Sistemi energetici, parte 2 - Principio di conservazione dell'energia, Equazione di Bernoulli ed Equazione di Eulero

2-PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA

INTROUZIONE E IPOTESI SEMPLIFICATIVE

Il sistema che segue è in grado di scambiare con l’esterno:

• Massa

• Lavoro

• Calore

Nel sistema rappresentato si nota la presenza dell’elemento mobile (una sorta di rotore,

girante) che garantirà la possibilità di scambio di lavoro con l’esterno.

Nella notazione che viene utilizzata le grandezze in lettera maiuscola indicano le grandezze

globali nel loro intero ammontare, mentre le lettere minuscole fanno riferimento a

).

grandezze specifiche (riferite quindi all’unità di massa e cioè al

Nello specifico si distinguono: 1 ≔

2 ≔

̇ ≔ = [/]

1

̇ ≔ = [/]

2

1 2

̇

̇

1 2

Per convenzione e (lavoro e calore) sono positivi se entranti nel sistema

Prima di giungere alla definizione del Principio di Conservazione dell’energia è necessario

andare a considerare quattro ipotesi che semplificano la trattazione:

• Ipotesi 1: Moto Monodimensionale

• Ipotesi 2: Sistema Inerte

• Ipotesi 3: Sistema di riferimento assoluto

• Ipotesi 4: Stazionarietà

IPOTESI 1: MOTO MONODIMENSIONALE

Tale ipotesi comporta che tutte le proprietà o grandezze termofluidodinamiche risultano

uniformi nella sezione (ma in sezioni differenti potrebbero esserci proprietà differenti).

Il termine monodimensionale indica che la dipendenza delle varie proprietà è

esclusivamente legata ad una direzione.

L’ipotesi di monodimensionalità deve essere valutata come sufficientemente veritiera e

quindi consideriamo i differenti tipi di moto di un fluido:

• Moto Laminare

E’ un moto ordinato e regolare.

E’ possibile pensare il fluido come caratterizzato da tante lamine fra di loro

sovrapposte che scorrono parallelamente l’una contro l’altra.

Nel Moto Laminare, a causa dei fenomeni viscosi (cioè di attrito lungo le pareti del

condotto), ci sarà un’azione di rallentamento, che sarà massima in corrispondenza

delle pareti e minima nella parte centrale del condotto.

Gli effetti della parete si trasmettono da uno strato all’altro delle lamine, quindi da

velocità nulle sulle pareti, man mano che ci si allontana da esse, aumenterà la

velocità fino a raggiungere il valore massimo al centro, definendo così un profilo di

velocità parabolico:

• Moto Turbolento

Si tratta di un moto caotico, irregolare, non deterministico e caratterizzato da

un’estrema caoticità.

• Nel caso di Moto Turbolento la particella tende a muoversi in maniera irregolare

spostandosi verso l’alto e verso il basso.

Ciò comporta che ogni volta che si muove verso una parete rallenta ma quando si

allontana interagisce con le altre particelle del fluido, definendo così scambi

energetici, quindi una maggiore uniformità nei profili di velocità, ragion per cui si ha

un profilo tendente al piatto e non parabolico.

Vale la stessa condizione per la quale sulle pareti la velocità è nulla, per poi avere dei

forti gradienti dello strato limite e raggiungere una velocità pressochè costante.

Tra i due moti, l’ipotesi di monodimensionalità risulta maggiormente veritiera sul moto

turbolento, quindi la si può considerare valida.

L’ipotesi di monodimensionalità si ricercherà principalmente nelle sezioni in ingresso e in

uscita.

Per poter valutare e distinguere se un moto è laminare, turbolento o in regime di

transizione si introduce il Numero di Reynolds:

= = []

1

= ≔ à = [ ]

3

≔ à

≔

≔ à

IPOTESI 2: SISTEMA INERTE

Nel Sistema Inerte non avvengono né reazioni chimiche né reazioni fisiche e sarà

caratterizzato da un’energia interna di tipo chimico-fisica nulla:

= 0

IPOTESI 3: SISTEMA DI RIFERIMENTO ASSOLUTO

Un sistema di riferimento è assoluto nel momento in cui risulta essere solidale al sistema

delle “stelle fisse”, sistema che per convenzione non è dotato di moto.

L’unica energia da prendere in considerazione in questo caso è l’Energia Potenziale

Gravitazionale (energia potenziale legata alla forza di gravità).

Supponiamo di avere un oggetto posto ad una determinata quota, quest’ultima garantisce

un potenziale energetico che verrà reso disponibile nel momento in cui l’oggetto verrà

spostato dalla quota iniziale ad un’altra posizione.

IPOTESI 4: CONDIZIONI STAZIONARIE

Tale ipotesi indica che tutte le grandezze sono invarianti nel tempo, rimangono costanti.

Considerando come una generica grandezza, si può dire che:

=0

La condizione di stazionarietà è valida per le macchine dinamiche (turbomacchine)

IL PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA (APPROCCIO EULERIANO)

Si parla di Approccio Euleriano quando si focalizza l’attenzione ad una regione ben definita

nello spazio e si osserva cosa accade in quella regione.

Riportiamo il sistema introdotto precedentemente:

L’ipotesi di Monodimensionalità comporta che possiamo caratterizzare ciascuna sezione con

una grandezza, con un unico valore. ( ), ( ), ( ),

Le grandezze possono essere l’energia interna la quota la velocità la

( )

pressione ecc…

Tutte le grandezze, per ciascuna sezione, saranno un’unica grandezza utile per la

caratterizzazione; quindi non si ha necessità di definire il profilo perché in ciascuna sezione

si considerano grandezze che non variano trasversalmente, ma si ha un profilo uniforme.

Il Principio di Conservazione evidenzia che la variazione nel tempo dell’energia sarà legata

alla potenza complessivamente entrante ed uscente dal sistema.

= −

∑ ∑

Ad esempio, se la potenza entrante è maggiore di quella uscente ci si aspetta che vi sia

complessivamente un incremento dell’energia del sistema e viceversa.

Per l’ipotesi di stazionarietà: =0

Quindi: =

∑ ∑

Se si considera qual è l’energia, e quindi poi la potenza bisogna vedere cosa entra nel

sistema (potenza entrante) e cosa esce (potenza uscente).

̇

In termini di Potenza Entrante, si ha una portata di fluido che sta entrando e a cui sono

1

[/]):

correlate delle energie (energie specifiche, misurate in

•

Energia Interna

• 2

/2

Energia cinetica

• ( )

Energia Potenziale

L’energia entrante del fluido sarà la somma: 12

+ +

1 1

2

Poiché si vuole giungere alla Potenza entrante con il fluido, che è il prodotto della portata

per l’energia del fluido, si moltiplica in tal modo:

12

̇ ∙ + + = = ]

( ) [

1 1 1

2

Vanno considerati altri componenti della potenza e quindi analizziamo la Potenza di

trasporto legata al fluido entrante, che corrisponde alla potenza messa in gioco dal fluido

che sta entrando sul fluido che è già entrato (il fluido che sta entrando deve “spingere” il

fluido che è già entrato e quindi deve determinare un certo lavoro di trasporto per unità di

tempo).

Si tratterà quindi del prodotto di una Forza per una velocità:

1 1 1

Bisogna considerare che si ha la possibilità di scambiare lavoro e calore, che sono energie,

ma come già visto bisogna esprimere le relazioni in termini di potenza. Per cui il lavoro verrà

trattato come potenza meccanica scambiata e il calore come potenza termica scambiata:

̇

≔ ≔

= ̇ ∙ = = ]

[

̇ = ̇ ∙ = = ]

[

Abbiamo assunto che e positivi se entranti nel sistema, quindi saranno positive anche

le relative potenze rispettata la condizione considerata.

In termini di Potenza Uscente, seguendo analoghe considerazioni avremo energia interna,

cinetica, potenziale e poi la potenza derivante il lavoro del fluido che sta uscendo sul fluido

già uscito. 22

̇ ∙ + + ,

( )

2 2 2 2 2 2

2

Ora è possibile riscrivere la relazione: =

∑ ∑

12 22

̇

̇ ∙ + + + + + =

̇ ∙ + + + (∗)

( ) ( )

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2

2 2

Ora sfruttiamo le ipotesi semplificative precedentemente discusse per ottenere una

relaz