Transitorio e sinusoidale

Dal punto di vista ingegneristico dopo un tempo pari a 10 volte la costante di tempo la

corrente è diventata 10^(-5), cioè trascurabile

RC dimensionalmente deve essere un tempo proprio perché l’argomento di

un’esponenziale non può essere dimensionale

Verifichiamo con l’analisi dimensionale:

Visto che all’interno di questo circuito non ci sono generatori questa corrente che

circola darà luogo a dissipazioni per effetto joule su R. allora ci deve essere

qualcuno che mette in gioco questa energia e questa energia è proprio l’energia

immagazzinata dal condensatore. E calcoleremo l’energia immagazzinata dal

condensatore calcolando l’energia totalmente dissipata dal resistore dato che

dovranno essere la stessa visto l’assenza di generatori. L’energia sarà calcolata

da 0 —> inf dato che a rigore la corrente sarà 0 a piu infinito (mentre

ingegneristicamente molto prima)

Pensa al condensatore come ad un secchio d’acqua che scarica. Se inizialmente ho 10 litri

posso solo modificare la velocità di scarico (10RC) ma non posso scaricare più di 10 litri

Voglio calcolare l’ ENERGIA DISSIPATA dal Resistore o IMMAGAZZINATA dal

Condensatore :

L’istante di tempo considerato non è importante e neanche il riferimento

della tensione, quindi all’istante t* se un condensatore è sottoposto alla

tensione vc(t*), la sua Energia immagazzinata sarà pari a :

Il condensatore è in grado di immagazzinare energia perché è in grado di mantenere la circolazione di

corrente in circuito privo di generatori per un intervallo di tempo infinito (che in realtà abbiamo visto

essere 10-100 volte la costante di tempo e dopodiché la corrente diventerà irrilevante).

Spiegazione del perché il condensatore immagazzina energia :

Si supponga un condensatore a facce piane e parallele inizialmente scarico (V=0). Si supponga di

volerlo caricare e di voler arrivare ad una situazione finale in cui l’armatura sup è carica positivamente

e quella inf è carica negativamente. Che dovrò fare? Attraverso un generatore ,per esempio, partendo

da una situazione di neutralità devo prendere una carica positiva e la sposto da un’armatura all’altra,

poi un’altra e così via. Se sottraggo cariche positive all’armatura inf questa si carica negativamente, se

io cedo cariche positive all’armatura sup questa si carica positivamente. Ma man mano che faccio

questo, già da dopo la prima carica, nasce un campo elettrico (che andrà dall’arm pos a quella neg). E

questo significa che a partire dalla situazione iniziale di neutralità, nel momento in cui sposto cariche

positive dall’arm inf a sup ,io mi muovo contro le forze del campo (compio un lavoro) e se questo

lavoro è idealmente senza perdite (circuito elettrico senza resistenze) me lo dovrò trovare da qualche

parte. Me lo trovo immagazzinato sotto forma elettrostatica (è il campo elettrico nel condensatore che

immagazzina questa energia) perché ho speso energia per caricarlo (esempio di conservazione en

meccanica col masso). Finito il processo di carica, se collego le 2 arm con un resistore, questo verrà

attraversato da una corrente proprio perché mi restituirà l’energia immagazzinata (esempio energia

accumulata e restituita con una molla).

Le 2 arm del condensatore se non sono fissate, una volta cariche, tenderebbero ad avvicinarsi (per

quelle si fissano) e quindi potrebbero compiere lavoro meccanico. Esistono condensatori tempo

varianti (la capacità C varia nel tempo) e tempo invarianti (la capacità C rimane costante)

La corrente di un

condensatore può

essere discontinua

La tensione di un condensatore

deve essere continua

[Volt]

La tensione ai capi di un condensatore deve essere continua

La corrente degli induttori deve essere continua

Perché deve essere continua?

Secondo te è possibile che l’acqua in un secchio a t0- (5 litri) sia diversa a t0+ (10 litri) ? Se

fosse vero significherebbe che in un istante di tempo infinitesimo si avrebbe una portata

principio di continuità dell’energia

infinita, cosa fisicamente impossibile. Quindi da un

scaturisce il principio di continuità delle tensioni ai capi dei condensatori. Questo

perché le tensioni sono collegate all’energia immagazzinata di un condensatore per un

fattore di 1/2*C*V0

Come si spiega la discontinuità sulla corrente di un condensatore?

La corrente di un condensatore non ha nessun collegamento di tipo

energetico, non è una Variabile di stato!

Variabili di stato: variabili di

In circuiti reali le

stato continue.

devono essere

• Tensioni ai capi dei condensatori Tutte le altre variabili possono

• Correnti degli induttori essere discontinue

EN. IMMAGAZZ. in un Induttore :

Circuiti :

RC - resistenza e condensatore

RLC - resistenza, induttore e condensatore

Abbiamo risolto il circuito RC usando 2 equazioni:

1 ottenuta in termini di ic(t)

1 ottenuta in termini di vc(t)

Abbiamo fatto molto più veloce con il 2 modo (la difficoltà della

determinazione di K è stato diverso) e non è un caso. Risolvendo in

termini delle variabili di stato è meno contoso

Consiglio spassionato

È sempre conveniente scrivere le equazioni in termini di variabili di

stato (si dice anche “usare come variabili d’integrazione le variabili di

stato”), perché posso sfruttare la condizione di continuità all’istante 0

(è l’istante in cui avviene il fenomeno che dà inizio al cosiddetto

Transitorio)

TRANSITORIO: fa pensare a qualcosa che si estingue

costante di tempo circuito RL

L’equivalente della in un ? Nel

L/R

circuito RC era RC, qui invece sarà

Verifica dimensionale:

Esempi Casi patologici: Condensatori in

parallelo o induttori in serie (li forzo ad avere

correnti uguali, ma ognuno di loro possiede una

sua corrente e questo porterebbe ad

ammettere che nasca una discontinuità nella

corrente degli induttori e questo è assurdo dato

che è una variabile di stato)

Cosa succede all’istante t=0 chiudo l’interruttore. Cosa succede? Starei provocando io una discontinuità ai capi del condensatore. Sto

dicendo fino a t0- la tua tensione è di 5V, poi in un istante diventa 12V. Dammi una discontinuità di 7V. Questo non è possibile xche starei

ammettendo una corrente impulsiva, cioè infinita!

Questo è un circuito patologico perché non è reale, perché in un circuito reale ci sarà anche se piccola una resistenza di collegamento nella

maglia! Non si mette quindi un condensatore in parallelo con un generatore di tensione (serve una resistenza in mezzo), cosi assicuro che

la tensione ai capi del condensatore rimanga continua

Un circuito patologico non è un circuito reale (xche privo di resistenza). Nella realtà voglio tendere ad un

circuito a bassa resistenza ma non potrò mai annullarla, avrò sempre una resistenza di collegamento

Circuito della lezione precedente ma con un generatore di tensione

In generale il termine noto delle equazioni differenziali a cui perverremo è una

combinazione lineare dei forzamenti presenti nella rete e/o delle loro derivate

Condensatore inizialmente scarico