Strutture algebriche

STRUTTURE ALGEBRICHE

Una legge di composizione interna n-aria è una funzione:

w: A×...×A → A

n-volte

Saremo interessati al caso n = 0, 1, 2 (n = 0 equivale a scegliere un elemento)

NOTAZIONE:

(Caso binario) w(a,b) è la notazione prefissa/funzionale

Come per esempio +: IN×IN → IN

Not. funz. +(a,b), ma per op. binarie si utilizza una notaz. infissa a + b invece di +(a,b)

ESEMPI

1. Addizione: +: Z×Z → Z   (a,b) ↦ a+b   op. interna binaria
2. L'opposto/inverso: -: Z → Z   a ↦ -a   op. interna unaria
3. Divisione: [R×R → R   (a,b) ↦ a/b   è op. interna binaria?

NON È UNA FUNZIONE DATO CHE ÷ ∉ ₀ NON È DEFINITA, LO SAREBBE DEFINITA IN {R|R₀} (q.e.) → P|{0} (q.e.f.)

÷: IN × IN → {N} (q.e.b.) → a ÷ b è op. binaria interna? NO

NON È PIÙ INTERNA! (1, 5) → 4 ∉ N!

LO SAREBBE ÷: ZZ × ZZ → ZZ (q.e.b.) a÷b è op bin. interna.

1. M_m×n (R) × M_n×m (R) → M_m×m (R)
2. +
• (A, B) → A + B è op mt. binaria
3. -
• (A, B) → A - B “    ”
4. ⊥: IN_m×m (R) → M_m×m (R) è op mt. unaria

• A → A^t

5. P(x) × P(x) → P(x)

P(x) = {y | c=x}

• (A, B) → A + B è op int. binaria
• c : P(x) → P(x)

• A → A^c

6. ∃A ∈ PUNTO E ∃ *: A × A → A op bin. interna, possiamo costruire

LA SUA TABELLA MOLTIPLICATIVA:

• A = {a, b, c}

abcabcbaccba

A = {a, b, c}

• a * c = a
• b * a = a
• c * b = c

Def UNA STRUTTURA ALGEBRA È UNA COPPIA Θ, Ω DOVE Ω = _{ω1, …, ωp} È UN INSIEME DI OPERAZIONI

Def SEMIGRUPPO : (A, ☉) DOVE ☉: A × A → A È op int. binaria CHE È associativa

∀a, b, c ∈ A : a · (b · c) = (a · b) · c

OSS: L’ASSOCIATIVITÀ MI PERMETTE DI TOGLIERE LE PARENTESI

3) CALCOLA:

(g^b)^a = g^a·b

CHIAVE COMUNE SEGRETA

DATO CHE g^b·a = g^a·b A e B CONDIVIDONO LA CHIAVE SEGRETA g^a·b

SICUREZZA: CONOSCENDO g^a (o g^b) È DIFFICILE CALCOLARE a

(PROBLEMA DEL LOGARITMO DISCRETO) a = log_g (g^a)

Assioma Associatività

Inν'T. Idx ∃x ∀y ∃z ( E( P(y,x,y),z )∧E( P(y,x,y) ) →E( P(y,x,y) )

Assioma di Inverso

∀y ∃z ( E( P(y,z),x)∧E(p(y,x)) )

Assioma di Monoid con Id. x

Se invece avessimo usato la costante e :

Id e: ∀y ( E( P(y,e),y )∧E( P(y,e),y )

∀y ∃z E( P(y,y)∧E( P(y,z,e) )

Possiamo semplificare leggermente i precedenti assiomi di gruppo:

Teorema:

• (G,*,1) è un gruppo;
• esiste identità dx: ∃e ∀g∈G g*e = g
• esiste inversa sx: ∀g∃s ∈ G s*g = e;

Uguale a identità sx e inversa dx;

Ponete conmutare il prec. assioma Inv+Id:

∃x ( ∀g ∃h E ( P(g,x),g ) ∧ ∀g ∃h E ( P(h,g),x )

Identità dx

Inverso sx

Strutture Algebriche con due op. binarie

Df (anello) è una strutt. algebrica (A,+,・) dove +: A×A →A

・: A×A → A sono op. int. binarie t.c.

• (A,+) è gruppo commutativo con elem. neutro che denotiamo 0;
• (A,・) semigruppo (detto moltiplicativo)
• valgono le proprietà distributive:

∀a,b,c ∈ A

a・(b+c) = a・b + a・c distrib. a sx

(b+c)・a = b・a + c・a distrib. a dx

1) (H, o) è un sottosemi gruppo di un sem (S, o) sse

• ∀ a, b ε H a · b ε H

In particolare (H, o) è un semigruppo

2) (H, i, e) è un sottomonoide dei mon. (H, i, o) sse è sottosemigruppo

• e ε H ⇔ e · e ε H & ∀ a, b ε H a · b ε H

Esempi:

1. (N, +, 0) sottomonoide di (R, +, 0) che è sotto mon. (Q, +, 0)
2. (Q, +, 0)
3. (R, +, .1)
4. (C, i, i²)

2) (Z₆, +) H = [<0>₆, <2>₆, <4>₆]

•      • [<2>₆, <4>₆, <0>₆]

(H, i) è un sottomonoide

3) In generale se Q ε M monoide possiamo costruire il più piccolo

sottomonoide che contiene Q:

• <a> = {aⁱ i ε N_>0}
• infatti ∀ aⁱ, a^j ε <a> a^i+j ε <a>

Es (Z₈, i):

    <[3]>₈ = { [1]₈, [3]₈, [9]₈ = [0]₈ ... }

• <[2]>₈ = {[1]₈, [2]₈, [4]₈, [8]₈, [16]₈ = [7]₈, [11]₈ = [5]₈, [10]₈, [1]₈}

3) (H, i, e, i^-1) è un sottogruppo del gruppo (G, i, e, i^-1) sse

1. ∀ a, b ε H a · b ε H
2. ∀ a ε H a² ε H

Osservazione: Non richiedo e ε H (infatti da ii) se a ε H ⇒ a² ε H e da i)

e · a · a^-2 ε H!

Proprietà: (Criterio per gruppi) (H, i) è un sottogruppo di (G, i) sse

• ∀ a, b ε H a^{· b-1ε}

E_n = < j₁, j₂ >

Si dimostra che la str. quo. (A/β, Ω_β) è dello stesso tipo di (Λ, Ω_ℴ)

1) W (ℤ/7, ⊕) anello

β = E_n è una congruenza

E (Λ/Ω_β) che anello è?

ℤ/β = {0, 1}_β

Inoltre [a]_β ⊕_β [b]_β = [a + b]_β

p = ⊕_β

p = ◦_β

2) (ℤ/ϕ, ◦) x y xy > 0 or x y < 0

ℤ/ϕ = {[-1]_β, [1]_β}

(ℤ/ϕ, ◦) ≃ (ℤ/2, ⊕)

Isomorfe"si comportano nello stesso modo a meno di rinominare gli elementi"

3) In (ℝ[x], +, ◦) definiamo ʃ ⊆ ℝ[x] ∩ ℝ[x] P₁(x) ʃ P₂(x) se (x² + 1) | P₁ - P₂

(x∈Ξ x³-4 x ³+2 x²-2 )

1) Ver. che è d’equivalenza;

2) È congruenza P₁ ʃ ϱ₁ ʃ ϱ₂ ⇒ P₂ - ϱ₂ = k(x)(x²+1)

P₂ - ϱ₁ = t(x) (x²+1)

P₁ P₂ ʃ ϱ₁ - ϱ₂

Cerchiamo di capire che è l’anello (ℝ[x]/ʃ, +_ʃ , ◦_ʃ)?

Vd. come sono fatte le classi [P_ℎ]_ʃ di ℝ[x]/ʃ

Osserviamo che possiamo dividere P(x) per x²+1