Temi d'esame svolti Meccanica delle vibrazioni

Simulazione parte A (Esercitazione 13)

Calcolare lo Jacobiano della matrice di rigidezza indicato

4 g.d.l.

z =

• vale il principio di sovrapposizione
• Asta e disco sono lo stesso corpo rigido

=

=

=

=

Potrebbe chiedere di calcolare la matrice di massa:

(4x4)

[M] = [ λm₀ m₁ ] [ λm₀ ]

[m_j] = [m₀ m₁ m₂ m₃ m₄ J₁ J₂]

Siccome chiede lo Jacobiano, posso usare la sovrapposizione degli effetti:

• Il disco non rotola (α bloccato) e non può strisciare
• Il disco si sposta con M₃ di ẋ e quindi le molle 1 e 2 non si deformano, ma la molla 3 si.

Impongo x: Siccome asta e disco sono un unico corpo rigido, dato che le molle 1 e 2 sono collegate rispettivamente a disco e asta, non ho moto relativo tra disco e carrello e tra asta e carrello ⇒ ∆l₁ = ∆l₂ = 0. Stessa cosa per ∆l₄. La molla K₃ si accorcia di x ⇒ ∆l₃ = -x (ξ = -1)

Impongo α:

a₈λ⁸ + a₆λ⁶ + a₄λ⁴ + a₂λ² + a₀ = 0

λ₄,₁₂ = ± iω₃

λ₃,₄ = ± iω₂

λ₇,₈ = ± iω₄

(λ²[M] + [K]) z₀ = 0

3 g.d.l.

a₆λ⁶ ...

3 freq. proprie

Calcolo il 1^o modo di vibrare

Potrò scrivere solo 3 eq. su 4

3 rapporti caratteristici

(η−1)

Tr. isoscele

BC = 2(R₂ - R₁) cos α = BK + KC

(C - B) = 2(R₂ - R₁) cos² α + 2(R₂ - R₁) cos α(-sen α) J

Non posso usare Rivals con VB perché Vβ ≠ O

β = 180 - (180 - 2xα) = 2x

cos(2x) = 2cos² α - 1

in posiz. def.

(C - O) = (R₂ - R₁)(2cos² α - 1) ı̂ + (R₂ - R₁)(-2cos α sen α) ĵ

V_c = V₁ = (R₂ - R₁)(-4cosαsenα)ı̂ + (R₂ - R₁)(-2(-sen² α + cos²)α) ĵ

La velocità si calcola rispetto al centro del sist di rif, e quindi NON derivando (C - B)

I calcolo lunghezza asta

EX. 1

Il sistema, rappresentato in figura, è costituito da un’asta (M₁, J₁) vincolato a terra ad uno degli estremi mediante un carrello e un sistema molla-smorzatore. All’altro estremo l’asta è vincolata una asta priva di massa, rigidamente collegata a un disco (M₂, J₂, R) che rotola senza strisciare su un piano verticale. Sul disco 2 è applicata una coppia C(t) = C₀e^qt.

Assumendo la rotazione (θ) come coordinata libera, si richiede di:

1. scrivere l’equazione di moto non lineare del sistema;
2. calcolare il precarico della molla per mantenere il sistema in equilibrio nella posizione in figura (θ₀=π/4);
3. scrivere l’equazione di moto linearizzata considerando piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio statico.

• G.D.L. : 2 corpi: 2 x 3 = 6
• 1 carrello: -1
• 1 cerniera: -2
• 1 R.S.S.: -2
• g.d.l. (θ)

En. in var. fisiche:

E_c = ¹/₂M₁V₁² + ¹/₂J_Tω₁² + ¹/₂M₂V₂² + ¹/₂J₂ω₂²

V = V_el + V_g = ¹/₂kΔL² + M₁gh₁ + m₂ghδz

D = ¹/₂rΔL²

δ^*L = -C(t)δθ

2Lsenθẃ = Rα̇ ⇒ α̇ = 2Lsenθ ẃ₃

⇒ α = 2Lcosθ / R

V̇_G3 = V̇_B + Ẇ₃ Λ (G₃-B) = 2Lsenθẃ₁ + ẋ²¹_Lzsenθ ẃ₁

= 2Lsenθẃ₁ + 1/2 senẃ₁ - L/2cosθẃ₁ - 3/2Lsenθẃ₁ - L/2cosθẃ₁

= 2ẇ G₃ = L/2 ẋ θ (√sen²θ+cos²θ) = ẋθ √(8sen²θ + 1)

V̇_G3

V̇θ₃ relativa rispetto a θ₂

EX. 2

Il sistema, rappresentato in figura all’equilibrio, è composto da un’asta a L (scomponibile in 2 aste con caratteristiche M₁, J₁, 2L e M₂, J₂, 2L) incernierata a terra. Su di essa rotola senza strisciare un disco (M₃, J₃, R₃) al quale è applicata una coppia armonica C(t). L’asta a L è poi collegata ad un secondo disco (M₄, J₄, R₄) a sua volta incernierato a terra. Al sistema è applicato inoltre un cedimento vincolare z(t). Si richiede:

1. di scrivere le equazioni di moto considerando piccole oscillazioni (il sistema è rappresentato nella sua posizione di equilibrio statico);
2. la procedura per il calcolo delle frequenze proprie e dei corrispondenti modi di vibrare;
3. la procedura per il calcolo delle Funzioni di Risposta in Frequenza (FRF) della rotazione dell'asta e del disco₃, dovute alla coppia C(t).
4. la procedura per il calcolo delle Funzioni di Risposta in Frequenza (FRF) della rotazione dell'asta e del disco₃, dovute allo spostamento di vincolo z(t).

5 Lagrange:

_d^d(_∂c/_∂̇) / _∂ - _∂c/_∂ + ∂V/∂ + ∂D/∂̇ = Q(0,t)

⟹ *(̈) + _d^d(̇) * _∂̇/_∂ * ̇² + ∂D/∂̇ = Q(0,)

∂J()/∂ = 4L²M * z(-senϑ)

∂V/∂ = K(Δ₀ + 2cosϑ - L√2)(-2Lsen) + 2Mgcosϑ

(∂V/∂)|_̄0 = KΔ₀-2Lsen₀-4L²Ksen₀cos₀+2√2KLsen₀+2Mgcos₀=F₀sen₀

⟹ - KΔ₀·2L·√2/2 - 4L²K·√2/2·√2/2 + 2L²L·√2/2 + 2Mg√2/2 = F₀·L·√2/2

⟹ Δ₀ = F₀·L + 2√2√2K - 2√2KL²-2MgL / -2LK = F₀/2K + Mg/K

7 lin:

̃ = - ₀ ⟹ ̇̃ = ̇ , ̈̃ = ̈

⟹ * ̈̃ + r^* ̇̃ + (* + K_F0)̃ = F_Ẽ con ^* = ^*(₀) r^*r^*(₀)

Q(̇) = Q(₀) + _∂Ω1 ∂Ω₁/∂₀ = Q̃_θ0 + Q_ieiΩ_t - K_F0 ̃ - K_F1(t) ̈