Teoria dei Sistemi

SFUL

TEORIA

DEI

SISTEMI

26!

15/10/2020

Scopo del corso: analizzare le proprietà dei modelli matematici che descrivono sistemi dinamici.

1) esempi di modelli dinamici che devono porsi in esame, tecniche per l'analisi di modelli matematici.2) strumenti per la descrizione del comportamento di un dato processo. Al variare di alcuni elementi interni/esterni, si definiscono nel tempo e su cui in genere è possibile intervenire modificando sostanzialmente il comportamento.

(schema)

Schema:

• x'(t)= Ax(t)+ Bu(t) - stato del sistema, zona stato
• y(t)= Cx(t) + Du(t) - lett. uscita dello stato del sistema, vettr. uscita del sistema

con condizioni iniziali [X(t₀)= x₀ x ∈ Rⁿ μ ∈ R]

Questi sistemi sono a tempo continuo, lineari, stazionari. Si parlano e si definiscono.

Un esempio di sistema meccanico è:

Sistema massa-molla-smorzatore:

• mg = μ
• mg(x₁k)g(x₁b)g= μ

x₁ = S (velocità) da cui:

• x' = Ax + Bμ
• y = Cx + Dμ

A= ^k/m -b/m, B= ^1/m 1, C= (1 0), D= (0)

CASO 1: n=1, k=3, b=5, p a secondo di dove conik

CASO 2: n=1, k=10, b=0 p il comportamento del sistema

CASO 3: n=1, k=10, b=2

Si può studiarne il comportamento di un sistema osservando lo studio dei fatti dettagliati.

Scansionato con CamScanner

x =_e(A_t)x₀ = [(-1^m) * (1 - ¹/_e)]_x0 x₁ = kT c_o equilibrio di traform x(0,0) x(0,0,) ...

S_x1⁼(0) A = [0^₁/_m -^c₂cosx₁|]

A = [0 1_/m|]

P(λ) = λ +^k₁/_m +^k₂/_c

...

secondo il criterio di Lazzar sono S.H._b (modera se a parte reale negativo ^{(messa media a parte sia per la trigonia)})

Se x_e ∈ T dillo.

A = [(0₀)/_ce0ϱ] (1 ...) [P(λ) = λ⁺ -^k₁/_m +^k₂/_c 0]

sono a parte della parole a parte valore magico.

Pare di equilibrio con... x₁=0, x₂ = k_π

Un altro tipo di sistema: SISTEMA CONSERTATO

le coppie di regolari il flesso di...

d^g/dt = ...0 (9)

(...) ...₉=4S₂ (0)

y = 4S² √x .... q.... ....

q*

y = 5√2 ∀ (x)

V = ...2ℓ8

S = sesso del setto

sesso del condotto chiusato

1. DISPENSA DI PREMESSI

Ci sono degli modelli che possono essere composti a rappresentare elementi in modo apparente e comportamenti di divers produrre... ...

2. LA TEORIA DEI SISTEMI LINEARI AUTONOMI

lo studio dei sistemi lineari autonomi stoccati e dimensioni finito... sono un elemento particolari di sistemi sofisticati nelle applicazioni... in modelle... descrivono dopo... al dinamica di sistemi in tempo nulla... sono parlando di stati risolvendo con quelle attualmente del non!... factor...

attenti ed elemzioni lo stato del sistema.

estratto di tempo t₀: t' = t - t₀ se x(t₀) = x(0), x(t₀+t') = e^At'x(0)

Sistema stazionario: Sistema a tempo invariante

model di impianto

model di stato

Scheda realizzativa

funzioni nel tempo

Φ(t) = e^At = I + tA + Aⁿt = Σ_(n=0) (Aⁿtⁿ)/n! → matrice di transizione nello stato

Η(t) = Σ_{(t = 0)}(t|B) = A^t → matrice della risposta impulsiva nello stato (Η(t)|t = 0 = I)

Ψ(t) = Σ_(t|B) t^-A(t) → matrice di trasferimento in vettore

W(t) = Σ_(t|B) t^-A → matrice della risposta impulsiva in stato

La differenza tra soluzione libera e forzata è quella libera si ha quando le condizione iniziali sono diverse mentre quella forzata è coinvolta dall’azione di controllo

X(t) = d/dt (Φ(t - t₀) x(t₀) + Σ_(t|B)(t|Β))

Identità = AΗ + A^-1 (t|B) - (I - H(t₀)) = A t^-A(t|B)

Quindi si hanno:

x^ẋ = Ax _con A = ^{|0 1|}_{|0 2| con} P(λ) = λ² + 2λ + 10, λ = -1±i√10

⇒ A = Iλ + 3I

Risolv. A^-1 = A_{NT - 1} = TAT^-1

_{[α ω], α ω] : con} α = -1 ω = 3

= |0 1||-10 2| [α ω] = [α ω] = [3 1|

{_{|0 2|}, ^{α₂ b₂|}}

{ ^{_{[x = 0]} ⇒ x = 3 ω},

-10α _x - 20ω = - ω = 3m}

⇒ ω = 3m ⋅ 2ω±ω

⇒ _{α = 4, m ^{|a b|}}

Esameple

cedole - condizione libera

A: ^y₂1 ₀₁|λI = _-1-1 ⁰ ₁ ⁰ _-1

A in triangolar o pleethi: _{-0.5 1}

b₁ = ^{a₂ b = 0.5}

pleethi sono stocch a mo lieu degenri o pleethi.

Quindi: _{w1 = ⁰}

draghi: ^{(*) 0.1} _{(*) 5} ^{(*) 0}

bler gh

I(H) = e^2t_{[3 5 ]} + e^t_{[3 0 ]} + e⁰_{[0 1 ]} ( -1 )_{[3 2 ]} + e⁰_{[1 1 ]} ( 2 )_{[ 2 5 ]}

V(t) = σte_{[6 5 ]}V₁ + e_{[6 5 ]} V₂ = Φ(t)B

Ψ(t) = e^t_{[6 5 ]} ( 9|5 > 0 ) = CΦ(t)

W(t) > 0 = C (Φ(t)) B

[4/10/2020]RECAPSistemi a tempo continuo

ẋ = Ax + Bωy = Cx + Dω

x(0) Ξ r^mx₀ - x₀ Ξ r^m E(q = E_etWt)λ₁, ^. λλ₁ = λσ + μν,_{[ deco ]} λ_{[ ca ]} deco λ: = ca _{mn = modino λ diffuso diffuso}cos λ: λ_{[s] = cbmn modi λ: cos λ}

b_mǝ[diff(^.)]

EquilibrioA =_{[1 -1 1] [1 -1] [0 -1] b2} -2

B =_{[1 0 ] [0 1 ][0 1 ]}

C = ( 0 0 1 )

1. Calcolare l'equazione libera del sistema a partire da X₀ (p)
2. Calcolare X_o Є\ R\ | l'evoluzione a la del sistema esempio e zero divergere nel tempo
3. Effettuare i modali nodali
   • λeigenvalori → ci riferiamo a σ(A) = insieme indem σ(A₁) σ(A₂) ≤ λ ≤

❏ Un modello matematico può avere più forme, ossia;

❏ Un sistema dinamico ammette una e una sola modellistica matematica;

❏ Un sistema lineare evolve su una linea.

ESERCIZIO

Un processo di lavorazione è costituito da 3 operazioni elementari. Ogni atomo viene eseguito in sequenza su un pezzo inizialmente grezzo. Il 15% dei pezzi del terzo stadio viene rifiutato. Un controllo di qualità nel 10% dei pezzi prodotti viene scartato il 15%, viene riesaminato e riesce al 75% un atomo per rappresentare il prodotto finito. Determinare il modello matematico del processo.

\( x_1(k+1) = x_2(k+1) = x_1(k) + 0,15x_3(k+1) \)

\( x_2(k+1) = x_2(k) \)

\( x_3(k+1) = x_2(k) \)

\( \delta(k) = 0,75 x_3(k) \)

A = \( \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0,15 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \)

B = \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)

C = \( (0 \, 0 \, 0,75) \)

D = \( (0) \)

Calcolo del controllo:

\( \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0,15 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \to \lambda_1 = 0 \)

\( \begin{pmatrix} 1 \\ 0,15 \\ \lambda \end{pmatrix} \)

\( \lambda_2 = \frac{-1}{\sqrt{0,15}} \)

\( \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0,15 & 0 \\ 0 & 0 & e_3 \end{array} \right) \to 0,15 c = e_0 \)

\( \left( \begin{array}{c} e_0 \\ -0,15 \\ x \end{array} \right) \to \mu^* = \begin{pmatrix} -0,15 \\ 0 \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} \sqrt{0,15} & 0 & 0 \\ 1 & \sqrt{0,15} & 0,15 \\ 0 & 1 & \sqrt{0,15} \end{pmatrix} \to \)

\( x_{eq} = \begin{pmatrix} \sqrt{0,15} \\ 0,15c \\ 0 \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} \sqrt{0,15} & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \equiv 0 \)

E_{eq} = \begin{pmatrix} \sqrt{0,75} \\ -0,75 \\ c_{eq} \end{pmatrix}

T = \begin{pmatrix} \sqrt{0,75} & \frac{1}{-0,75} & -0,75 \\ 0 & 1 & 0,15 \\ 0 & 0,15 & 0,15 \\ \end{pmatrix}