Statistica inferenziale

VARIABILI CASUALI

Spazio campionario: tutti gli eventi elementari. Collezione (o catalogo) di tutti gli eventi: tutti i possibili sottoinsiemi dello

spazio campionario (e l’evento nullo). Probabilità: funzione che assegna a ciascun evento un valore nell’intervallo [0,1].

dallo spazio campionario agli eventi casuali variabile

Volendo passare è necessaria una

casuale. Spesso le variabili non sono numeriche e può essere necessario trasformare le

“etichette” in numeri.

Variabile casuale Ω

variabile casuale X funzione definita sullo spazio casuale che associa

Una è una qualsiasi

ad ogni evento elementare un numero.

xi realizzazioni

Tutti i possibili risultati si indicano con e rappresentano tutte le possibili di X. La

di tutti gli xi

funzione include (in forma di sottoinsieme) tutti gli eventi. L’insieme si chiama

supporto.

Prendendo ad esempio il lancio di una moneta, i possibili risultati sono testa o croce. Volendo analizzare le teste si

successo 1 0.

definisce una variabile casuale, una funzione tale per cui il (testa) si associ a e l’insuccesso (croce) a

Dunque il supporto può essere {0,1}; le realizzazioni {0,1} e sulla base di queste si avrà la probabilità P(T)=P(1)=1/2

Esempio dado: probabilità P(AUBUC)=1/2

Variabili casuali discrete, continue

- Discreta: variabile che può assumere solo un numero finito di valori.

- Continua: variabile che può assumere tutti gli infiniti valori reali.

Se lo spazio campionario è discreto, la variabile casuale sarà necessariamente discreta;

se lo spazio campionario è continuo, la variabile casuale può essere sia continua che discreta.

VARIABILI CASUALI DISCRETE

Le variabili casuali discrete possono derivare da eventi sia discreti che continui.

Esempio: lancio di due dadi e somma dei risultati. in questo caso X può assumere tutti i possibili valori da 2 a 12. Da ciò

è possibile costruire una tabella di distribuzione di probabilità. Nell’esempio fatto ogni coppia di risultati è

equiprobabaile e la probabilità della variabile casuale “somma” è data dalla somma delle probabilità delle prove che

forniscono quel risultato.

Funzione di probabilità

Dato che ad ogni elemento dello spazio campionario è associata una probabilità, è possibile che

anche ai valori che può assumere la variabile casuale si associ una probabilità.

(realizzazioni)

Per costruire una distribuzione di probabilità delle variabili casuali si calcola la probabilità di ogni

probabilità P(X=xi)=P(xi),

realizzazione della X. Si cerca quindi la ossia la probabilità che la

variabile casuale x assuma il valore xi. Da ciò si ricavano due proprietà della funzione di

probabilità di una variabile casuale discreta:

n

∑ P(x ) ≥ 0

P(x ) = 1 e

, probabilità che si verifichi omega i

i

i=1

Funzione di ripartizione - di probabilità cumulata funzione di ripartizione F(X)

Avendo la funzione di probabilità, è possibile calcolare la come una

sommando le probabilità P(xi) fino ad ottenere 1.

funzione di probabilità cumulata:

Questa funzione trova applicazione soprattutto quando si sia interessati a valutare le probabilità di

valori minori (o maggiori) o uguali ad una determinata realizzazione P(X<xi).

∑

F(x) = P(X ≤ x ) = P(X = x )

i i

x ≤x

i

Proprietà della funzione F(x) ≤

- F(x) non è decrescente:

La funzione se x1 < x2 —> F(x1) F(x2) - può essere costante, crescente

≥

- F(x) = 0 se x < min(xi) F(x) = 1 se x max(xi)

- F(x) è una funzione continua a destra, a “grandini”, che rimane costante tra i punti di salto.

Si definisce quindi anche per valori diversi di quelli che la v.c. può assumere.

probabilità di un intervallo

La è calcolabile anche con la funzione di ripartizione, come la

differenza delle due funzioni. 5 di 15

Valore atteso o media di una variabile casuale discreta 11.05.2022

Data una variabile casuale discreta con un numero finito di valori (o al più numerabile) con

valore atteso (o media)

funzione di probabilità P, il della v.c. è la somma di tutti i possibili valori

moltiplicata per la probabilità:

k

∑

E(X ) = x P(x ) , analogo alla media ponderata

i i

i=1

Questa media si distingue dal quelle calcolata come moderata con le frequenze relative in quanto

rappresenta l’intera popolazione ed è quindi un’assunzione (non destre unità statistiche

E(X) indipendentemente da qualsiasi rilevazione

realmente osservate). esiste dei dati, è

calcolabile a priori rispetto l’esperimento.

Proprietà

- E(a) = a

La media di un valore costante, noto, è pari al valore:

- Il valore atteso di una somma si può scrivere come la somma di due valori attesi; la media di un

prodotto in cui uno dei fattori è una costante si può scrivere come la media di quel valore che

E(a+bX) = a + bE(X)

moltiplica la costante

- Trasformazione qualsiasi: se h(X) è una qualsiasi trasformazione, la sua media è data dalla

sommatoria della trasformazione moltiplicata per la connessa probabilità:

k

∑

E[h(X )] = h(x )P(x )

i i

i=1

Varianza di una variabile casuale discreta

misura di dispersione attorno alla media,

La varianza è una in questo caso di una variabile

casuale. Si descrive come:

k 2 2 2

∑

Var (X ) = [x − E(X )] P(x ) = E(X ) − E(X )

—>

i i

i=1

Deviazione standard

deviazione standard

La (o scarto quadratico medio) si ricava mediante la radice quadrata della

varianza:

SD(X ) = Var (X )

Trasformazione lineare

trasformazione Y: h(X) = X - E(X) = X - 7,

Si ponga come ossia una trasformazione lineare.

In questa, il valore X rappresenta una variabile causale mentre la media è nota ed è una costante

media

pari a sette. Applicando la proprietà della media si ha che E(Y) = E[X-E(X)] = E(X) - 7 = 0 (la

di una trasformazione è sempre zero)

Da ciò è possibile calcolare la probabilità della trasformazione:

P (y) = P(Y = y) = P(X − 7 = y) = P(X = y + 7)P (7 + y) con valori y noti

Y X

Trasformazione lineare come variabile casuale standardizzata

trasformazione lineare, standardizzazione,

Lo stesso risultato è ottenibile mediante un’altra la

confronto

nota come Z, che permette il tra variabili standardizzate (qualsiasi sia la X iniziale).

X − E(X )

Z = , esprime la distanza tra i valori della v.c. e la media, rispetto alla grandezza della deviazione standard.

SD(X )

Con la quale è possibile calcolare la probabilità:

( )

X − E(X )

P (z) = P z = = P(X = SD(X )z + E(X ) = P (SD(X )z + E(X ))

Z X

SD(X ) 6 di 15

Variabile casuale standardizzata e proprietà

La variabile casuale Z è una trasformazione lineare descrivibile come il rapporto sopra descritto e

confronto caratterizza

permette il in quanto qualsiasi variabile standardizzata si per avere:

E(Z ) = 0 Var (Z ) = 1

e

Sapendo che Z è una variabile standardizzata e conoscendo la media e la varianza della variabile

desumere i valori originali X

originale è possibili invertendo la relazione:

X = SD(X )Z + E(X )

DISTRIBUZIONI

Distribuzione uniforme discreta (1)

variabile casuale uniforme discreta

La trova applicazione nei caso in cui si campiona

assumere valori interi in un dato intervallo,

causalmente, dato che può tutti con la stessa

probabilità. Questa distribuzione si indica come:

X ~ Ud (a; s) s a

, dove è il numero dei possibili valori e il minore tra quelli

Funzione di probabilità; media e varianza

probabilità [a; s]

La dei valori contenuti nell’intervallo è pari a:

1

P(x) = zero

; mentre è pari a per tutti i valori diversi da quelli dell’intervallo

s

valore atteso varianza

Mentre il e la sono valori ricostruibili mediante:

2

s − 1 s − 1

E(X ) = a + Var (X ) =

2 12

Distribuzione di Bernoulli (2)

variabile di Bernoulli variabili binarie,

La trova applicazione con le per le quali vi sono o solo

due possibili esiti. In particolare il “successo”, il verificarsi dell’evento in questione assume valore

1, probabilità p; 0

con l’insuccesso o il non verificarsi assume il valore con probabilità 1-p.

X ~ Bernoulli (p) , dove p indica il parametro probabilità dell’evento “successo”

Funzione di probabilità; media e varianza

La probabilità si descrive sempre entro l’intervallo [0; 1], qui come:

x 1−x

P(x) = P(X = x) = p (1 − p) con x=0 ; x=1

E(X ) = p Var (X ) = p(1 − p)

Esempio

7 di 15

Distribuzione binominale (3)

distribuzione binomiale n volente le prove,

La poggia su quella di Bernoulli (p): ripete

indipendenti le une dalle altre e nelle stesse identiche condizioni, estraendo da ognuna di queste

un risultato che corrisponde a “successo" o “insuccesso”.

X ~ Binomiale (n, p) , dove n è il numero di prove e p la probabilità

X somma di tutti i possibili risultati,

La variabili casuale è data dalla visti come: Xi ~ Bernoulli.

X,

Dato che le Xi possono assumere solo valori 0, 1, la variabile casuale che rappresenta il

numero di successi in n prove bernoulliane indipendenti con p costante, può assumere tutti i

[0; n].

valori compresi tra gli estremi della stessa variabile

Funzione di probabilità; media e varianza

La funzione di probabilità si descrive come:

( )

nx x n−x

P(X = x) = p (1 − p) , dove la prima parentesi descrive il coefficiente binomiale

E(X ) = np Var (X ) = np(1 − p)

media e varianza crescono con il crescere di n.

da cui si nota che

distribuzione è simmetrica

La solo quando la probabilità del successo e dell’insuccesso è equi-

valore atteso è pari a n/2.

probabile (p=0,5). Dunque il La distribuzione tende in ogni caso ad

essere simmetrica rispetto al valore atteso quando n cresce tanto e tende ad essere

(infinitamente) grande. sempre unimodale.

La distribuzione binomiale è 16.05.2022

Grafici distribuzione

Conoscendo la (qualsiasi) della variabile casuale è possibile costruirne il

grafico probabilità

calcolando la di ogni valore possibile, che determinerà l’altezza della

forma della distribuzione

barra. Formato il grafico si valuta la (simmetria o asimmetria,

posi