Riassunto esame Principi di ingegneria elettrica, Prof. De Scisciolo Graziano, libro consigliato Circuiti elettrici, Perfetti

RAPPRESENTAZIONI

Si introducono, a seconda delle grandezze note, sei possibili rappresentazioni di un doppio

bipolo: note le due tensioni di porta si parla di rappresentazione controllata in tensione e le

correnti incognite sono date dal prodotto riga per colonna della matrice dedlle resistenze a

vuoto e il vettore colonna delle tensioni; note le correnti di porta si parla di rappresentazione

controllata in corrente e le tensioni incognite si ottengono moltiplicando riga per colonna la

matrice delle conduttanze di cortocircuito per il vettore colonna delle correnti; note la corrente

della prima porta e la tensione della seconda porta si parla di rappresentazione ibrida e le

due grandezze incognite derivano dal prodotto riga per colonna della matrice H dei parametri

ibridi e il vettore colonna delle grandezze note; analogamente, nota la tensione della prima

porta e la corrente della seconda, si parla ancora di rappresentazione ibrida e le grandezze

incognite sono date dal prodotto riga per colonna della matrice dei parametri ibridi H’ e il

vettore colonna delle grandezze note; in ultima osservazione, note le due grandezze relative

ad una porta, si parla di modello di trasmissione e le grandezze incognite si ottengono

moltiplicando riga per colonna la matrice di trasmissione diretta (o inversa a seconda delle

grandezze note) e il vettore colonna delle grandezze note. Ciascun parametro di R,G,H,T

(rispettivamente matrice resistenze a vuoto, matrice conduttanze di corto, matrici ibride,

matrici di trasmissione) è ottenibile dal prodotto riga per colonna esplicitato per ciascuna

rappresentazione ponendo le grandezze note rispettivamente pari a zero.

TRASFORMATORE

Un trasformatore è un dispositivo elettromeccanico che permette di trasferire energia elettrica

da un circuito ad un altro, modi candone i livelli di tensione e corrente. Esso si dice ideale

quando ha ef cienza massima e quindi è trasparente alla potenza elettrica.

Un trasformatore ideale può essere rappresentato come un doppio bipolo resistivo. Questa

rappresentazione sempli cata permette di analizzare il comportamento del trasformatore

senza considerare le complessità legate ai fenomeni induttivi e capacitivi.

In tale rappresentazione le grandezze individuate ad una porta del bipolo risultano essere

linearmente dipendenti da quelle misurate alla seconda porta del bipolo.

Nello speci co V1= kV2; i2=-1/k i1 laddove si de nisce primario la porta le cui grandezze

relative risultino dipendenti linearmente dalle altre due, mentre secondario la porta relativa

alle grandezze indipendenti.

Assegnano un carico resistivo RL al secondario, esso potrà essere sostituito all’interno del

doppio bipolo da una resistenza equivalente pari a Req= RLk^2 (riporto al primario).

Assegnano un carico resistivo RL al primario, esso potrà essere sostituito all’interno del

doppio bipolo da una resistenza equivalente pari a Req= RL/k^2.

Generalmente un trasformatore reale opera sul principio dell'induzione elettromagnetica,

ovvero la capacità di un campo magnetico variabile di indurre una forza elettromotrice in un

conduttore elettrico.

CIRCUITI MAGNETICI

A tal proposito assume importanza l’analisi dei circuiti magnetici: analoghi (sotto opportune

ipotesi) ai circuiti elettrici ma nel dominio magnetico.

Punto di partenza nello studio di tali circuiti è la Legge di Hopkinson, analoga della legge di

Ohm per i circuiti magnetici, che mette in relazione il usso di induzione e la forza

G

magnetomotrice : dove R prende il nome di riluttanza magnetica, grandezza

R NI

=

.

in generale dipendente dalle condizioni di alimentazione del circuito e considerata costante e

indipendente dalla corrente che attraversa il circuito nell’ipotesi di lavorare nel campo lineare

del materiale; essa è l’analoga della resistenza nei circuiti elettrici così come il usso di

induzione e il prodotto NI (numero di spire bobina per corrente attraversante la setessa) sono

rispettivamente l’analogo della corrente e l’analogo della tensione. Proseguendo con le

analogie, nei circuiti magnetici i tronchi di materiale ferromagnetico sostituiscono i conduttori

=

galvanici. R

fi fi fi fi fi fl

Per concludere, nei circuiti magnetici vale la legge di Gauss dei ussi di induzione che

afferma che la somma dei ussi entranti in un nodo è pari alla somma dei ussi uscenti da

tale nodo (analoga della LKC) e la legge di Ampere delle forze magentomotrici che afferma

che la somma algebrica delle forze magnetomotrici lungo un percorso chiuso è pari a zero

(analoga della LKT).

INDUTTORI MUTUAMENTE ACCOPPIATI

Una bobina di N1 spire percorsa da una corrente i1(t) è posta in prossimità di una seconda

bobina di N2 spire. Supponiamo che la seconda bobina non sia percorsa da corrente. La

corrente della prima bobina genera un campo di induzione magnetica le cui linee di usso

sono in parte concatenate con entrambe le bobine, in parte solamente con la bobina 1.

Possiamo distinguere i seguenti ussi attraverso ciascuna spira:

1 Dovuto alla corrente i1, che interessa la bobina 1.

:

21 Dovuto alla corrente i1, comune ad entrambe le bobine.

:

12

- NaizP21-22

121 NailPez

= =

Con P= permeanza magnetica.

Nel caso in cui anche la seconda bobina sia percorsa da una corrente i2(t) si de niscono i

ussi: Paz

122 Nziz Dovuto alla corrente i2, che interessa la bobina 2.

= Pz2

Nziz

=

-22 Dovuto alla corrente i2 , comune ad entrambe le bobine.

La somma dei ussi comuni a entrambe le bobine prende il nome di FLUSSO PRINCIPALE,

mentre gli altri due ussi prendono il nome di FLUSSI DISPERSI.

I ussi dovuti complessivamente alle due correnti, concatenati con le bobine, sono

N2(911

rispettivamente: 8 (2)

+ +

22

2 = 921

N2(fe2 +

Ez 22)

+

=

fl fl fl fl fl fl

N] Pzziz Nepiz

#2 NINzPiz

+

= + P Per Pel

con = =

Ez NPiz N2

NaNzPiz Pzziz

+

+

= N1(P22 NeNzP

P)

N2(P2

<2 P) M

ponendo La

+ + =

= = ;

; Min

; Lziz

Miz

= 12i1 +

=

+ z

La autoinduttanza

Le 2

=Autonduitanza

Con di

di 1 =

,

M MutuaINDUTTANZA

= foraday

di

Per legge

la .

11 Ma

Ve = M L

V2 = +

Si caratterizza così un nuovo elemento dinamico a quattro terminali (doppio bipolo) chiamato induttori accoppiati e si tratta

ancora una volta di un elemento lineare.

Circuiti LTI in regime sinusoidale

FORMA D’ODNA

In generale la forma d’onda è una rappresentazione gra ca dell’andamento di una grandezza

sica (ad esempio una corrente o una tensione) al variare del tempo.

Una forma d’onda si dice periodica quando esiste un certo valore T di tempo detto periodo

dopo il quale essa ritorna da assumere sempre lo stesso valore.

Nello studio di circuiti LTI in regime sinusoidale, le grandezze i(t) e v(t) presentano forme

d’onda sinusoidali quindi periodiche di periodo T e sono caratterizzate da una frequenza f=1/

T, da una pulsazione ω=2 π/T (e quindi f= ω/2 π) e da una fase iniziale α.

In particolare si lavora nell’ipotesi di grandezze isofrequenziali, pertanto corrente e tensione

sono accomunate da una medesima pulsazione invariante nel dominio del tempo.

Si de nisce inoltre ampiezza Amax il valore massimo assunto dalla grandezza nel periodo.

Una funzione d’onda sinusoidale ha come caratteristica intrinseca quella di presentare valor

medio nel periodo nullo, pertanto si de nisce alternativa.

Per forme d’onda alternative si denota valore ef cace il rapporto Amax/√2=A.

(E)(

In generale per ogni forma d’onda il valore ef cace A= )dt

+

Per ragioni legate all’analisi e alla sempli cazione dei calcoli risulta utile la rappresentazione

delle grandezze in regime sinusoidale attraverso i fasori associati, numeri complessi che

rappresentano le grandezze circuitali indipendentemente dal tempo e che hanno come

modulo l’ampiezza (quindi il valore massimo assunto dalla grandezza o ancora il suo valore

ef cace) e come fase la fase stessa della grandezza sinusoidale.

TEOREMA FONADAMENTALE

In un circuito lineare, tempo-invariante, alimentato da una o più sorgenti sinusoidali di

medesima pulsazione, a regime si stabiliscono tensioni e correnti sinusoidali alla stessa

pulsazione delle sorgenti. (Ipotesi di isofrequenzialità delle grandezze)

METODO SIMBOLICO

Il metodo simbolico viene utilizzato per rappresentare ed analizzare circuiti lineari e tempo in

varianti in regime sinusoidale.

Si procede sostituendo ciascun generatore indipendente di pulsazione omega costante con

un generatore di valore costante uguale al fasore associato corrispondente.

Si sostituisce poi ciscuna variabile di lato (tensione o corrente) con il fasore corrispondente.

Si passa cioè dal dominio del tempo al dominio dei fasori.

fi fi fi fi fi fi fi fi

Si effettuano poi le seguenti sostituzioni:

Rettantacadacitiva d

- (

*

↓ induttiv

REATTANZA

⑧

Fissata omega costante, Xl e Xc sono quantità costanti nel tempo.

In ultima fase si analizza il circuito così trasformato con i metodi già dimostrati in DC

trasportando poi le grandezze di lato ricavate dal dominio fasoriale a quello temporale.

LEGGE DI OHM SIMBOLICA

Così come in DC, in regime sinusoidale le grandezze fasoriali V e I associate alla tensione e

alla corrente risultano essere tra loro proporzionali secondo un coef ciente complesso Z che

prende il nome di impedenza.

In particolare risulta essere V=ZI dove è bene speci care che Z non è un fasore ma bensì un

coef ciente complesso che lega il fasore tensione a quello della corrente.

Tale legge prende il nome di legge di Ohm generalizzata, o simbolica e può essere riscritta

come I=YV dove Y=1/Z e prende il nome di Ammettenza.

In un generico circuito in regime sinusoidale in cui siano presenti resistori, induttori e

condensatori in serie (RLC), l’impedenza risulta essere quel numero complesso la cui parte

reale è pari alla resistenza del circuito e la cui parte immaginaria è data dalla differenza tra la

reattanza induttiva e la reattanza capacitiva dello stesso.

Rappresentando l’impedenza nel piano di Gauss si nota come la reattanza capacitiva apporti

contributo immaginario sempre negativo, mentre quella induttiva sempre positivo. Chiamando

alpha l’angolo che l’impedenza forma con l’asse reale è evidente come per alpha maggiore di

zero si ha XI>XC quindi il carico è ohmico-induttivo; altrimenti risulta Xl<Xc pertanto il carico

sarà omhico-capacitivo.

Analoghe considerazioni valgono per l’ammettenza:

t

fi fi

POTENZE ELETTRICHE IN REGIME SINUSOIDALE

Si de nisce potenza istantanea in un circuito in regime sinusoidale il pr