infinitesimi di ordine superiore:

-dM + T(x)dx = 0

dM/dx = T(x)

Equazioni indefinite di equilibrio:

dN/dx = -q(x)

dT/dx = -p(x)

dM/dx = T(x)

Commento sull'impiego

Utilizzo:

1. Calcolo delle caratteristiche della sollecitazione: Integrando le equazioni si ottengono N(x), T(x), M(x)

nota la distribuzione dei carichi

2. Verifica dell'equilibrio: Le equazioni devono essere soddisfatte in ogni sezione

3. Condizioni al contorno: Permettono di imporre le condizioni ai vincoli e nei punti di discontinuità

Dalla seconda equazione: Se p = 0 (assenza di carico trasversale) → T = costante Se p > 0 (carico verso il

basso) → T decrescente

Dalla terza equazione: Il momento ha derivata pari al taglio, quindi:

Dove T > 0 il momento cresce

Dove T = 0 il momento ha un estremo (massimo o minimo)

Il diagramma del momento è curvilineo se T varia

Integrazione successiva: Dalla seconda: T(x) = T₀ - ∫p(ξ)dξ Dalla terza: M(x) = M₀ + ∫T(ξ)dξ

DOMANDE 3 e 5: Forze interne e caratteristiche della sollecitazione

Definizione di Forze Interne

Le forze interne sono le azioni che si scambiano reciprocamente le parti in cui un corpo può essere idealmente

suddiviso. In una trave, per analizzare le forze interne, si esegue un taglio ideale in corrispondenza di una

sezione e si considerano le azioni che la parte a sinistra esercita su quella a destra (o viceversa).

Metodo delle Sezioni

Per determinare le forze interne in una sezione:

1. Si esegue un taglio ideale nella sezione considerata

2. Si isola una delle due parti

3. Si rappresentano le forze interne incognite

4. Si scrivono le equazioni di equilibrio

Caratteristiche della Sollecitazione

Per una trave piana, le caratteristiche della sollecitazione sono tre componenti:

1. Sforzo Normale N(x)

Componente della forza interna parallela all'asse della trave

Positivo se di trazione (tende ad allungare la trave)

Negativo se di compressione (tende ad accorciare la trave)

2. Taglio T(x)

Componente della forza interna ortogonale all'asse della trave

Positivo secondo la convenzione: genera rotazione oraria nella parte destra

Responsabile delle tensioni tangenziali

3. Momento Flettente M(x)

Momento della coppia interna rispetto al baricentro della sezione

Positivo se produce compressione nelle fibre superiori e trazione in quelle inferiori

Responsabile delle tensioni normali di flessione

Convenzioni di segno

Sforzo Normale:

N > 0: trazione

N < 0: compressione

Taglio:

T > 0: verso l'alto sulla faccia destra del concio

T < 0: verso il basso sulla faccia destra del concio

Momento:

M > 0: tende le fibre inferiori (concavità verso il basso)

M < 0: tende le fibre superiori (concavità verso l'alto)

Relazione con i carichi

Le caratteristiche della sollecitazione variano lungo la trave in funzione dei carichi applicati, secondo le

equazioni indefinite di equilibrio precedentemente derivate.

DOMANDA 7: Secondo Corollario del Teorema dei Lavori Virtuali

Enunciato

Secondo Corollario del TLV (Principio degli Spostamenti Virtuali):

Un sistema di corpi rigidi soggetto a vincoli ideali è in equilibrio se e solo se il lavoro virtuale compiuto dalle

forze attive è nullo per ogni atto di moto virtuale compatibile con i vincoli.

Matematicamente:

δL = δL_attive = 0 atto di moto virtuale ammissibile

∀

Dimostrazione

Ipotesi: Vincoli ideali (forze reattive ortogonali agli spostamenti virtuali)

Dal Teorema dei Lavori Virtuali (forma generale):

δL_totale = δL_attive + δL_reattive = 0

Per vincoli ideali: δL_reattive = 0 (le reazioni sono ortogonali agli spostamenti virtuali ammissibili)

Quindi:

δL_attive = 0

Viceversa: Se δL_attive = 0 per ogni atto di moto virtuale ammissibile, il sistema è in equilibrio.

Dimostrazione del viceversa:

Supponiamo che δL_attive = 0 per ogni atto di moto virtuale.

Per il TLV generale: δL_totale = δL_attive + δL_reattive = 0

Se i vincoli sono ideali: δL_reattive = 0

Quindi: δL_attive = 0 è condizione necessaria e sufficiente per l'equilibrio.

Inoltre, se δL_attive = 0 per ogni atto di moto virtuale linearmente indipendente, le equazioni di equilibrio

cardinali sono soddisfatte, quindi il sistema è in equilibrio.

Esempio Applicativo

Sistema: Trave AB incernierata in A e appoggiata su un carrello in B, con carico concentrato P nel punto medio

C.

Dati: Lunghezza: L

Carico: P verticale in C (a distanza L/2 da A)

Incognita: reazione verticale R_B

Soluzione con il II Corollario:

Atto di moto virtuale: Rotazione virtuale δθ attorno alla cerniera A.

Spostamenti virtuali:

Punto C: δv_C = (L/2)·δθ (verso l'alto se δθ > 0)

Punto B: δv_B = L·δθ (verso l'alto se δθ > 0)

Lavoro virtuale delle forze attive:

δL_attive = -P·δv_C = -P·(L/2)·δθ

Lavoro virtuale