Svolta logica e analitica: Frege, Russell e la Nascita della semantica moderna

INTRODUZIONE ALLA FILOSOFIA DEL LINGUAGGIO

La filosofia del linguaggio inizia a svilupparsi in modo strutturato rivoluzione logica di fine

Ottocento. L’autore simbolo di questa “svolta logica” è Frege.

Per quasi duemila anni i filosofi, dopo Aristotele e gli Stoici, hanno posto in maniera

incondizionata la logica aristotelica alla base della loro riflessione. Agli inizi del Cinquecento

si comincia a delineare una parziale rottura con la tradizione della logica aristotelica, in

quanto il sillogismo inizia ad essere visto come “riduttivo” e incapace di schematizzare

qualsiasi tipo di ragionamento.

In età moderna, il desiderio di comprendere a fondo le modalità di ragionamento impiegate

nelle dimostrazioni matematiche indusse gli studiosi ad affrontare la problematica logica con

una nuova prospettiva.

Alla logica del sillogismo si contrappone l’uso di un metodo matematico e sperimentale (il

metodo galileiano). Naturalmente non solo la logica, ma anche tutta la scienza aristotelica

basata su quella logica, viene messa in crisi: in particolare sono messe in discussione la

fisica e la cosmologia di impianto aristotelico.

La prima svolta logica (dalla logica aristotelica alla logica matematica di Frege)

Il progresso della matematica intorno al diciassettesimo secolo, Newton e Leibniz indirizzano

i loro studi verso una disciplina nuova, che diventerà ben presto centrale: l’analisi

infinitesimale. Tra la fine del Settecento e dell’Ottocento molti matematici si dedicarono

all’approfondimento del suddetto metodo, tra cui d’Alembert, Gauss, Weierstrass per cui

prese avvio quel movimento conosciuto come “aritmetizzazione dell’Analisi”.

È proprio in questo periodo che Kant affermò: «Che la logica abbia percorso questo sicuro

cammino fin dai tempi più antichi risulta dal fatto che da Aristotele in poi essa non ha dovuto

fare alcun passo indietro, a meno che non si voglia considerare correzione il ripudio di alcune

superflue sottigliezze o la più chiara determinazione della materia che essa tratta; il che

concerne piuttosto l'eleganza che la certezza di una scienza.

Importante è inoltre il fatto che sino ad oggi la logica non ha potuto fare un sol passo innanzi, e

quindi, secondo ogni apparenza, è da considerarsi conclusa e completa. [...] Come

propedeutica, la logica non costituisce quindi che il vestibolo delle scienze».

Kant si sbagliava: la logica non era completa.

A fare la differenza furono Boole e Schröder, pensatori dell’Ottocento; crearono una nuova

disciplina: l’Algebra della logica, ovvero un calcolo semplice che comprendeva le lettere

dell’alfabeto (a, b, c… per le costanti; x, y… per le variabili), utilizzava un segno di inclusione

(<) e uno di uguaglianza, due segni particolari (1 e 0) e tre operazioni: negazione, somma e

prodotto, definite da regole operative formali.

Tra gli assiomi ne figuravano alcuni comuni all'Algebra ordinaria, altri nuovi e specificamente

appartenenti a quest'ultima: ne derivava un calcolo letterale (appunto, un'" algebra")

suscettibile di due interpretazioni, a seconda che a, b, c, …, x, y...venivano interpretati come

simboli di classi oppure di proposizione.

Questa primitiva algebra della logica verrà sviluppata e completata in un complesso sistema

di logica matematica, comprendente il calcolo proposizionale, un calcolo delle classi, un

calcolo delle relazioni, una serie di calcoli, a livelli successivi, delle funzioni logiche.

> I risultati di queste ricerche vennero utilizzati da Frege e da Dedekind per sviluppare il

logicismo.

> Ricordiamo anche Giuseppe Peano che, seppur da un punto di vista alquanto diverso,

usufruirà dei medesimi risultati dando origine al formalismo.

> Muovendo da questa assiomatizzazione peaniana, Bertrand Russell tenterà poi di definire

tutti i concetti fondamentali della matematica per mezzo di assiomi logici.

>In questo modo, all'aritmetizzazione dell'Analisi succedeva la logicizzazione dell'aritmetica.

GLOTTOB FREGE, il padre della logica matematica

È considerato il padre della logica moderna, nonché della filosofia analitica che da sempre si

occupa dello studio del linguaggio come sua prerogativa. Frege ha definito una serie di

problemi nuovi, che di conseguenza hanno costituito un nuovo campo di ricerca.

Studiò presso l’Università di Jena e successivamente in quella di Gottinga, dove seguì corsi di

matematica, fisica, chimica e filosofia. Si laureò in matematica e fu nominato professore

presso il Dipartimento di Matematica dell’Università di Jena.

La sua opera Ideografia del 1879 ha segnato simbolicamente l’inizio della svolta logica.

Il suo progetto è quello di costruire un linguaggio artificiale in cui tradurre le procedure del

pensiero puro.

[...] Se è compito della filosofia spezzare il dominio della parola sullo spirito umano, svelando

gli inganni che, nell'ambito delle relazioni concettuali, traggono origine, spesso quasi

inevitabilmente, dall'uso della lingua, e liberare così il pensiero da quanto di difettoso gli

proviene soltanto dalla natura dei mezzi linguistici di espressione, ebbene, la mia ideografia,

ulteriormente perfezionata a questo scopo, potrà diventare per i filosofi un utile strumento.

-Glottob Frege

IL PROCEDIMENTO DI FREGE

I sillogismi sono formulati a partire dalle relazioni tra soggetto e predicato. L'atto di nascita

della logica moderna coincide proprio con la critica di Frege alla distinzione

soggetto/predicato come irrilevante per la logica.

>La logica, secondo Frege, si deve occupare degli enunciati relativamente a ciò che è

rilevante per le relazioni inferenziali. Ciò lo spinse a cercare la forma logica di un enunciato

nella formulazione matematica della distinzione tra funzione e argomento.

Con questi presupposti, egli progettò la sua ideografia, ossia la scrittura concettuale che ha il

compito di mettere in luce, mediante il simbolismo, strutture operanti del ragionamento del

linguaggio facendo ricorso al concetto di funzione “f(x)”

Una funzione matematica: y= f(x)

➢

è tipicamente una corrispondenza (f) tra due insiemi di numeri, gli argomenti (x) e i valori

(v). Se ad esempio f sta per "+1", per ogni numero x avremo come valore il successore di x.

E, come aveva già capito Cartesio, a una funzione può essere associato un grafico o una

figura geometrica (in questo caso una retta).

> Frege, alla ricerca dell'ideale leibniziano di un calcolo universale dei simboli,

generalizza il confetto di funzione. Egli accetta cioè al posto di argomenti e valori,

oggetti qualsiasi e non solo numeri. Possiamo ad esempio scrivere Uomo (x) come modo

di rappresentare il concetto Uomo, o come abbreviazione di " è un, o magari utilizzare U

(dove per "uomo" si intende persona adulta di sesso maschile). Ogni volta che sostituiamo

la x con un nome di uomo, l'espressione assume come valore il vero. Se sostituiamo la x

con un nome di donna avremo come valore il falso.

>Un concetto è dunque analogo a una funzione che ha come valore il vedo se per

argomenti ha oggetti che cadono sotto il concetto (i membri della classe denotata dal

concetto) e come valore il falso nel caso contrario.

CONCETTO

Il concetto è una funzione che ha per valori, valori di verità.

Questa definizione corrisponde a quella che Russell chiamerà “funzione proposizionale”.

Questa definizione vale per ogni tipo di concetto, cioè sia per le proprietà, sia per le

relazioni. In quest'ultimo caso vi saranno più variabili invece di una. Avremo così:

• espressioni per proprietà come

Uomo (x), Buono (x), Corre (x), Pari (x), Dispari (x);

• espressioni per relazioni binarie come

Maggiore di (x,y), Minore di (x,y), Ama (x,y), Uccide (x,y);

• espressioni per relazioni ternarie come

Geloso (x,y,z), Somma di (x,y,z), e così via.

>Analogamente al caso delle proprietà, "Ama (x,y)" è quella relazione che dà luogo a una

proposizione vera se sostituiamo le x e le y con i nomi, rispettivamente, di amante e di

amato, e così via.

Le espressioni per proprietà e per relazioni vengono oggi chiamate usualmente

➢ "predicati a n-posti/ n-adici". Si fa notare così che non vi è differenza formale tra

proprietà e relazioni una volta che i concetti (proprietà e relazioni) sono visti tutti

in analogia con le funzioni. La differenza è il numero di argomenti che devono essere

saturati.

Frege non solo generalizza il concetto di funzione, ma rivolge una critica ai filosofi e ai

matematici del suo tempo, in particolare sulla confusione tra segno e designato, cioè tra

espressione e contenuto. Limitandoci al caso dei concetti possiamo dire:

• i concetti sono in generale denotati da predicati, espressioni linguistiche "insature", tali

cioè che hanno sempre uno o più posti di argomento dati con lettere variabili (le funzioni

matematiche saranno denotate da funtori);

• gli argomenti, che possono essere oggetti qualsiasi, saranno denotati da termini

singolari, cioè espressioni del linguaggio che si riferiscono a un singolo oggetto

individuale. I termini singolari vanno a riempire (o a "saturare") i posti di argomento dei

predicati.

>La metafora di "entità sature" e "entità insature", sviluppata in analogia con il linguaggio

della chimica, aiutò Frege a definire con maggior chiarezza la struttura del suo linguaggio

formale.

ESPRESSIONE CONTENUTO

denota

Termine singolare (nome proprio) oggetto

Termine concettuale (predicato) concetto (proprietà e relazioni)

La logica proposizionale che si afferma nel corso della prima metà del Novecento si basa

dunque su quanto scoperto da Frege: uno specifico linguaggio formale formato a sua volta da

un vocabolario e da una grammatica.

>Il vocabolario è costituito da: un insieme "L" infinito numerabile di lettere proposizionali; un

insieme di simboli connettivi vero-funzionali e un insieme di simboli ausiliari.

>La grammatica si specifica attraverso le cosiddette regole di buona formazione, ossia regole

ricorsive che permettono di definire quali sequenze di simboli appartenenti al vocabolario

costituiscano le formule ben formate.

>Si formulano poi, in termini puramente sintattici, regole dette regole d'inferenza che

consentono di derivare enunciati da altri enunciati: l'insieme di queste regole forma un

sistema chiamato calcolo proposizionale.

Inoltre, rispetto alla logica tradizionale, la quantità espressa dalla funzione proposizionale

viene precisata in modo rigoroso grazie all'adozione di speciali operatori, che saranno poi

chiamati quantificatori. Grazie all'invenzione di un formalismo per le espressioni di

generalità unificò le tradizioni della logica aristotelica e della logica stoica.

>Nel linguaggio ordinario, i quantificatori corrispondono ad espressioni come «tutti»,

«nessuno», «qualche», e vengono usate per descrivere le quantità degli oggetti.

Solitamente si trovano all'inizio di enunciati universali - ad esempio, «tutti gli uomini sono

mortali» - e particolari - ad esempio, «alcuni uomini sono biondi».

I due simboli che indicano i quantificatori sono:

• "∀”: che traduce espressioni come "tutti" o "per ogni" e si usa per rendere gli enunciati

universali;

>"∃”: che traduce espressioni come " qualche" o "esiste almeno un 'x' tale che" e si usa per

rendere gli enunciati particolari.

Frege realizza così una nuova forma di logica, il calcolo dei predicati, che contiene la

sillogistica aristotelica come sua sotto parte (già al termine dell'introduzione dell'Ideografia,

mostra come la sua logica riesca facilmente a esprimere il quadrato aristotelico delle

opposizioni).

> Per ciò che concerne una semantica della logica del primo ordine, si usano i modelli.

Ciascuno di essi è costituito da una coppia: M-(D,I} in cui è il dominio, è la funzione di

D I

interpretazione che mappa costanti individuali su individui e costanti predicative su classi di

individui (che costituiscono le correlative estensioni).

>Inoltre è importante specificare che la dicitura "logica del primo ordine" allude al fatto che si

prende in considerazione soltanto la quantificazione su individui: le logiche che contemplano

anche la possibilità di quantificare su proprietà di individui o proprietà di proprietà di individui,

infatti, sono chiamate logiche di ordine superiore.

Nel costruire una nuova logica, Frege sviluppa un’analisi del contenuto concettuale o

informativo di un’espressione, che denomina “senso”.

Frege attribuisce senso a ogni tipo di espressione del suo linguaggio: termini singolari,

predicati ed enunciati.

La sua definizione di pensiero come senso (individuare il contenuto informativo è pensiero)

caratterizza quella che si suole definire la “svolta linguistica” del XX secolo.

La distinzione fra senso e riferimento è tra le più famose di Frege ed ha segnato gli inizi della

semantica logica. Questa distinzione viene sviluppata da egli in uno dei suoi saggi più famosi,

“Senso e riferimento”, discutendo il concetto di identità.

L’identità può essere vista come un rapporto tra oggetti oppure un rapporto tra segni.

Questa spiegazione di identità non spiega la differenza di valore conoscitivo tra a=a e a=b, o

per fare l’esempio di Frege con Venere, tra la “Stella del mattino= la Stella del mattino” e la

“Stella del mattino= la Stella della sera”. Queste espressioni indicano entrambi Venere, ma il

valore conoscitivo è un valore che si può attribuire solo a posteriori. Le espressioni “Stella del

mattino” e “Stella della sera” indicano entrambe Venere. Abbreviamo le due espressioni

rispettivamente con a e b, seguono due considerazioni:

1. a = a è una verità analitica e a priori, mentre a = b esprime, nell'esempio dato, un

giudizio sintetico a posteriori, tale cioè che accresce la nostra conoscenza e richiede

esperienza;

2. Non basta nemmeno dire che l'identità è un rapporto tra nomi, tra etichette diverse

attribuite allo stesso oggetto, perché il valore cognitivo non riguarda semplicemente la

scelta arbitraria di termini intercambiabili. L'uso dell'uguaglianza tra i due nomi in

questo caso è stato il risultato di una scoperta dovuta a studi astronomici accurati,

che hanno corretto credenze false (ad esempio che esistessero due differenti corpi

celesti indicati con i due nomi).

Per spiegare la differenza tra a=a e a=b, Frege ritiene necessario prendere in considerazione

un terzo elemento oltre al nome dell’oggetto, e cioè il modo di presentazione dell’oggetto.

Un asserto di identità del tipo a=b comporta il riconoscimen