Teoria Fisica tecnica

C

seguito che il coefficiente d’ attrito a cui ho fatto riferimento in relazione alla forza di

f C

trascinamento è funzione di Re quindi conoscere Re ci permetterà anche di conoscere f

Vediamo adesso cosa succede nel caso della convezione interna, ovvero gli scambi convettivi

avvengono in ambienti chiusi e quindi gli strati limiti dinamici e termici non sono liberi di

crescere indefinitamente perché incontreranno gli strati limite generati dalle altre superfici,

quindi potranno crescere fino all’ asse del condotto; vedremo che il moto all’ interno del

condotto potrà essere o laminare per tutto il condotto o turbolento per tutto il condotto. Il caso

rappresentativo più importante è il moto di un fluido in un condotto, vediamo nel dettaglio cosa

accade: w

Supponiamo di avere un fluido che scorre alla velocità all’ interno di un condotto

m

cilindrico come nell’ immagine che segue: Se rappresento lo strato limite dal punto in

ingresso sulla generatrice inferiore io vedrò uno

strato limite crescente fino alla metà del condotto

(sezione verde), superata la metà del condotto il

profilo di velocità comincia a diminuire perché il

fluido risente del profilo di velocità determinato

dalla parete superiore del condotto stesso; è

inoltre fondamentale considerare che in questo

caso

la velocità non varia solo nella regione dello strato limite, ma anche sull’ asse del condotto

perché il fluido nello strato limite è rallentato dalla presenza della parete e per il principio di

conservazione della massa se le masse a contatto con la parete si muovono più lentamente,

sarà necessario che le masse nella regione centrale del condotto si muovano più velocemente;

nello specifico quindi avrà fluido fermo a parete, fluido lento vicino alla parete e fluido a

massima velocità sull’ asse del condotto.

Questo discorso si vede chiaramente dal profilo di velocità rappresentato nell’ immagine

precedente, si nota inoltre che la velocità varia lungo l’ asse solo fino ad un certo punto, dopo

di che si manterrà costante; questo fenomeno è dovuto al fatto che nella fase iniziale il fluido

risente meno del condotto perché è appena entrato, dopo di che si sviluppano gli attriti viscosi

e le forze di trascinamento che determinano la variazione di velocità fino ad una condizione di

equilibrio. E’ possibile classificare delle regioni caratteristiche per distinguere proprio le regioni

in cui avvengono questi fenomeni:

- regione d’ ingresso idrodinamica ovvero la regione in cui si osserva un profilo di velocità

variabile sezione per sezione.

- regione idrodinamicamente sviluppata ovvero il profilo di velocità sarà costante in ogni

sezione del condotto successiva alla regione d’ ingresso idrodinamico.

Anche nel campo termico si verifica un fenomeno simile, vediamo le immagini che seguono:

Le due rappresentazioni sono relative

<T >T

T e T

rispettivamente a ; vediamo che in

s s

entrambi i casi in ingresso la temperatura è

costante e poi, in base al tipo di scambio termico

che avviene si sviluppa il profilo di temperatura.

Notiamo una cosa particolare, nella prima

immagine c’è una regione chiamata inviscid

flow region , essa si chiama così perché in

quella regione abbiamo visto che tutti i vettori

velocità sono uguali e quindi non c’è scorrimento

relativo tra gli strati di fluido adiacenti e quindi

non si manifestano azioni viscose.

Vediamo che quando il profilo di temperatura raggiunge l’ asse si individua la regione detta

thermal entrance region; inoltre vediamo che la temperatura aumenta progressivamente,

questo fenomeno però non accade all’ infinito infatti la temperatura del fluido potrà aumentare

finché esso non raggiunge la stessa temperatura della parete, quindi alla fine la temperatura

del fluido raggiungerà l’ equilibrio con la temperatura della parete. Lo stesso discorso vale se il

fluido è più caldo del condotto ma in modo speculare. Sia nel caso del profilo di velocità che

nel caso del profilo di temperatura stiamo notando che le variazioni avvengono nella regione d’

ingresso, volendo posso quindi rappresentare in un diagramma questo discorso chiamando

L L

la regione in cui varia il profilo di velocità ed la regione in cui varia il profilo di

h t

temperatura; il risultato è il seguente:

Dal diagramma in alto vediamo subito che sia h che il coefficiente d’

attrito f variano solo fino al raggiungimento della regione d’ ingresso, a

quel punto poi i loro valori si mantengono costanti; nelle applicazioni

pratiche quando si lavora con condotti molto lunghi la regione d’

ingresso può anche essere trascurata perché essa sarà molto breve

rispetto alla lunghezza totale del condotto.

Questo è il motivo per il quale noi comunque consideriamo h costante in

ogni punto e non lo calcoliamo punto per tutto, stiamo comunque

commettendo un errore ma pur sempre trascurabile; se il condotto è

breve il discorso non vale più.

In questo caso la lunghezza caratteristica non è più la lunghezza del condotto bensì il diametro

perché il fattore limitante allo sviluppo dello strato limite è proprio il diametro, quindi sarà

determinati dal diametro ed essendo il diametro costante anche Re è costante e poiché Re

indica il tipo di moto che sviluppa il fluido abbiamo spiegato perché in un condotto il fluido o

scorre sempre in modo laminare o sempre in modo turbolento, nello specifico il numero di

Raynold si può scrivere in questo modo ; anche in questo caso

esistono dei valori

limite che indicato il tipo di moto che assume il fluido lungo tutto il condotto, nello specifico

valgono le seguenti relazioni:

Solitamente nei condotti scorrono flussi turbolenti, tuttavia negli ambienti civili

si preferisce garantire un moto laminare per ridurre il rumore, questo si fa ad

esempio nei canali d’ aria degli impianti di climatizzazione. Una quantità

4 A

=

D

fondamentale è il diametro idraulico, esso è pari a con A area e

H P

P perimetro, il tutto è da riferirsi alla sezione trasversale; questo

discorso è fondamentale perché siccome il diametro idraulica parla genericamente di area e

perimetro della sezione trasversale, io posso riadattare il discorso anche ad esempio a condotti

rettangolari; ovviamente in base al tipo di diametro che scegliamo posso influenzare il tipo di

moto all’ intero del condotto perché vado a modificare il numero di Raynolds ovviamente

fissata la velocità media.

Io posso valutare anche la lunghezza d’ ingresso idrodinamico e termico, nello specifico

dove D è proprio il diametro idraulico; questi valori sono stati ricavati sperimentalmente

e sono tabulati.

Facciamo adesso un’ osservazione, abbiamo detto che il profilo di velocità che si sviluppa nei

condotti e di tipo parabolico; da questa osservazione Clausius ha definito un profilo di velocità

all’ interno del condotto dipendente dal

raggio al quale stiamo valutando la velocità, nello specifico Clausius ha detto che

con R raggio esterno del condotto ed r raggio interno del condotto.

A partire da qui Clausius ha ricavato il valore degli sforzi di taglio, noi abbiamo detto che

, ma ora

conosco una legge per la velocità e quindi posso derivare w(r) ed ottengo ;

analogamente abbiamo

detto che quindi eguagliando i termici posso ricavare il coefficiente d’ attrito

che è quindi pari a C

; a questo punto diciamo una cosa, il coefficiente d’ attrito f

in realtà noi non lo usiamo per i moti in condotti bensì per i moti su lastra piana aperta infatti

C

nel grafico riportato sopra al posto di compare una semplice f , essa nello specifico si

f

chiama fattore d’ attrito, esso è quello responsabile delle perdite di carico all’ interno dei

64

=

f

=4

f C

condotti e . A questo secondo la relazione appena ricavata posso dire che

f ℜ

Sia quando abbiamo valutato il profilo di velocità che quando abbiamo valutato il profilo di

temperatura, abbiamo fatto riferimento a dei valori medi, vediamo adesso come calcolarli:

- velocità media in un condotto: questo caso è abbastanza semplice infatti basta applicare il

teorema della media e così ottengo

- temperatura media in un condotto: questo caso è più complesso perché per calcolarla devo

applicare il bilancio di energia e ottengo 

; il fatto che sia

presente il termine T(r) mi dice che la temperatura media dipende dal profilo di temperatura

che come sappiamo è abbastanza difficile da calcolare quindi esistono due approcci diversi che

T

permettono di avere in modo alternativo, vediamoli di seguito:

m

1) considero di avere un fluido che scorre in un condotto il cui flusso termico è costante,

quindi la temperatura del fluido varia.

Io so che dove A non è più la sezione trasversale ma il

perimetro della sezione trasversale del condotto per la lunghezza del condotto, ovvero la

superficie esterna del condotto sulla quale avviene il flusso termico. Piuttosto che lavorare sull’

intero condotto, consideriamo una fetta infinitesima quindi 2 πrdx=dA

dove praticamente infatti abbiamo

−T )

h(T

detto che A=P*L , mentre il termine deriva dal fatto che sto riscrivendo il flusso

s m

termico che nel nostro caso è convettivo. Ma abbiamo anche detto che

. (T −T )

m c

e lo so perché sto riscrivendo in termini infinitesimi. Eguagliando le due

p u i

. .

q 2 πrdx x q A

s s

=T + =T +

T T

e

equazioni ottengo i u i

. .

m c m c

p p

2) considero di avere un fluido che scorre in un condotto la cui temperatura è costante,

quindi il flusso termico del fluido varia, ovviamente il flusso termico cambia perché

all’inizio ho un gradiente di temperatura tra fluido e parete abbastanza alto, man mano

che avviene lo scambio fluido e parete raggiungeranno la stessa temperatura e quindi il

flusso termico si dovrà annullare.

La temperatura di parete è costante quando il condotto al suo esterno è circondato da un fluido

in cambiamento di fase poiché sappiamo che durante i passaggi di fase la temperatura si

mantiene costante;

Con la legge di Newton so che , vediamo perché

( )

= −T

∆ T T : se scrivo il bilancio ci energia del sistema ottengo

medio s m medio

dove il termine

( )

−T

h T pdx (pdx=A) &