Ship structures

Università degli studi di Genova

Corso magistrale Yacht Design

Ship structures teoria

Anno accademico 2022-2023 Alessia Canepa

Sommario

• Sommario................................................................................................................................. 3
• Elementi isoparametrici............................................................................................................................................ 3
• Funzioni di forma ................................................................................................... 9
• Elemento isoparametrico di ordine elevato ............................. 9
• Funzioni di forma: Elementi monodimensionali con tre nodi (solo una coordinata r)........................................................................................................................................................ 14
• Jacobiano .................................................................................................................................. 19
• Integrazione numerica................................................................................... Errore. Il segnalibro non è definito.
• Regola del trapezio ....................................................................................................... 19
• Ponte di Gauss (integrazione di Gauss).............................................................................................................................................. 21
• Piastra e guscio........................................................................................................ Errore. Il segnalibro non è definito.
• Piastra .................................................................................................................. 22
• Teoria delle piastre di Kirchhoff............................................................... Errore. Il segnalibro non è definito.
• Teoria delle piastre di Mindlin:............................................................................................................................................................. 23
• Guscio............................................................................................................................................................... 23
• Solidi ......................................................................................................................................... 23
• Bloccaggio a taglio............................................................................................................................................................ 24

Modale elementi isoparametrici

Definizione

Gli elementi isoparametrici vengono adottati per strutture con geometria complessa.

Essi usano mappature o trasformazioni per relazionare elementi con forma geometrica complessa nel sistema globale (x, y) in elementi con forma geometrica semplice nel sistema naturale (r, s).

La formulazione si basa sul creare una corrispondenza reciproca tra un elemento di forma qualsiasi nel sistema cartesiano globale e un elemento di forma semplice nel sistema naturale (in cui le linee sono rette, le superfici piane). La scelta della normalizzazione viene normalmente effettuata tra 0 e 1 o tra -1 e 1.

Quindi gli elementi assumono forme che sono le stesse degli elementi originali ma ridotte a forme elementari.

Funzioni di forma

Per ottenere una soluzione più o meno vicina al modello FE si usano le funzioni di forma che sono generalmente polinomiali (o comunque a comportamento noto). Le funzioni di forma, partendo dagli spostamenti nodali, restituiscono gli spostamenti dei punti interni degli elementi.

Poiché in questo caso ci sono 2 nodi, la mappatura naturale conterrà due funzioni interpolanti che saranno moltiplicate per le coordinate nel riferimento locale.

Proprietà delle funzioni di forma

Le funzioni di forma devono soddisfare quattro requisiti fondamentali, due di completezza e due di compatibilità con il risultato di garantire la convergenza monotona verso il risultato esatto.

• Proprietà delta di Kronecker: la funzione di forma in qualsiasi nodo, ha valore unitario nel nodo considerato e valore 0 in tutti gli altri nodi.
• Compatibilità: l'approssimazione dello spostamento è continua attraverso i confini degli elementi.
• Completezza rigidi dell’elemento senza l’insorgere.
• Moto di corpo rigido: ovvero capacità di avere spostamenti di tensioni all’interno. ovvero consentire stati di deformazioni costanti in tutto l’elemento.
• Stati di deformazione costante:
• Isotropia della geometria: quando la geometria è la stessa indipendentemente dalla direzione.

Funzioni di forma di elementi monodimensionali

Sono presenti due funzioni di forma perché ci sono due nodi.

Per la proprietà di Kronecker:

Equazione che passa per una retta:

• Correlare gli spostamenti generali all'interno dell'elemento agli spostamenti nodali.
• Esprimere la deformazione interna in termini di spostamenti nodali.

Dove:

B= matrice dei coefficienti di deformazione

δ= matrice degli spostamenti nodali

• Esprimere la forza interna in termini di spostamenti nodali utilizzando la legge di comportamento elastico dell'elemento.
• Ottenere la matrice di rigidità dell'elemento Ke mettendo in relazione le forze nodali con gli spostamenti nodali.

A=area della sezione trasversale

IJI IJI

Cosa succede se =0 o <0? IJI

La derivata della funzione di forma non può essere vincolata se =0 in qualsiasi punto dell'elemento.

Elemento triangolo

Poiché ci sono 3 nodi, la mappatura naturale conterrà tre funzioni di interpolazione che saranno moltiplicate per le coordinate nel riferimento locale.

Utilizzando la condizione che ogni N sia unitario nell'unico nodo a cui si riferisce, tutti gli N sono facilmente determinabili:

Notare che:

Che assicura che la traslazione del corpo rigido sia rappresentata dalla funzione di forma scelta.

Inoltre, come nel caso 1-D:

E varia linearmente all'interno dell'elemento.

Utilizziamo ancora una volta i cinque passi fondamentali per ricavare la matrice di rigidità di un elemento rettangolare di sollecitazione piana.

Elemento rett