Riassunto esame Fisica 2, Prof. Migliorati Mauro, libro consigliato Fisica Generale 2, Mencuccini Silvestrini

Energia elettrostatica di un sistema di cariche puntiformi

Supponiamo di avere un sistema di riferimento con un sistema di punti di cariche puntiformi, su cui agirà una forza elettrostatica prodotta dalle altre cariche. In ogni punto dello spazio c'è un potenziale, che moltiplicato per la carica stessa, mi dà l'energia potenziale. Inoltre so che avrò fatto un lavoro per porre le cariche in quel modo, il quale sarà andato tutto nell'energia elettrostatica del sistema. Il lavoro compiuto è contro le forze del campo elettrico, per questo motivo è sotto forma di energia potenziale, se fosse energia cinetica le cariche si allontanerebbero l'una dall'altra.

Immaginiamo un serbatoio di cariche all'infinito, prendo una prima carica q e la porto in una certa posizione ad una distanza r dall'origine. Per questo passaggio non compio lavoro, poiché sulla carica non agisce alcuna forza. Adesso supponiamo...

di prendere una nuova carica q e portarla in un'altra posizione a distanza r dall'origine. A questo punto agiscono le forze.

Devo quindi vincere la forza del campo elettrico (60).

Prendiamo una terza carica e la portiamo sempre dall'infinito in un'altra posizione. Devo fare nuovamente un lavoro che va contro le forze del campo elettrico.

Su q agiscono le due forze dei due campi prodotti da q1 e q2, per il principio di sovrapposizione degli effetti.

Il lavoro totale quindi sarà la somma dei tre lavori:

Quindi se invece di tre cariche ho un sistema di n cariche, il lavoro è uguale alla sommatoria dei vari lavori diviso due, sennò i termini verrebbero contati due volte. Il lavoro che faccio va sottoforma di energia potenziale e quindi ottengo (61).

È un'altra maniera per rappresentare l'energia elettrostatica.

Energia potenziale di distribuzione di carica

Se invece di avere una distribuzione di carica puntiforme avessi avuto una

distribuzione di carica finita, avrei una somma di tante cariche puntiformi: dq = ρdτ

Invece di sommare avrò ⁽⁶²⁾

In questo modo non solo tengo conto della mutua interazione, ma anche dell'autoenergia, ovvero l'energia per costruire la distribuzione stessa.

Se invece si vuole calcolare l'energia di un conduttore:

Dove V è costante e quindi ottengo 0 ⁽⁶³⁾

Energia potenziale di molteplici conduttori ⁽⁶⁴⁾

Energia potenziale e lavoro di carica di un condensatore

Se consideriamo un condensatore l'energia sarà data da ⁽⁶⁵⁾

L'energia potenziale del condensatore corrisponde all'energia necessaria per caricarlo con una carica Q. Quando si carica un condensatore, le cariche vengono sostanzialmente spostate ad incrementi di dq da una faccia all'altra per cui le armature assumono carica: Q + dq, - Q - dq

Il lavoro necessario a caricare un condensatore, sarà uguale all'integrale dalla condizione iniziale di potenziale nullo

alla condizione finale di potenziale V di (66)Proprietà generale dell'operatore nabla e densità di energia elettrostaticaAbbiamo descritto l'energia elettrostatica usando il concetto di azione a distanza tra cariche elettriche, ora useremo la prima equazione di Maxwell per descriverla in termini di campo elettrostatico E. Dalla prima equazione di Maxwell mi trovo: 0Utilizzo le regole dell'operatore nabla per trasformarlo in: Grazie a: E quindi mi trovo Per cui Per il teorema della divergenza l'integrale della divergenza in un volume è uguale al flusso del vettore che ha come contorno il volume stesso: (67)Dove τ è un qualunque volume che comprende tutta la distribuzione di carica al suo interno, e S è la superficie che racchiude τ. Il primo integrale prende come superficie tutto lo spazio, il secondo lo spazio in generale.Il primo integrale cambia passando da un volume all'altro, il secondo cresce all'aumentare del volume.

(68)L'energia elettrostatica si trova in tutta la regione di spazio dove si trova un campo elettrico.

Chiamiamo densità di energia del campo elettrostatico:

(69)La (68) consente di interpretare l'energia elettrostatica di un sistema di cariche come una quantità dislocata nello spazio dovunque il campo elettrostatico è diverso da 0, e caratterizzata da una densità di energia.

Azioni meccaniche di natura elettrostatica nei conduttori:

Se abbiamo una carica Q su un conduttore, questa si distribuisce sulla superficie del conduttore, per la repulsione che c'è tra le varie cariche, che però non si disperdono per le forze di legame. A questo punto nasce una pressione verso l'esterno che tende a far allargare il conduttore: la pressione elettrostatica.

D'altro canto, ogni carica produce un campo elettrico ed ogni campo elettrico agisce su

Ognuna delle armature, sappiamo che a sinistra e destra della superficie ci sono due campi elettrici diversi.

Ma in realtà la forza la possiamo calcolare anche in un altro modo: tramite la derivata dell'energia potenziale cambiata di segno.

Bisogna però ricordare che U non rimane costante.

Ultime equazioni

Data una qualunque distribuzione di carica, noi sappiamo calcolare in generale il campo elettrico e il potenziale. Data però l'equazione di Maxwell, noi possiamo scrivere il campo come gradiente del potenziale ∇·E = ρ / ε₀ E - ∇V₀ - ρ / ε ∇· ∇V₀ = 0 ∇V = ρ / ε² 0 0 75

Equazione di Poisson Equazione di Laplace ∇V = ρ / ε ∇V = 0 762 20 0 0

Fissata la funzione ρ localizzata in una porzione finita di spazio la (75) ammette un'unica soluzione.

Campo elettrico in presenza di dielettrici La costante dielettrica Il mio condensatore aumenta

La sua capacità quando immetto dentro un dielettrico. (77) Posso pensare di cambiare materiale e condensatore, ma risulta essere indipendente dalla geometria e dipende solo dal materiale. ε si chiama costante dielettrica relativa. Invece ε₀ è la costante dielettrica assoluta.

Polarizzazione

Per deformazione: In un dielettrico avviene una scarica elettrica nel momento in cui si supera un certo valore di potenziale elettrico, quindi si può trovare mediamente un massimo valore di campo elettrico. Tutti i dielettrici hanno delle cariche elettriche che si muovono nel momento in cui si supera il valore massimo del campo elettrico. Quest'ultimo si chiama rigidità dielettrica. Ciò porta alla polarizzazione per deformazione.

p = a E (79)d

Il coefficiente a è detto polarizzabilità elettronica.

Per orientamento: La configurazione spaziale di molte molecole

poliatomiche non è simmetrica, e molte di esse hanno perciò un loro momento di dipolo proprio p indipendentemente dalla presenza di un campo elettrico applicato. Tuttavia a livello macroscopico il momento di dipolo elettrico non si manifesta se non è applicato un campo elettrico esterno, perché le varie molecole sono orientate tutte a caso: è nullo quindi il valore medio di p. Se metto esternamente al dipolo un campo elettrico, il dipolo subisce un momento M, quindi inizia a ruotare fino ad un valore di energia minima: U = - p ∙ E. A questo punto i momenti di dipolo tendono ad orientarsi parallelamente al campo elettrico e il momento dipolare diviene diverso da 0: questo meccanismo si chiama polarizzazione per orientamento.

Il vettore polarizzazione elettrica o intensità di polarizzazione P

Il vettore polarizzazione elettrica P è definito come il momento di dipolo elettrico per unità di volume. Dove dN è il numero di molecole.