Riassunto esame Statistica, Prof. Paroli Roberta, libro consigliato Statistica , Mc Graw Hill

L

1 2 n 1 2 n

1 2

→

parametro incognito θ

❖ Gli estremi dell’intervallo di confidenza [L , L ] sono variabili casuali e per tale motivo l’intervallo

2

1

→

viene detto intervallo casuale

❖ Estratto un campione dalla popolazione si ottiene l’intervallo di confidenza stimato (numerico) [l , l ]

2

1

che è una realizzazione dell’intervallo casuale [L , L ]

2

1

❖ Il livello di confidenza è fissato dal ricercatore, ovviamente alto

→

Il valore scelto più di frequente è 0.95 (95%) tuttavia viene scelto anche un livello di confidenza

o del 0.90 (90%), oppure del 0.99 (99%) 

❖ Vedremo: intervallo di confidenza per la media con varianza nota, intervallo di confidenza per la

2



media con varianza non nota, intervallo di confidenza per la proporzione

2

Intervallo per la media con varianza nota  

2

❖ →

Sia X una popolazione con distribuzione normale di media (non nota) e varianza (nota)

  

2

X N( , )

❖ Lo stimatore per la media è la media campionaria per la quale sappiamo che

→

❖ Sappiamo che quindi

o Dove z è il percentile di ordine (1 – della N(0,1)

/2)

α/2 →

❖ Ricaviamo il parametro μ

❖ Da cui: l’intervallo di confidenza IC per la media della popolazione Normale con

→

2

varianza nota a livello è

-



1- è il grado di fiducia nel fatto che l’intervallo contenga il parametro μ

o 12

❖ Esempio

Intervallo per la media con varianza non nota      

2 2 2

❖ →

Sia X una popolazione con distribuzione normale di media e varianza X N( , ) (con non

nota)  2

❖ → →

Lo stimatore per la media è la media campionaria per la quale dove S è lo



2

stimatore di e T è una t di Student con gdl n-1 2

❖ L’intervallo di confidenza per la media della popolazione Normale con varianza non nota a livello

è

- dove è il percentile di ordine ( 1- della

o t /2) t

n-1;α/2 n-1

❖ Esempio 13

❖ Osservazioni 

In generale > a parità di numerosità campionaria n l’intervallo di confidenza per

o t z

n-1;α/2 α/2

   

2 2 2 2

→

la media con non nota è più ampio di quello con nota es nota [955,83; 1005,18] e

non nota [954,15; 1006,85] → →

Asintoticamente si ha che N(0,1) per n → ∞ per n>50 l’utilizzo della distribuzione

o t

n-1 →

Normale porta a differenze nell’ampiezza praticamente trascurabili

❖ Esempio – un grande campione

Intervallo per la proporzione

❖ Consideriamo una popolazione riferita a un carattere che assume due modalità (popolazione

Bernoulliana), siamo interessati all’intervallo di confidenza per la proporzione  

❖ Lo stimatore per è la proporzione campionaria P che ha media e varianza (1 − )/n e

   →

P N(, (1− )/n) per n

❖ Si ha asintoticamente

❖ L’intervallo di confidenza per a livello è

-

❖ Osservazioni

Empiricamente è verificato che la relazione asintotica è accettabile se 0,3<p<100 e n>100

o L’intervallo di confidenza esatto (n<100) per la proporzione è ottenibile tramite una procedura

o →

alternativa basata sulla distribuzione Binomiale tale procedura è svolta generalmente mediante

software

❖ Esempio

Ricapitolando 14

Precisione dell’IC e determinazione della numerosità campionaria

Ampiezza dell’intervallo →

L’ampiezza dalla differenza tra estremo superiore e estremo inferiore ampiezza IC= –

2 1

La semiampiezza 

→

❖ La semiampiezza è = ampiezza/2 = – stima parametro

2

❖ →

È l’errore (o la precisione) che si può compiere in eccesso o in difetto nella stima precisione

dell’intervallo = semiampiezza

❖ A seconda dell’IC in esame l’errore è dato da:

 →

IC per la media con noto

o 

IC per la media con non noto

o ▪ →

Per piccoli campioni

▪ →

Per grandi campioni

→

IC per la proporzione

o

Determinazione numerosità campionaria

Nella pratica al fine di commisurare al meglio le risorse necessarie per affrontare lo studio di una quantità

incognita si vuole determinare in anticipo la dimensione campionaria per avere una data precisione della



→

stima dalla semiampiezza è possibile calcolare il valore della numerosità n tale da garantire, ad un

  →

certo livello di probabilità (1- ), di non compiere un errore superiore ad un valore prefissato 0

 

≤ 0

❖ Dato il livello di probabilità, si può ricavare il percentile e, esplicitando rispetto ad n, si può

z o t

α/2 α/2

→

ricavare il valore minimo di n per trovare il valore di nelle tavole ipotizzo che n è infinito

z α/2

(prendo l’ultima riga) →

Es: Precisione dell’IC per la media con varianza nota

o

❖ Se il valore ottenuto non è un numero intero si prenderà come dimensione campionaria il primo intero

superiore a tale valore

❖ NB: Per l’intervallo sulla proporzione la stima p è chiaramente incognita. Quando non si hanno

informazioni sul parametro incognito, si suggerisce di adottare il valore «prudenziale» p=0.5 a cui

corrisponde il valore massimo di p(1-p) =0.25 (situazione più sfavorevole, per la quale la stima della

varianza è massima)

❖ Esempio 15

Osservazione – soluzione di problemi inversi

Dato l’intervallo di confidenza, si possono determinare:



❖ Numerosità = si ricava tenendo conto di o dell’ampiezza che dipendono da n

❖ Stima parametro = semisomma estremi intervallo (per simmetria degli intervalli.)

,

❖ Varianza stimatore = si ricava tenendo conto che l’errore che si può compiere in eccesso o in difetto

→

nella stima, dipende da tale varianza in generale vale che:

(metto al quadrato questi termini per trovare la

varianza) da cui, noto n e il percentile si può ricavare la stima della varianza dello stimatore

❖ Esempio 16

Lezione 14/11/2024 e 18/11/2024 – Lezione 8 – Teoria dei Test

Verifica di ipotesi

❖ È un procedimento attraverso il quale dal campione si ricavano informazioni per decidere se

accettare o rifiutare una congettura o ipotesi fatta sul valore del parametro θ

❖ Se l’ipotesi riguarda uno o più parametri della distribuzione di probabilità della popolazione, si parlerà di

test parametrico (altrimenti non parametrico).

❖ L’impostazione data da J. Neyman e E.S. Pearson, nota come test d’ipotesi, prevede la formulazione di

un’ipotesi nulla e un’ipotesi alternativa

❖ Per poter applicare la metodologia statistica della verifica delle ipotesi bisogna introdurre i seguenti

concetti: ipotesi statistica e sistema di ipotesi, statistica test, regioni di rifiuto e di accettazione, errore di I

e II tipo, livello di significatività del test, p-value (livello di probabilità osservato)

Ipotesi statistica e sistema di ipotesi

➢ →

Ipotesi statistica una congettura riguardante un parametro della popolazione.

Si distinguono due ipotesi contrapposte:

o ▪ →

Ipotesi nulla, indicata con H H ipotesi che si ritiene “vera fino a prova contraria” (riveste

0 0

un ruolo privilegiato)

▪ →

Ipotesi alternativa, indicata con H H ipotesi che si contrappone a quella nulla e che

1 1

potrebbe essere considerata più verosimile sulla base al risultato campionario

➢ Si definisce sistema di ipotesi

In questo modo Θ lo spazio parametrico si ripartisce in 2 sottoinsiemi disgiunti (Θ ,Θ ) definiti

o 0 1

dalle 2 ipotesi

Esempio

o Un’ipotesi può essere

o ▪ → →

Semplice quando specifica completamente la popolazione (uguale ad un valore)

▪ →

Composta quando non specifica completamente la popolazione (sotto questa ipotesi la X

→ →

non è esplicitata) un’ipotesi composta può a sua volta

essere:

• →

Unidirezionale quando specifica un intervallo di valori 17

• →

Bidirezionale quando specifica due intervalli di valori

→

I sistemi di ipotesi più frequentemente utilizzati sono i seguenti

o dove è un valore fissato del parametro

0

▪ Noi ci concentreremo sulla verifica di ipotesi per la media della popolazione = μ

➢ Come passare dai dati osservati alla decisione se accettare l’ipotesi nulla H ovvero l’ipotesi alternativa

0

→

H ? nel test d’ipotesi si usa la statistica test

1

Statistica test

❖ Un test statistico è una regola che permette sulla base del campione osservato di decidere se rifiutare (o

→

meno) H il test si basa sul calcolo del valore di una statistica test

0

❖ La statistica test T è una statistica campionaria (uno stimatore associato ad un parametro incognito) la

cui distribuzione deve essere completamente nota sotto l’ipotesi nulla (quando essa è vera)

❖ Ad esempio: media campionaria se il test è sulla media, proporzione campionaria se il test è sulla

proporzione

Regione di accettazione e di rifiuto

Ogni test statistico induce una partizione dello spazio campionario (si divide in campioni che fanno

accettare H e campioni che fanno rifiutare H ) in:

0 1

➢ →

Regione di accettazione di H si definisce regione di accettazione l’insieme dei valori della

0

statistica test che portano all’accettazione dell’ipotesi nulla.

➢ →

Regione di rifiuto di H si definisce regione di rifiuto l’insieme dei valori della statistica test che

1

portano al rifiuto dell’ipotesi nulla

In base alla regione in cui andrà a cadere il valore campionario della statistica test, si prenderà una decisione

sull’ipotesi H :

0 La distribuzione della statistica test sotto H 0

Una regione di accettazione può essere un intervallo che definisce tutti

i valori della statistica campionaria che portano ad accettare H 0

→

A dx e sx ci sono le regioni di rifiuto probabilità piccole

❖ Anche l’area che sottesa dalla regione di accettazione

❖ Il valore (o valori) della statis