Teoria di Prandtl-Glauert e teorema di Crocco

S

esempre An cos2 de

O da

partire

a

m 1 2 3

= n

, , ....

cam costcod

Andam

dove costco

: dX I

derivata linea

della

Media

generale

In per generico

un

: m :

umcosmdAmcomoAm

↳ 1

,

m = .,

. .

=

m

Am da

Cosmodo a

determinare ut

,

questa posso

Coefficienti della serie

Angelo di attacco

angolo

di profile

portanza nulla il

pongo

a cui

- portanza nulla

avere

per

Se il profilo ha una curvatura e l’angolo di attacco è zero ho una portanza. Tuttavia per bilanciare

quest’ultima si considera un angolo ad incidenza negativa per avere una deportanza

I

ric

La portanza posso esprimerla come:

L eVer -Kutta-

= 2vo)(d-di) co

(U(e)de

r

dove + E

= Ansinnod

= +

: Ev

↑

=

Y

Coefficiente

di portanza mettere evidenza

posso in

↓ rispetto tutto l

a

resto

derivata linea media ↳ gioco

entra

a in

con non

geometria

= del la geometria come

l'unico

profile calcola invece succede con

che posso - Li

resenza la An

geometra e

: 2 CotgEdo

2)

C Cotg

= .........

↓ della

e linea

e dalla

l'angolo dato

O geometria

c

per cui l'a il

ottengo

mase quale

pongo cl o

redid per

=

C 0

= = ...

Cotg

o

Definisco

~ diventa

questo Ci

e

come do :

20)

2π(x

C = -

Per profili a curvatura positiva l’angolo di portanza nulla è negativo

Pongo il profilo ad incidenza

200 negativa per avere portanza

2π[

20)

2π(x =

- nulla. Bilancio la portanza dovuta

( alla semplice curvatura. Avrò

-

5 160

= quindi una deportanza.

I (x-20) di calculato

attacco

angolo partire

assolto a

>

= - dalla

↓ di

direzione nulla

portanza

↳ curvatura

profilo a

per un dell'angolo di

e

positiva

2-20

= >

nulla

portanza

=

0

= attacco An)

Se calcolo il coefficiente di portanza in base alla sua definizione (senza specificare il valore degli

avrò: Ant della

coefficiente

primo serie

(Ao

= +

2

solo

dipende

Ao

da e

l

2

Coefficiente Momento

di Ae-Az)

(Ao

CMo

) W(x)Xdx =

; +

Mo coefficiente

braccio

= di rispetto

Momento

al bordo d'attacco

Momento rispetto

bordo

al attacco

al A2

Ao

Questo per dimostrare che i coefficienti della serie che ci interessano sono solo: A1 ,

,

L =

Cr

CL = ;

Eevc

& 8

↓

coefficiente al

unita

portanza di

per unita

Coefficiente di momento per

lunghezza un'ala

(data allungnezza

infinita considero folo

Una sezione no

in cui

una dimensione unitaria

Coefficiente di Momento Focale

= A2)

(Ae

CMF -

Data corda

una : ↑ L

exp &

O centro di pressione

Se conosco….. bordo

dal

dil attacco

di

distanza

CMo L

X

Xcp L CMX

+

=

= . .

"rispe coefficiente di

↳ momento

di

bordo

Ho al interno ad X

attacco

Per adimensionali)

(in della

= , dal

partire

termini

X corda a

bordo attacco Ao

vede diventa

Crx indip

di si e

o

che .

=

dall'angolo attacco

a :

CMX CMF

= hiz

i

o

Questo e detto acrodinamico

fuoco

punto centro

o :

↳

della

1/4

Xf corda

= dipende Solo

Focale

e

il momento

2i

suo il

coefficiente coeff

e calla geometria

.

XFL

Xcp + CME

Cl =

.

Ascissa del centro di pressione :

CMF

+ Per

Xc X = Az

Al

lastra

p 0

plana

= o e

: =

=

. - ,

Ch Xc 1/4

X

p =

= =

.

a 7 D = O

⑨

. ·

· 19 -xcp

11/12/24

TEOREMA CROCCO

DI

Il teorema stabilisce le condizioni affinché si possa considerare un moto irrotazionale.

Le condizioni finali a cui si giunge sono: Vorticit w V

1

=

:

Del campo di

E Velocita

[H + T

W

l totale

Entalpia

· v2

H n 4

+

TX = +

2 H 1S O

. =

= . 2 termodinamica

ental

& pia

O

S

2. =

= >

= neevorticoline

d as

Fattaparted - cor

Derivata"

Queste equazioni vengono derivate nel caso dell’assenza di effetti dissipativi. Non ci sono flussi

diffusivi, effetti dissipativi e il moto è stazionario.

Sotto queste condizioni il moto si dice isoentropico e isoentalpico, poiché S e H sono costanti lungo

le linee di corrente. Dato che parliamo di moto stazionario, le linee di corrente coincidono con le

traiettorie. ↓ di

linea corrente

descritta da Istantanea

una

, >

-

particella al Fotografia

variare istantaned

del tempo .

La velocita e tangente

ad essa

Per avere :

1 [H e Is Entropla .

0 cost

way 0=

= = = ·

0

= implica Ental .

cost

· pia

Moto omentalpico

omoentropico e

w 0

=

-

way 0

= = Non mi

0 interessa

>

verifica

W// Si

Y

~ particular

Solo in Moti albertran

moti =

Per arrivare a discutere del moto omoentalpico o omoentropico a partire da quello isoentropico

c’è bisogno di un’altra condizione: condizione della corrente all’infinito a monte. Ciò significa

che l’infinito a monte dove parte V le condizioni di H e S sono uniformi, hanno valore unico, che

=

si mantiene costante

so all'inizio

Sz

Se S3 uguali

= =

- resteranno sempre uguali

S2

-

S38

un moto omoentalpico, non dissipativo, stazionario, sarà sicuramente irrotazionale

In queste condizioni affermò l’esistenza del potenziale di velocità

Come si arriva a queste equazioni? Nota :

EDI = (E)

+ EP (Inz)

+

k

k =

-

& (

(12) 24([

↓ [k

k + 2

V

=

-

Dt -

- =

3

E Forze Forze u

al 2

Massa ↓

viscose Simme

rico

+

- Aa

k

E + 2k

=

. . =

-

dk (2)

12p (2k)a

= 2

Fr +

[k +

+ Em

1 .

= +

- =

k. (2)2

V * 214a

bt + =

↓ ([k)a

2

= .

!

= (2 Fr

+ = (2k(nk Ep Fm

+

+ +

= 54

- Potenziale

Energia

+ (2)2 Fr

= (2k(nk + [p 04

+ = -

Nelcaso incomprimibile e .

o cost

= =

:

Nel comprimibile e

caso .

cost

:

Nel caso comprimibile uso la relazione di Gibbs per l’entalpia termodinamica :

dh +Is Ep 1

In

1dpapp + TIS

&s

+ *

In

=

=

+ p

= =

-

. 4)

=(h

(x 2 Fr

+

+ TIS

+ + +

wak =

It (Ink)

stazionario

moto

Il dissipativi

Effetti vanno via

H Fr

+ w = *

[H TIS

+ wa =

* Moltiplico scalarmente per :

O

(wax)

+

[H

1 T - S

=

. ↓ t ,

ortogonal

Sono il prodotto

per cul

Scalare e O

(H T ES

X =

- .

Siccome 1 H

15 .

= 0

0

= =

. ↓ ↓

isoentropico isoental pico

Per cui le tre condizioni ci portano ad un moto omoentalpico, omoentropico e quindi irrotazionale.

Questo risultato per un moto stazionario, senza effetti dissipativi , originatosi da condizioni uniformi

dell velocità di corrente all’infinito a monte, omoentropico e omoentalpico rappresenta il teorema di

Crocco

Nel caso comprimibile, in generale, le equazioni di continuità sono :

Elev

E = 2

=

*

(e)

I 0

=

.

CEPT quantita di

Ea moto

· .

oper

=

f Dv 0

-

+ 2 p =

un

Dt e

Siccome il stazionario

moto

posso di

scriverlo termini

in

derivata sostanziale

+ >- 92 V

-

↳ (5)(E) a e -

= = -

As costante

~ e la velocita

del suono la

placiana

D

* (e) =

et

2 + 0

=

.

facendo fuori

scomparire viene

comparire e

e

a :

1)

(a2-u2)9xx- (a2 444

Eq zuv4xy

9 0

+ nel

=

in plano

: - -

. Exx & x

Eq (aso

Potenziale

del

Generale Sempre

Vale e

comprime

-

.

Si tratta lineare

di un eq quasi

. a

Nel incomprimibile e cost.

caso : = -o

, vq2 Laplaciano

(xx + o

>

qu 0 =

= 12)444

uz)(xx (a2

(a2 zuv4xy 0

+ =

-

-

-

Si dice quasi lineare poiché le derivate di ordine massimo (derivate seconde) figurano

linearmente, ossia i coefficienti che moltiplicano le derivate di ordine max possono essere al più

funzione della funzione e di tutte le derivate dell’ordine di n (in questo caso n=2)

L’equazione si dice lineare se i coefficienti dipendono solo dalle variabili indipendenti (x,y).

Pag file

del di

140 y

elpidio

.

Approssimando per piccoli disturbi (corpo costituisce un disturbo piccolo rispetto alla

corrente indisturbata) e facendo comparire il numero di Mac ,dice che il numero di

M2 v2

: = 2

Mac non cambierà molto rispetto a quello della corrente indisturbata V

transonico a

nel non

Si arriva: lineare

e ellittica

ea

↑ ↑

* Mo)

(- Exx Possiamo

444 comprimibile

il

o risolvere

+ campo

= del

indisturbata campo

e della corrente

mac il

infinito mac

-

> transonico

tra Mci eMc

Caso subsonico

~ Mo Mci 1

< superio

Mac

(M3 1/4xx- Qu Caso

0 supersonic critico

=

- ↓ inferiore

noMac corrente

nella

↓ perbolica indisturbata per

eq wul

. Siamo di

al Sotto di z

Nel caso subsonico: Nel caso supersonico posso trovare la soluzione

incomprimibile

C2( generale, non vale il teorema di Kutta-…., difatti

C 20)

= - troveremo anche un coefficiente di resistenza

Nel subsonico vale invece il teorema di Kutta- …

My nonvale

1 - sia per il caso comprimibile che per quello

per 1

> My =

A incomprimibile

Trasformazione variabili

nuove

in

E Y

X