Scambiatori di calore - Fisica tecnica

4.5-ANALISI DI UNO SCAMBIATORE IN CONTROCORRENTE A DUE TUBI CONCENTRICI: METODO DELLA DIFFERENZA

LOGARITMICA MEDIA

Consideriamo inizialmente per semplicità uno Scambiatore in Equicorrente:

∆ = − ∆ = −

Possiamo scrivere la Potenza del Fluido Caldo e Freddo sfruttando il primo principio:

̇ = ̇ ∙ ∙ − (1)

̇ = ̇ ∙ ∙ − (2)

La terza equazione che dimostreremo successivamente è la seguente:

̇ ̇

= = ∙ ∙ ∆ (3)

Dove: ∆ − ∆

∆ = ≔ ∆

∆

ln ∆

NB: In Controcorrente:

∆ ∆

Le tre equazioni sono linearmente dipendenti: si tratta di tre equazioni per cui si fa l’ipotesi per cui la

(), (), ()

potenza ceduta dal fluido caldo è pari alla potenza ceduta dal fluido freddo e questo perché si fa l’ipotesi per cui lo

scambiatore nel suo complesso non “perde” nulla verso l’esterno (il calore ceduto dal fluido caldo va esattamente a

finire nel fluido freddo, lo scambiatore è ritenuto adiabatico esternamente).

A questo punto definiti gli elementi che ci servono, consideriamo di avere uno scambiatore in controcorrente a due

tubi concentrici: ∆

∆

Riportiamo il set di equazioni che abbiamo definito:

̇ = ̇ ∙ ∙ − (1)

̇ = ̇ ∙ ∙ − (2)

̇ ̇

= = ∙ ∙ ∆ (3)

Vediamo come scrivere le prime due equazioni in maniera più compatta utilizzando la Capacità Termica Oraria:

= ̇ ∙ ≔ à

= ̇ ∙ ≔ à

Quindi: ̇ = ∙ − (1)

̇ = ∙ − (2)

̇ ̇

= = ∙ ∙ ∆ (3)

Notiamo che con uno scambiatore del genere il fluido caldo subisce una caduta di temperatura tra l’ingresso e

∆

l’uscita, così come la subisce il fluido freddo (∆ ).

Come si osserva anche dalla figura, vale che: ∆ < ∆

Riscriviamo la e la

(1) (2): ̇ = ∙ ∆ (1)

̇ = ∙ ∆ (2)

Siccome lo scambiatore è, per ipotesi, adiabatico esternamente:

̇ ̇

=

∙ ∆ = ∙ ∆

Quindi: >

Le concavità delle due curve di temperatura sono rivolte verso il basso.

Si può avere una situazione diversa, di questo tipo:

Questa volta: ∆ > ∆

Seguendo quanto già fatto prima, seguirà che: >

In questo secondo caso le curve hanno concavità verso l’alto.

Si può anche verificare un terzo caso:

In questo caso le due curve di temperatura sono due rette parallele e quindi:

∆ = ∆

=

In questo terzo caso: ∆ − ∆ 0

̇ ̇

= = ∙ ∙ ∆ = ∙ =∙∙

∆ 0

ln ∆

E’ una forma indefinita…

Quando ci troveremo di fronte a due fluidi con due capacità termiche orarie uguali, dato che la terza equazione va in

crisi, dovremo assumere che il sarà pari al in una qualsiasi sezione:

∆ ∆

∆ − ∆

lim = ∆ = ∆ = ∆ = ∆

∆

∆ →∆ ln ∆

Questo primo metodo di soluzione per gli scambiatori di calore si chiama Metodo della Differenza Logaritmica

Media.

Vediamo come arrivare a ricavare l’equazione ()

Per semplicità partiamo da uno scambiatore in equicorrente:

+

Vediamo cosa succede tra una sezione e una sezione il fluido caldo subisce una variazione di temperatura

+ :

tra i due punti segnati in blu che indichiamo come

Dato quindi che il fluido caldo diminuisce la sua temperatura:

<0

Il fluido freddo, invece, tra le due sezioni ha un aumento di temperatura e quindi:

>0

Sappiamo che: ̇ = ∙ − (1)

̇ = ∙ − (2)

In termini elementari: = ∙

= ∙

Dato che dobbiamo asserire l’equivalenza tra e , nell’uguaglianza bisogna inserire il segno dato che

– <0

Quindi: = −

Allora:

= − =

Se facciamo la differenza: 1 1

− = − = = − = = − +

Nella generica sezione tra e succede che si ha una superficie di scambio termico infinitesima e ci sarà anche

un coefficiente di scambio termico Applicando la Legge di Newton per la convezione:

.

1 1 1 1

() () () ()

− = − + = = − = − − ∙ +

1 1

() ()

− = − − ∙ +

Abbiamo un’equazione differenziale e introduciamo una nuova variabile:

()

= − ()

Allora: 1 1

= − ∙ +

1 1

= − ∙ +

Vediamo che lo scambiatore di calore va da una sezione 1-1 ad una sezione 2-2 e parte da fino ad una

= 0

lunghezza generica Allora, considerando come la sezione 1-1 e 2 come la sezione 2-2:

. 1 1 1

= − +

1 1

[ln()]2 = − +

1

1 1

ln = − +

− ∆ 1 1

ln = ln = − +

− ∆

Dalla e

(1) (2): −

1 = ̇

−

1 = ̇

Segue che: ∆

ln = − + − + = (∆ − ∆ )

∆

Quindi: ∆ − ∆

=∙∙ = ∆ (3)

∆

ln ∆

4.6-ANALISI DI UNO SCAMBIATORE IN CONTROCORRENTE A DUE TUBI CONCENTRICI: METODO DELLE UNITA’ DI

TRASFERIMENTO

Si definisce l’Efficienza di uno Scambiatore di Calore, come il rapporto tra la potenza reale e la potenza massima che

può essere scambiata in uno scambiatore di calore: ̇

= ̇

Consideriamo uno scambiatore di calore in equicorrente, con le seguenti curve di temperatura:

Se la lunghezza dello scambiatore fosse infinita si avrebbe la massima potenza scambiata, ma capiamo che non è un

criterio accettabile…

Se consideriamo uno scambiatore di calore in controcorrente:

Il fluido che subisce la massima variazione di temperatura è quel fluido che ha la minima capacità termica

(∆ )

( )

Dato che: ̇ = ∆ = ∆

Per definire la Potenza Massima dovremmo individuare il massimo gradiente di temperatura in uno scambiatore.

Sicuramente la massima differenza di temperatura la si ha tra il fluido caldo in ingresso e il fluido freddo in

(∆ )

ingresso.

Allora: = − ∙

Viene quindi definita: ̇

= − ∙

Vediamo a cosa serve questo metodo… se considerassimo uno scambiatore in controcorrente

Oltre le quattro temperature conosciamo, ad esempio, e la portata

̇

Prendiamo le tre equazioni di progetto: ̇ = ∙ − (1)

̇ = ∙ − (2)

̇ ̇

= = ∙ ∙ ∆ (3)

Non si riuscirebbe a risolvere il sistema perché con i dati che abbiamo le tre equazioni dicono tutte le stessa cosa.

Il Metodo delle Unità di Trasferimento consiste nel definire un parametro come rapporto tra capacità termica

minima e capacità termica massima dei due fluidi:

=

Si definisce poi il Numero delle Unità di Trasferimento:

=

Esistono poi delle curve di efficienza che valgono per lo scambiatore in controcorrente ed equicorrente oppure si

possono utilizzare le equazioni di sotto riportate:

CONTROCORRENTE EQUICORRENTE

∙( ) ∙( )

1− 1−

= =

∙( ) 1+

1−∙