Riassunto esame Fisica generale, Prof. Bellini Francesca, libro consigliato Fisica 1: meccanica, termodinamica, Edward Gettys

X

⃗ quantità di moto totale

P = m v

⃗

i i

i=1

N N

X X (ext) (int)

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ forza totale

F = F = F + F

i i i

i=1 i=1

Per la Terza Legge di Newton (Principio di azione e reazione) si ha che

⃗

(int)

⃗ ⃗ forze interne

−

F = F =⇒ F = 0

ij ji i

N N N

X X X

(int) (ext)

(ext) ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ forza totale

F = F

F = F = F +

i i

i i i=1

i=1 i=1

La forza totale agente su un sistema di punti materiali si riduce alla risultante delle sole forze esterne agenti sul

sistema perché le forze interne si bilanciano a due a due.

Un sistema si dice se la risultante delle forze esterne è nulla.

isolato ⃗ ⃗ ⃗

(ext)

F = 0 =⇒ F = 0 =⇒ P = costante

6.1.2 Principio di conservazione della quantità di moto per un sistema di punti materiali isolato

Dalla definizione di quantità di moto p

⃗ = m⃗v

p

⃗ d⃗v

= m

dt dt

N

X

⃗

d

P d

= m v

⃗

i i

dt dt i=1

N

X

⃗

d

P d⃗

v

i

= m

i

dt dt

i=1

N

X

⃗

d P = m a

⃗

i i

dt i=1

N

X

⃗

d P ⃗

= F i

dt i=1

N

X

⃗

d

P (ext)

⃗ per un sistema isolato

= F = 0

i

dt i=1 ⃗

d

P ⃗ (94)

= 0 =⇒ P = costante

dt 26 6.2 Centro di massa

6.2 Centro di massa

Il centro di massa di un sistema di punti materiali è il punto materiale che si comporta come se tutta la massa

del sistema fosse concentrata in esso. N

X

1 (95)

⃗r = m r

⃗

CM i i

m

tot i=1

 N

X

 1



 m x

x =

 i i

CM

 m



 tot

 i=1



 N

X

1

y = m y

CM i i

 m

 tot

 i=1



 N

 X

 1



 z = m z

 CM i i

m

tot i=1

y m 1 m

r 2

1 CM

r

2 r m

cm 3 CM

r

3 m m

1 2 x

x 0

m

r 4

4 d

6.2.1 Centro di massa per sistemi continui

Solitamente un corpo non ha una densità uniforme, noi in questo caso idealizziamo e possiamo dire che in ogni

punto del corpo la densità è costante. m

ρ = V

dm

ρ = dV

dm = ρdV

Applicando la definizione di centro di massa N

X

1 m r

⃗

⃗r = i i

CM m

tot i=1

Z

1

⃗r = ρ(⃗r )⃗rdV

CM m

tot V

che si può riscrivere come Z

1 (96)

⃗rdm

⃗r =

CM m

tot V

oppure Z

1 (97)

⃗r = ⃗rdm

CM m

tot M

27 6.3 Moto del centro di massa

6.3 Moto del centro di massa

6.3.1 Velocità e quantità di moto del centro di massa

d⃗s

⃗v = dt

d⃗r

CM

⃗v =

CM dt

N

X

d 1

⃗v = m r

⃗

CM i i

dt m

tot i=1

N

X

1 d

⃗v = m r

⃗

CM i i

m dt

tot i=1

N

X

1 d⃗

r

i

⃗v = m

CM i

m dt

tot i=1

N

X

1

⃗v = m v

⃗

CM i i

m

tot i=1

N

X

1 p

⃗

⃗v = i

CM m tot i=1

⃗

P (98)

⃗v =

CM m

tot

da cui si ricava anche che ⃗ (99)

P = m ⃗v

tot CM

6.3.2 Accelerazione del centro di massa d⃗v

⃗a = dt

i passaggi sono analoghi a quelli fatti per la velocità ⃗

F (100)

⃗a =

CM m

tot

6.3.3 Teorema del centro di massa ⃗ (101)

F = m ⃗a

tot CM

6.3.4 Prima equazione cardinale della dinamica dei sistemi di punti materiali

 dP

 x

⃗



F =

 x

 dt



⃗

d P dP

⃗ y (102)

⃗

F = = F =

y



dt dt



 dP



 z

⃗

F =

z dt

Osservazioni importanti:

• Il principio di conservazione della quantità di moto vale indipendentemente per le tre componenti cartesiane

della forza e della quantità di moto.

• Il moto del CM è determinato solo dalle forze esterne

• Considerando E

m

1. Se le forze esterne sono conservative, si conserva

E = E + U

m c 28

6.4 Teorema di Koenig per l’energia cinetica del centro di massa

2. Se le forze esterne sono non conservative, , la variazione di energia meccanica coincide

∆E = W

m nc

con il lavoro delle forze non conservative

• Le forze interne sono comunque responsabili dei moti dei singoli punti materiali che compongono il sistema.

La struttura interna del sistema può quindi variare, così come le quantità di moto ed energie cinetiche dei

singoli punti materiali.

• Le forze interne possono compiere lavoro!

6.4 Teorema di Koenig per l’energia cinetica del centro di massa

Si considerano due sistemi di punti materiali e , in moto relativo di traslazione rispetto a con velocità .

′

S S S ⃗v

′

E = E + E

c c CM

c

6.5 Formule utili

In un sistema di punti materiali N N

X X

⃗

P = m v

⃗ m = m

i i tot i

i=1 i=1

Sistema isolato di punti materiali

N

N

N X

X

X ⃗

d

P

(ext)

(ext) (int) ⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗

⃗ F = 0 =⇒ P = costante =⇒

F + F =

F =

F = =0

i

i i

i dt

i=1

i=1

i=1 N

X

⃗

P = m v

⃗

i i

i=1

Centro di massa

punti materiali N

X

1

⃗r = m r

⃗

CM i i

m

tot i=1

corpi continui non uniformi Z

1 è utile se densità non uniforme

⃗r = ρ(⃗r ) ⃗r dm dm = ρ(⃗r ) dV

CM m

tot V

corpi continui uniformi Z

1

⃗r = ⃗rdm

CM m

tot V

velocità del centro di massa ⃗

P

⃗v =

CM m

tot

quantità di moto del centro di massa ⃗

P = m ⃗v

tot CM

accelerazione del centro di massa ⃗

F

⃗a =

CM m

tot

forza sul centro di massa ⃗

F = m ⃗a

tot CM

Teorema di Koenig per l’energia cinetica del centro di massa in moto relativo

′

E = E + E

c c CM

c

29

7 Urti

7.1 Tipi di urti

7.1.1 Urti elastici ( Conservazione della quantità di moto

Conservazione dell’energia cinetica

( ⃗

⃗ ′

′ + m v

m v

⃗ + m v

⃗ = m v 2

1 1 2 2 1 2

1

1 1 1 1

′2 ′2

2 2

m v + m v = m v + m v

1 2 1 2

1 2 1 2

2 2 2 2

−

(m m )v + (2m )v

1 2 1 2 2

′

v =

1 m + m

1 2

−

(2m )v + (m m )v

1 1 2 1 2

′

v =

2 m + m

1 2

′ ′

m m

v v

1 2

1 2

7.1.2 Urti anelastici ( Conservazione della quantità di moto

Dissipazione dell’energia cinetica

( ⃗

′

m v

⃗ + m v

⃗ = (m + m )

v

1 1 2 2 1 2

−

∆E = E E

c c iniziale c f inale

v v

1 2

m m m m ′

v

1 2 1 2

7.1.3 Urti completamente anaelastici

I corpi restano attaccati dopo l’urto

n

Conservazione della quantità di moto

n ⃗

′

m v

⃗ + m v

⃗ = (m + m )

v

1 1 2 2 1 2

m v + m v

1 1 2 2

′

v = m + m

1 2 y ′

v

m 1 m

2

v θ

1

m

v ′

v 1

1 x

m

1 v 2

v m

2 1 m

2

y y m

2

m

2

x x 30 7.2 Pendolo balistico

7.2 Pendolo balistico

Si può determinare la velocità iniziale del proiettile considerando che :

1. Urto perfettamente anaelastico pendolo-proiettile =⇒ m (v ) + m (v ) = (m + m )v

1 1 ini 2 2 ini 1 2 f in

2. Dopo l’urto solo forze conservative =⇒ E = E

m ini m f in L

L θ max

L

v ′

v h

M

m

7.3 Formule utili

Urti elastici ( ⃗ ⃗

′ ′ −

m v

⃗ + m v

⃗ = m v + m v (m m )v + (2m )v

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2

′

1 2 v =

1

1 1 1

1 ′2 ′2

2 2 m + m

m v + m v = m v + m v 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

2 2 2 2

Urti anelastici ( ⃗

′

m v

⃗ + m v

⃗ = (m + m )

v

1 1 2 2 1 2

−

∆E = E E = W

c c iniziale c f inale nc

Urti completamente anaelastici

n m v + m v

1 1 2 2

′

⃗ dopo l’urto

′ v = ∆E = 0

m v

⃗ + m v

⃗ = (m + m )

v m

1 1 2 2 1 2 m + m

1 2

31

8 Momento angolare e momento della forza per punti materiali e

sistemi di punti materiali

8.1 Momenti per punti materiali

Consideriamo un punto che si muove lungo una traiettoria curvilinea con .

p

⃗ = m⃗v

Il suo moto può essere visto come una rispetto ad un qualche punto fisso che chiamiamo (o

rotazione polo

da cui il punto dista ad un dato istante.

⃗r

centro di rotazione) α

F β

v p

r

r

•

O

8.1.1 Momento angolare per un punto materiale

⃗ (103)

×

L = ⃗r p

⃗

⃗

L = rp sin β

⃗

L = p

⃗

h

con distanza della retta d’azione di dal punto materiale dal polo.

h = sin θ p

⃗ L r p

L

ω h

r p

ω

r p p

m θ

8.1.2 Momento della forza per un punto materiale

⃗ ⃗ (104)

×

M = ⃗r F

⃗

M = rF sin α

8.1.3 Teorema del momento angolare ⃗ ×

d

L d(⃗r p

⃗

)

=

dt dt

⃗ ×

d

L d(⃗r m⃗v )

=

dt dt

⃗

d L d⃗r d(m⃗v )

× ×

= m⃗v + ⃗r

dt dt dt

32

8.2 Momenti di sistemi di punti materiali

⃗

d

L × ×

= ⃗v m⃗

v + ⃗r m⃗a

dt ⃗

d

L ×

= ⃗r m⃗a

dt

⃗

d L ⃗

×

= ⃗r F

dt ⃗

d

L ⃗

= M

dt

⃗

d

L ⃗ (105)

= M

dt

8.1.4 Principio di conservazione del momento angolare

⃗

d

L

⃗ ⃗ (106)

M = 0 =⇒ = 0 =⇒ L = costante

dt

⃗ ⃗

×

M = 0 =⇒ ⃗r F = 0

⃗

=⇒ F = 0

8.1.5 Teorema momento dell’imp