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Equazione del primo principio della termodinamica per sistemi aperti

N C• P ±G ≃ −e(e + e ) 0, in quanto e e trascurabili perché essendoci conservazione delle masse:k c p k c pk=1 −G = G = G =⇒ G(e e ) = 0 =⇒ e = e1 2 c2 c1 c1 c2• W (t) = 0 (trascurabile)aSotto queste ipotesi si ha: dp dp−→ −VW (t) + V = 0 W (t) =t tdt dtintegrando: Z Zdp −− dt = V dpL (P ) = Vt dtΓ Γin forma massica: Z−l (P ) = vdpt Γ• −→se dp > 0 l (P ) < 0 dall’esterno al sistema quindi compressione.t 34• −→se dp < 0 l (P ) > 0 dal sistema all’esterno quindi espansione.tRilassando le ipotesi semplificative: NC dp dE dEc p X−V − − − ±G −W (t) = W (t) (e + e ) W (t)t 0 k c p k adt dt dtV C V C k=1• dE > 0: sottrattivose cdt• dE < 0: additivose cdt1.18.4 Equazione del primo principio della termodinamica per sistemi apertiPossiamo scrivere (in forma di potenza):dU dE dU dEc

cs d− −Φ(t) W (t) = + =⇒ Φ(t) [W (t) + W (t)] = +SE SE SEdt dt dt dtdU dE dEc ps−Φ(t) W (t) = + +SE dt dt dttutti questi contributi sono termini che si modificano nel caso di sistemi aperti:sW (t) = W (t) + W (t) + W (t)t 0 SPSE NC dU dU X ±G · u= + k kdt dt V C k=1NC dE dEc c X ±G · e= + k ckdt dt VC k=1NC dEdE pp X ±G ·= + ek p kdt dt V C k=1sostituendo, si ottiene: NC d(U + E + E )c p X ±G ·− + (u + e + e )Φ(t) [W (t) + W (t) + W (t)] = k c p kt 0 SP dt VC k=1N CP ±(pv) ·Ricordando che W = G , si ha:SP k kk=1 NC d(U + E + E )c p X− ±G ·Φ(t) [W (t) + W (t)] = + (u + pv + e + e )t 0 k c p kdt VC k=1 NC d(U + E + E )c p X− ±G ·=⇒ Φ(t) [W (t) + W (t)] = + (h + e + e )t 0 k c p kdt VC k=1quella appena ottenuta è la forma completa dell’equazione del primo principio della termodinamicaper sistemi aperti (scritta in

W (t) = ∫₀⁰ d(U + E + E) c p = 0 (ipotesi di stazionarietà) e e e non variano nel tempo L'equazione del primo principio si riduce dunque a: W (t) = ∫₀⁰ G · Φ(t) dt Esempio di un sistema con un ingresso e un'uscita: W (t) = G(h₂ - h₁) · t Nel caso adiabatico: W (t) = G(h₂ - h₁) · t In forma di lavoro per unità di massa: l = (h₂ - h₁) · t Se h₂ > h₁, l > 0 (dal sistema all'esterno). Se h₂ < h₁, l < 0 (dall'esterno al sistema). Invece, nel caso in cui non scambi lavoro ma solo calore: Φ(t) = G(h₂ - h₁) Se h₂ > h₁, Φ(t) > 0 (dall'esterno al sistema). Se h₂ < h₁, Φ(t) < 0 (dal sistema all'esterno). Equazione del secondo principio della termodinamica per sistemi aperti: Ricordando la formulazione per sistemi chiusi ΦdS = ∫ IRR dt/T Si puòscrivere: NC dS dS X ±G ·+ S= k kdt dt V C k=1duqnue ottenniamo la forma completa: NC dS ΦX ±G ·+ + ΣS =k k IRRdt TVC k=1Ipotesi semplificative:• dS Stazionarietà: =0dt V C NC ΦX ±G · + ΣS =k k IRRTk=1per N C = 2: Φ−G(S S ) = + Σout in IRRT36Φ ≥Se > 0 e Σ 0 =⇒ S > S quindi l’entropia dei flussi che attraversano il sistemaIRR out inTaumentaΦ ≥< 0 e Σ 0, tutto dipende dai valori assoluti:Se IRRT ∗ Φ −→Se < Σ S > SIRR out inT∗ Φ −→Se > Σ S < SIRR out inTCaso particolare: sistema adiabatico (Φ = 0) − ≥G(S S ) = Σ 0out in IRR−→Se S = S trasformazione reversibile.out in −→Se S > S trasformazione reale.out inAnalizziamo ora la compressione di un gas in un compressore (caso di un sistema aperto). Il compressore èγnormalmente adiabatico (pv = cost),dell'energia cinetica per una compressione adiabatica.

Del lavoro di un sistema aperto adiabatico, i due casi possibili sono:

  1. Se p > pl < 0, compressione dall'esterno al sistema.
  2. Se p < pl > 0, espansione dal sistema all'esterno.

Notiamo inoltre che essendo pv = RT, si ha:

γ-1 γ-1 γ pp γ γ22* −−l = R = c T 1T 1t p 11−γ 1 p p1 1γ-1 γ-1γ γ

Prendendo in considerazione l'adiabatica, dove pT = pT, possiamo scrivere:

1 21 2 T2− −l = c T 1 = c (T T )t p 1 p 1 2T1−→ − −∆h

Per gas ideali, dove dh = c dT l = (h h ) =p t 1 21.

19 Efficienza isoentropica

19.1 Caso della compressione adiabatica

Prendiamo in considerazione una compressione adiabatica e applichiamo l'equazione del secondo principio della termodinamica:

NC NC ΦdS X X±G · ±G ·+ S = + Σ =⇒ S

= Σk k IRR k k IRRdt TVC k=1 k=1dS Φ in quanto = 0 per la condizione di stazionarietà e = 0 perché adiabatica, abbiamo dunque:

dt TV C -G(S S ) = Σ2 1 IRR→-Se Σ = 0 trasformazione reversibile e S = SIRR 2 1→-Se Σ > 0 trasformazione irreversibile e S > SIRR 2 1

Rappresentazione sul piano di Gibbs:

  • Caso reversibile: S = S , compressione adiabatica + reversibilità = isoentropica.2 1 38
  • Caso irreversibile: S > S , compressione adiabatica + irreversibilità = entropia aumenta.2 1

Nel piano di Gibbs, l'area sottesa dalla curva è un calore (T ds = q), ma il calore in questo caso non è datoΓdall'esterno al sistema (la macchina è adiabatica) bensì si tratta di calore generato dentro il sistema stesso per effetti d'irreversibilità (attrito viscoso).

Applichiamo ora il primo principio della termodinamica: NC d(U + E + E )c p X- ±G ·Φ(t) [W (t) + W (t)] =

+ (h + e + e )t 0 k c p kdt VC k=1−W − −→ − −= G(h h ) W = G(h h ) =⇒ l = (h h )t 2 1 t 1 2 t 1 2dove si sono applicate tutte le ipotesi semplificative dovute all’adiabaticità e alla stazionarietà, inoltre per igas si ha dh = c dT quindi:p −l = c (T T ) < 0 perché T < T quindi dall’esterno al sistemat p 1 2 1 2|l | −= c (T T )c p 2 1|l | − |l | −= c (T T ) < = c (T T )cis p 2is 1 cr p 2r 1L’effetto delle irreversibilità prodotte è quindi quello di aumentare il lavoro di compressione, l’aumento dellavoro dipende dalla qualità termodinamica della trasformazione:per esempio in questo grafico si può vedere come la compressione adiabatica reale con mandate in A,B,C haqualità diverse: in A la qualità è più elevata rispetto a C dove invece è più scadente. La figura di merito perquantificare la qualità del compressore si definisce efficienza isoentropica del

compressore|l | − −−h h T Tc (T T )cis 2is 1 2is 1p 2is 1η = =⇒ η = =⇒ η ==is,c is,c is,c|l | − − −h h c (T T ) T Tcr 2r 1 p 2r 1 2r 1 ≤dove la prima scrittura vale in generale, l’ultima solo per i gas; inoltre, si può notare che 0 η < 1 =⇒is,c|l | ≤ |l |cis cr1.19.2 Caso dell’espansione adiabatica

Facciamo ora le stesse considerazioni fatte per il caso della compressione, prendiamo dunque in considerazione un’espansione adiabatica e applichiamo l’equazione del secondo principio della termodinamica:

NC NC ΦdS X X±G · ±G ·+ S = + Σ =⇒ S = Σk k IRR k k IRRdt TVC k=1 k=1

dove abbiamo applicato le stesse semplificazioni fatte in precedenza, abbiamo dunque:

−G(S S ) = Σ2 1 IRR−→-Se Σ = 0 trasformazione reversibile e S = SIRR 2 1−→-Se Σ > 0 trasformazione irreversibile e S > SIRR 2

  1. Caso reversibile: S = S, espansione adiabatica + reversibilità = isoentropica.
  2. Caso irreversibile: S > S, espansione adiabatica + irreversibilità.
Dettagli
Publisher
Marcello_03
A.A. 2022-2023
118 pagine
SSD Scienze fisiche FIS/01 Fisica sperimentale
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Marcello_03 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di termodinamica applicata e trasmissione del calore e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Torino o del prof Santarelli Massimo.