Ship structures

SHIP STRUCTURESTEORIA

Anno Accademico 2022-2023 Alessia Canepa

Sommario

Elementi Isoparametrici

Funzioni di forma

Elemento isoparametrico di ordine elevato

Funzioni di forma: Elementi monodimensionali con tre nodi (solo una coordinata r)

Jacobiano

Integrazione numerica

Errore. Il segnalibro non è definito.

Regola del trapezio ....................................................................................................... 19

Ponte di Gauss (integrazione di Gauss).............................................................................................................................................. 21

Piastra e guscio........................................................................................................ Errore. Il segnalibro non è definito.

Piastra .................................................................................................................. 22

Teoria delle piastre di Kirchhoff............................................................... Errore. Il segnalibro non è definito.

Teoria delle piastre di Mindlin:............................................................................................................................................................. 23

Guscio...............................................................................................................................................................

23Solidi

23Bloccaggio a taglio

24Modale Elementi Isoparametrici

Definizione:

Gli elementi isoparametrici vengono adottati per strutture con geometria complessa.

Essi usano mappature o trasformazioni per relazionare elementi con forma geometrica complessa

nel sistema globale (x, y) in elementi con forma geometrica semplice nel sistema naturale (r, s).

La formulazione si basa sul creare una corrispondenza reciproca tra un elemento di forma qualsiasi

nel sistema cartesiano globale e un elemento di forma semplice nel sistema naturale (in cui le linee

sono rette, le superfici piane). La scelta della normalizzazione viene normalmente effettuata tra 0 e

1 o tra -1 e 1.

Quindi gli elementi assumono forme che sono

Le stesse degli elementi originali ma ridotte a forme elementari. Funzioni di forma

Per ottenere una soluzione più o meno vicina al modello FE si usano le funzioni di forma che sono generalmente polinomiali (o comunque a comportamento noto). Le funzioni di forma, partendo dagli spostamenti nodali, restituiscono gli spostamenti dei punti interni degli elementi. Poiché in questo caso ci sono 2 nodi, la mappatura naturale conterrà due funzioni interpolanti che saranno moltiplicate per le coordinate nel riferimento locale.

Proprietà delle funzioni di forma:

Le funzioni di forma devono soddisfare quattro requisiti fondamentali, due di completezza e due di compatibilità con il risultato di garantire la convergenza monotona verso il risultato esatto.

1. Proprietà delta di Kronecker: la funzione di forma in qualsiasi nodo, ha valore unitario nel nodo considerato e valore 0 in tutti gli altri nodi.
2. Compatibilità: l'approssimazione dello spostamento

è continua attraverso i confini degli elementi.

3. Completezza rigidi dell’elemento senza l’insorgere- Moto di corpo rigido: ovvero capacità di avere spostamenti di tensioni all’interno. ovvero consentire stati di deformazioni costanti in tutto l’elemento.- Stati di deformazione costante:

4. Isotropia della geometria: quando la geometria è la stessa indipendentemente dalla direzione.

Funzioni di forma di elementi monodimensionali: sono presenti due funzioni di forma perché ci sono due nodi.

Per la proprietà di Kronecker: Equazione che passa per una retta:

1. Correlare gli spostamenti generali all'interno dell'elemento agli spostamenti nodali

2. Esprimere la deformazione interna in termini di spostamenti nodali

Dove: B= matrice dei coefficienti di deformazione δ= matrice degli spostamenti nodali

3. Esprimere la forza interna in termini di spostamenti nodali utilizzando la legge di comportamento elastico dell'elemento.

4.

Ottenere la matrice di rigidità dell'elemento Ke mettendo in relazione le forze nodali con gli spostamenti nodali.

A=area della sezione trasversale

IJI IJI

Cosa succede se θ=0 o θ<0?

La derivata della funzione di forma non può essere vincolata se θ=0 in qualsiasi punto dell'elemento.

Elemento triangolo:

Poiché ci sono 3 nodi, la mappatura naturale conterrà tre funzioni di interpolazione che saranno moltiplicate per le coordinate nel riferimento locale.

Utilizzando la condizione che ogni N sia unitario nell'unico nodo a cui si riferisce, tutti gli N sono facilmente determinabili:

notare che:

che assicura che la traslazione del corpo rigido sia rappresentata dalla funzione di forma scelta.

Inoltre, come nel caso 1-D:

θ varia linearmente all'interno dell'elemento.

utilizziamo ancora una volta i cinque passi fondamentali per ricavare la matrice di rigidità di un elemento rettangolare di sollecitazione piana.

Elemento rettangolo:

Il rettangolo

Confronto:

A differenza dell'elemento triangolo in cui B conteneva solo termini costanti, qui B contiene sia termini x che y e non può essere preso al di fuori dell'integrale. Pertanto, il prodotto B DB deve essere valutato per primo, e poi i termini della matrice risultante devono essere integrati sull'area dell'elemento.

L'equilibrio e la compatibilità:

Le equazioni di equilibrio per un campo di sollecitazione bidimensionale sono:

→ovunque all'interno dell'elemento la deformazione è lineare Sollecitazione?

L'assunzione di un campo di spostamento lineare garantisce la compatibilità tra gli elementi.

Dove si trova l'equilibrio delle sollecitazioni attraverso il confine di elementi adiacenti?

L'espressione di S(x,y) mostrerebbe che tutti i componenti della sollecitazione nel rettangolo variano linearmente nelle direzioni x e y.

La sostituzione di queste sollecitazioni nelle relazioni

Di equilibrio dell'equazione rivelerebbe che, per una serie arbitraria di spostamenti nodali, l'equilibrio non è soddisfatto esattamente. Per l'elemento rettangolo l'equilibrio non è soddisfatto all'interno e tra gli elementi. Poiché in questo caso ci sono 4 nodi, la mappatura naturale conterrà quattro funzioni interpolantiche saranno moltiplicate per le coordinate nel riferimento locale riferimento: Utilizzando sempre la condizione che ogni N sia unitario nell'unico nodo a cui si riferisce, tutti gli N sono facilmente determinabili.

Elemento isoparametrico di ordine elevato: Per approssimare meglio il campo di spostamenti sono usate le funzioni di 2ndo grado. Un elemento quadratico è un elemento i cui lati possono deformarsi linearmente. Un evidente vantaggio dell'elemento quadratico è che può avere lati curvi e quindi consente di modellare in modo più adeguato i lati non rettilinei di una struttura.

1. Il requisito di compatibilità: L'interpolazione deve essere tale che il campo di spostamenti sia:
   1. continuo e derivabile all'interno dell'elemento
   2. continuo attraverso il bordo dell'elemento

Gli elementi finiti che soddisfano questa proprietà sono detti conformi o compatibili. (È tuttavia comune l'uso di elementi che violano questa proprietà, elementi non conformi o incompatibili).

2. Il requisito della completezza: L'interpolazione deve essere in grado di rappresentare:
   1. lo spostamento del corpo rigido
   2. lo stato di deformazione costante

Le funzioni di forma devono garantire la continuità di spostamento tra gli elementi. Fisicamente questo assicura che non appaiano spazi vuoti di materiale quando gli elementi si deformano.

Funzioni di forma: Elementi monodimensionali con tre nodi (solo una coordinata)

1. Le funzioni di forma per questi gradi di libertà sono i polinomi di Lagrange di ordine 2.
2. I polinomi di Lagrange:
• Triangolo di deformazione lineare (LST o CST):

Questo elemento è anche chiamato "elemento triangolare quadratico". Ci sono sei nodi su questo elemento: tre nodi d'angolo e tre nodi di metà lato. Ogni nodo ha due gradi di libertà (DOF) come prima. Si ipotizza che gli spostamenti (u, v) siano funzioni quadratiche di (x, y).

Le deformazioni risultano essere:

che sono funzioni lineari. Abbiamo quindi il "triangolo lineare delle deformazioni" (LST), che fornisce risultati migliori del CST.

3. Domanda: Per questo modello strutturale, posso utilizzare gli elementi CST e LSR?

CST: triangolo a sollecitazione costante

LSR: rettangolo a sollecitazione lineare

No, non è possibile perché il modello si muove solo lungo il piano ma è applicata una forza trasversale, vediamo la rappresentazione di un'anima di trave con