Teoremi e dimostrazioni di Analisi matematica 1

∀P

1 2 1 2

i semi piani contenuti in U è convesso SSE si ha che U=∩ seminano contenente U.

⇒U ∀

Prop: f è convessa SSE: 1) ,x f(λx )+(1-λ)(x )≤λf(x )+(1-λ)f(x )

∀x ∈domf

1 2 1 2 1 2

2) ho che f(x)≥f(x )+f’(x )(x-x )

∀x

0 0 0 0

Teo: una funzione f è convessa SSE f”(x )≥0 ∀x∈domf

0

Dim: f è convessa SSE f’ è monotona crescente SSE f”≥0 2

Teorema dell’Hessiano non degenere in 1 dimensione: Sia x punto stazionario per f:[a,b]→ℝ f∈C

0

f”(x )>0 è punto di minimo (locale)

⇒se ⇒x

0 0

se f”(x )<0 è punto di massimo (locale)

⇒x

0 0

Sviluppi in serie di MacLaurin e Taylor: x =centro di sviluppo n=grado dello sviluppo

0 nf n n

Per iniziare (Sviluppo di MacLaurin), x =0: T (x)=f(0)+f’(0)×x+(f”(0)×x²)/2+...+f (0)×x )/n!

0

n,x0f nf nf

Sviluppo con centro x qualunque: T (x)=T (t)=T (x-x ) [t=x-x ]

0 0 0

n,x0f (n) nk=0 (k) k

T (x)=f(x )+f’(x )(x-x )+(f”(x )(x-x )²)/2!+...+(f (x )(x-x ))/n!=∑ (f (x )(x-x ) )/k!

0 0 0 0 0 0 0 0 0

Alcuni sviluppi in serie notevoli:

n n+

sinx~x-x³/3!+x⁵/5!+...+(-1) (x² ¹)/(2n+1)!

n n

cosx~1-x²/2+x⁴/24+...+(-1) (x² )/(2n)!

x

e ~1+x+x²/2!+x³/3!

sinhx~x+x³/3!+x⁵/5!+...

coshx~1+x²/2!+x⁴/4!+...

x -x x -x x

sinhx+coshx=(e -e )/2+(e +e )/2=e

ln(1+x)=x-x²/2+x³/3-x⁴/4+...

arctgx=x-x³/3+x⁵/5-...

Somme di Riemann: S(P,≡)=f(ξ )(x -x )+f(ξ )(x -x )+...+f(ξ )(x -x )

1 1 0 2 2 1 n n n-1

Integrabilità delle funzioni continue e integrale definito: f:[a,b]→ℝ è continua e se n|→(P ,≡ )

n n

n-1k=0

(successione di partizioni puntate) |P |→0 s(P ,≡ )=lim ∑ f(ξ )(x -x )=A(a,b)

⇒lim

n n–>∞ n n n→∞ k k+1 k

Funzione integrabile: f:[a,b]→ℝ si dice integrabile secondo Reimann se t.c. successione di

∃s∈ℝ ∀

partizioni puntate (P ,≡ ) t.c. (P )→0 lim s(P ,≡ )=s e il valore di s si dirà integrale definito di f in [a,b]

n n n n→∞ n n

ba

è si indica con il simbolo ∫ f(x)dx (somma infinita di intervalli infinitesimi)

ba ba ca bc

Proprietà integrale definito: prop rettangolare: m(b-a)≤∫ f(x)dx≤M(b-a) prop additiva: ∫ =∫ +∫ terza

aa ab ba

prop: ∫ =0 ∫ =-∫

Antiderivata e primitive di una funzione: Una funzione F(x) t.c. F’(x)=f(x) si dice primitiva di f

∀x

ľinsieme di tutte le primitive di f si chiama integrale indefinito di f e si indica con ∫f(x)dx ed è

ľamtiderivata di f n n+1 x x 2

Integrali fondamentali: ∫x dx=x /n+1 ∫sinxdx=-cosx+c ∫cosxdx=sinx+c ∫e dx=e +c ∫1/cos xdx=tgx+c

∫1/xdx=ln|x|+c

Formula del PER PARTI: ∫f’(x)g(x)dx=f(x)g(x)-∫f(x)g’(x)dx

Integrali fratti: ∫(x+2)/(x²-5x+4) = ∫(x+2)/(x-1)(x-4)

(x+2)=(A/x-1)+(B/x-4)(x-1)(x-4) (x+2)=A(x-4)+B(x-1)

Se x=1 (1+2)=A(1-4)+B(0) ⇒A=-1

Se x=4 (4+2)=A(0)+B(4-1) ⇒B=2

∫(-1/x-1)+(6/x-4) = -ln|x-1|+6ln|x-4|+c

Due primitive diferiscono per una costante: F e F primitive di f =F +c

⇒F ∃c∈ℝ

1 2 2 1

Integrale indefinito: Sia f[a,b]→ℝ continua e se n→(P ,≡ ) una successione di partizioni puntate t.c.

n n

n+1k=0

|P |→0 s(P ,≡ )=lim ∑ (ξ )(x -x )=A(a,b)

⇒lim

n n→∞ n n n→∞ k k+1 k

Formula di Leibniz-Newton: Se (i maiuscola con a metà un cerchio=Ø) è una primitiva qualsiasi di f

ba x=bx=a

f(x)dx=Ø(b)-Ø(a)=:Ø(x)|

⇒∫ Dimostrazioni:

Irrazionalità di radice di 2: √2=m/n (n≠0)

∃m,n∈ℕ

Posso supporre che m e n non abbiamo fattori in comune. Elevando al quadrato 2=m²/n²⇒2n²=m²

questo significa che m² è pari, quindi m è pari (se m fosse dispari, il suo quadrato lo sarebbe a sua

volta) se m è pari t.c. m=2p⇒m²=4p²⇒2n²=4p²⇒n²=2p²⇒n è pari⇒sia m che n sono pari,

⇒∃p∈ℕ

così si va contro ľipotesi che non avessero fattori in comune⇒contraddizione □

⇒√2∉ℚ

R è un insieme non numerabile: Basta dimostrare che tutti i numeri reali compresi tra 0 e 1 non sono

numerabili. Si ha una sviluppo del tipo 0, a a a ... a {0,1,...,9}

∈

1 2 3 k

Se questo insieme fosse numerabile potrei fare un elenco:

r = 0,a ,a ,a .... R={r ,r ,r ,....}

1 11 12 13 1 2 3

r = 0,a ,a ,a ....

2 21 22 23

r = 0,a ,a ,a ....

3 31 32 33

r = 0,a ,a ,a ....

4 41 42 43

può costruire un numero reale che non è nell'elenco. Sia x=0, b b b … dove b =/ a

⇒Si 1 2 3 k kk

non può stare nell'elenco, perché ha almeno una cifra diversa da ciascun numero della lista

⇒x

(k-esima). Si potrebbe ricostruire la lista aggiungendo x in cima, ma potrei costruire un numero y che

può stare nella lista non è numerabile □

⇒contraddizione ⇒ℝ

Non esiste numero iperreale indistinguibile da 0: x~0 SSE x-0 è 0(x) e 0(0)

(x-0)/x≈0 ma (x-0)/x=1 contraddizione

(X-0)/0≈0 ma no si può dividere per 0 □

Limite sin x /x: lim x->0 sinx/x=1

Consideriamo 0<x<π/2 0<sinx<x<tanx

Dividiamo per sin x>0 1<x/sinx<1/cosx

Passo ai reciproci cosx<sinx/x<1 => 1<sinx/x<1 => 1

Passo al limite x-> 0+ => lim x->0+ sinx/x=1 □ α

Limiti notevoli: lim (1-cosx)/x²=½ lim tgx/x=1 lim arctgx=1 lim (1+αx)/x=e

x→x0 x→x0 x→x0 x→x0

x x

lim ln(1+x)/x=1 lim lg (1+x)/x=lg e lim (e -1)/x=1 lim (a -1)/x=lna

x→x0 x→x0 a a x→x0 x→x0

α x

lim ((1+x) )-1/x=α lim sinhx/x=1 lim coshx/x²=½ lim arctgx/x=1 lim (1+1/x) =e

x→x0 x→x0 x→x0 x→∞ x→∞

Due numeri finiti non infinitesimi sono indistinguibili se e solo se sono infinitamente vicini: x,y finiti non

infinitesimi x~y SSE x≈y

⇒

Dim x≈ infinitesimo (x-y)/y=(y+ε-y)/y=ε/y è infinitesimo → (x-y)/y=(y+ε-y)/x=ε/x è

⇐ ⇒x=y+ε ∃ε ⇒

infinitesimo

Dim x-y/x è infinitesimo (x-y)/x=σ infinitesimo

⇒ ⇒

Una successione convergente è anche limitata: Sia k=1⇒∃n =n t.c. si ha che |a -e|<1/1=1

∀n>n

k 1 1 n

dove lima =e.

n

Sia M=max {|a |, |a |,..., |a |,e+1}⇒si ha che |a |<M cioè -M<a <M

∀n∈ℕ ∀n∈ℕ.

0 1 n n n

Infatti se n≤n |≤max{|a |, |a |}.

⇒|a

1 n 0 n-1

Se n>n |a -e|≤1 dunque -1<a -e<1; -e-1<e-1<a <1+e; -e-1<a <e+1; |a |<e+1.

⇒

1 n n n n n

Dunque abbiamo che |a |≤max {|a |,...,|a |, e+1} □

∀n n 0 n1

Se x≤y allora st(x)≤st(y): siano a,b∈ℝ e a≤b ha che st(a)≤st(b). Se st(a)<st(b) è valida come

⇒si

conseguenza delľidea che a<b, mentre se abbiamo a<b non è detto che st(a)<st(b).

Se a≤b => b-a≥0 ci sono 2 casi:

1) se b-a~/~0 => st(b-a)≥0 quindi st(a)≤st(b)

2) se b-a≈0 => st(b-a)=0 quindi st(a)=st(b)

In entrambi i casi abbiamo che st(a)<=st(b) quindi è verificata □

Una funzione monotona limitata converge sempre per x→+∞ (ma anche per x→x ):

0

1.​ Sia f limitata ossia con k>0 t.c. che -K<f(x)<K per il principio di transfer si

∃K∈ℝ ∀x∈ℝ ⇒

ha che -K<f(*x)<K. Sia S=supf(x) finito poiché f è limitata e completo. Dimostriamo che

ℝ

limf(x)=S. Per definizione sup (min dei maggioranti) f(x)≤S dunque f(M)≤S per

∀x∈ℝ

transfert. Inoltre S-1/n non è un maggiorante perché è più piccolo del minimo, quindi ∃x ∈ℝ

n

t.c. f(xn)>S-1/n, ma⇒f(M)>=S-1/n perché x <M e f è crescente (in senso lato). Dunque

n

S-1/n≤f(M)≤S si ha che S-1/n≤st(f(M))=lim (x)=S st(f(M))=S

∀n∈ℕ ⇒ ⇒

x→+∞

2.​ Sia f limitata cioè t.c. f(xn)>n. Dato che M>xn Essendo f crescente (in senso

∀n∈ℕ ∀n∈ℕ.

lato) n<f(xn)<f(M) pertanto f(M) è infinito positivo e lim f(x)=+∞

x→+∞

Il carattere dipende solo dalla coda: Il carattere di una serie, dipende solamente dalla coda della

successione dei termini a

n

Dim: Se ã ≠a solo per un numero finito di radici. Allora ∑a converge SSE ∑ã converge. ∑a

n n n n n

diverge SSE ∑ã diverge e ∑a è indeterminata SSE ∑ã lo è a sua volta.

n n n ~n nk=0 nk=0

Non è restrittivo cambiare soltanto il termine k -esimo. ã ≠a -S =∑ ã -∑ a dunque

⇒S

0 k0 k0 n k k

~n ~n ~n

S =S +(ã -a ) dunque se si converge anche S cnverge, se S diverge anche S diverge e

n k0 k0 n

~n

se S è indeterminata anche S lo è

n

Teorema di Bolzano-Weierstrass per le successioni: Sia n|→an limitata (in => almeno una

ℝ) ∃

sottosuccessione convergente.

Dim: Non è restrittivo supporre 0≤a ≤1. Sia A={an|n∈N} ľinsieme di tutti i valori assoluti della

n

successione

Caso 1: A è punto che viene ripetuto ∞ volte => k|→n |→a =ā è una

⇒ ∃ā∈A k nk

sottosuccessione convergente

Caso 2: A è infinito considero questi 2 sottoinsiemi [0,½] e [½,1]. In almeno uno dei due

⇒

sottointervalli ci sono ∞ valori di A [α ,β ]=[0,1] e [α ,β ]=[0,½] oppure [½,1] basta che

⇒ 0 0 1 1

contenga ∞ valori di A.

Definiamo il primo elemento della successione: k|→γ =a .

k nk

Sia n =0 γ =a ,β ] γ =a dove n è il più piccolo n t.c. a ,β ]

∈[α ∈[α

0 0 0 0 0 1 n1 1 n 1 1

Sia [α ,β ]⊆[α ,β ] [α ,β ]=[α ,(α +β )/2] oppure [α ,β ]=[(α +β )/2,β ] basta che in [α ,β ] ci

2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2

siano ∞ valori di A.

Inoltre γ =a dove n =min {a ,β ] e n>n }...

∈[α

2 n2 2 n∈ℕ n 2 2 1

[α ,β ]=[α ,(α +β )/2] oppure [α ,β ]=[(&alph