Processi Stocastici M

[(X

= − X )(X − X )] + (X − X ) =

s+h h t+h s+h s+h h 2

E E Var

(X ) (X ) (X )

= − X − X + − X = σ s

s+h h t+h s+h s+h h

se si ha che è un moto browniano.

s < t, Y

t

3.6. MOTO BROWNIANO 29

Il moto browniano gode della proprietà di assenza di memoria. In generale

vale che Markov

| ∼ |

X X = x, X = x , . . . , X = x X X = x

t s s n s t s

1

n 1 ∼ |

(X − X + X ) X = x

t s s s

∼ | |

(X − X ) X = x + X X = x

t s s s s

∼ ∼ N 2 .

X − X + x x, σ (t − s)

t s

Si fissa ora una soglia e ci si chiede se un moto browniano riesce sempre a

raggiungerla e, se sì, quanto tempo ci metterà. Si ipotizza di fissare una soglia

pari ad tale per cui il moto browniano raggiunga il massimo entro l’intervallo

a

Qualunque valore di si scelga la probabilità che il moto raggiunga la

[0, T ]. a

a

soglia è pari a La variabile casuale è infatti finita. Per capire quanto ci

1. T a

mette il moto a raggiungere la soglia si studia la distribuzione di . Sia ha che

T a

⩽

P(X > a) = P(X > a, T t) + P(X > a, T > t) =

t t a t a

| |

⩽ ⩽

= P(X > a T t) P(T t) + P(X > a T > t) P(T > t) =

t a a t a a

| {z } | {z }

=0

(assenza di

12

= memoria)

1 ⩽

= P(T t)

a

2

da cui ⩽

P(T t) = 2P(X > a) =

a t

Z +∞ 2

1 x

√ exp x

= 2 − dx = √

y=

2

2σ t σ2

2 t

2πσ t

a Z

r +∞ 2

2 y

exp

= − dy.

π 2

a

√

σ2 t

La funzione di densità di è

T a 2

1 a

3

−

√ exp

f (a) = t −

2

T a 2

2σ t

2

2πσ

→

che, per va a molto lentamente. Infatti E(T

t +∞, 0 ) = +∞.

a

Ci si chiede ora quale sia il livello massimo del moto. Si considera quindi

max

W = X

t s

0<s<t 3.

CAPITOLO PROCESSI MARKOVIANI

30 2

che è una variabile aleatoria positiva in quanto Considerando si

X = 0. σ = 1,

0

ha che ⩽

P(W > w) = P(T t) =

t w

= 2P(X > w) =

t

Z

r +∞ 2

x

2 exp − dx

= π 2

w

√

t

da cui segue che r 2

w

2 exp .

f (w) = −

W

t πt 2t

Si conclude che |Z|

W =

t

∼ N(0,

con e che

Z 1) r 2t

E(W .

) =

t π

Se indicano due soglie, la probabilità che il moto raggiunga prima

A, B > 0

di raggiungere è

A −B 

 1 se A = B,

2

 B ̸

se A = B.

A+B

4

Capitolo

Processi di punto R d

⊆

(processo di punto). Sia con Si definisce processo

4.1

Definizione ⩾

C d 1.

{N(A), B(C)}

⊆

di punto un processo stocastico che possiede le seguenti

N = A

proprietà:

• soddisfa le condizioni di Kolmogorov;

B(C)

∈ ∩ ∅, ∪

• additività: se tali che allora

A , A A A = N(A A ) =

1 2 1 2 1 2

N(A ) + N(A );

1 2 d

↓ ∅, −

→

• continuità (o se allora ovvero

σ-additività): A N(A ) 0,

n n

lim q.c.

P(N(A ) = 0) = 1

n→+∞ n

I processi di punto modellizzano una nuvola di punti che cade in uno spazio.

I processi di punto soddifano la proprietà di invarianza rispetto a traslazione:

B(C),

∈

se la distribuzione congiunta di è uguale

A , . . . , A N(A ), . . . , N(A )

1 k 1 k

R d

∈

alla distribuzione di con .

N(A + h), . . . , N(A + h) h

1 k

4.1 Processo di Poisson omogeneo nello spazio

Si generalizza ora il processo di Poisson nel caso in cui si considerano punti che

si distribuiscono in uno spazio (geografico) invece che lungo l’asse temporale.

Un processo di Poisson omogeneo nello spazio è un processo stocastico N =

{N(A), B(C)}

⊆ con

A ∼

N(A) Pois(λν(A))

dove indica la misura di Lebesgue dell’insieme Inoltre, considerati

ν(A) A.

B(C)

⊂ ∩ ∅ ̸

tali che per ogni e allora

A , A , . . . , A A A = i = 1, 2, . . . , k j = i,

1 2 k i j 31 4.

CAPITOLO PROCESSI DI PUNTO

32

il vettore aleatorio è a componenti indipendenti. Ciò

N(A ), N(A ), . . . , N(A )

1 2 k

significa che i numero di punti che cadono in regioni disgiunte dello spazio sono

tra loro indipendenti. B(C)

⊂

Presi qual-

(condizioni di coerenza).

4.0.1

Dimostrazione A , . . . , A

1 k

siasi, bisogna verificare la coerenza delle funzioni di ripartizione finito dimensionali

. Se gli insiemi sono disgiunti, la funzione di ripartizione congiunta è

F

N A ),...,N A )

1 k

( (

coerente perché ottenuta sfruttando il fatto che le variabili sono indi-

N A ), . . . , N A )

1 k

( (

pendenti e distribuite come Poisson di parametro proporzionale a con

v(A ) j = 1, . . . , k.

j

Se invece gli insiemi non sono disgiunti, la dimostrazione si complica. Per semplicità, si

B(C)

⊂

considera Siano qualsiasi. Si considerano ora gli insiemi disgiunti

k = 2. A, B

\ \

∩ e tali che

A B, A B B A \ \

∪ ∪ ∩ ∪

A B = (A B) (A B) (B A).

Allora, scrive \ ∪ ∩

A = (A B) (A B)

e \ ∪ ∩

B = (B A) (A B).

La distribuzione congiunta di e è ottenuta come combinazione lineare di

N(A) N(B)

variabili aleatorie indipendenti in quanto definite su insiemi disgiunti. B(C)

∈

Nota Per la proprietà di additività, considerando due insiemi di-

A, B

4.1. ∪

sgiunti, si ha che con e tra loro indipendenti

N(A B) = N(A) + N(B) N(A) N(B)

e ∼

N(A) Pois(λν(A)),

e ∼

N(B) Pois(λν(B)).

Allora vale che ∼

∪ ≡ ∪

N(A B) Pois(λν(A) + λν(B)) Pois(λν(A B))

perché la misura di Lebesgue è additiva.

4.1. PROCESSO DI POISSON OMOGENEO NELLO SPAZIO 33

↓ ∅, → →

Se allora se

(continuità).

4.0.2

Dimostrazione A ν(A ) 0 n +∞.

n n

∼

Siccome si ha che

N(A ) Pois(λν(A )),

n n −λν(A ) 0

lim lim n

P(N(A ) = 0) = e = e = 1.

n

n→+∞ n→+∞

. Allora d

−

→

N(A ) 0.

n

B(C)

∈ ⊂

Siano con Sapendo che sono caduti punti in si

A, B A B. n B,

ha che il numero di punti che cadono in è distribuito come una Binomiale di

A

v(A)

parametri e , ovvero

n v(B)

v(A)

| ∼ .

N(A) N(B) = n Binom n, v(B)

Si ha infatti che P(N(A) = j, N(B) = n)

| =

P(N(A) = j N(B) = n) = P(N(B) = n)

\

P(N(A) = j, N(B A) = n − j)

= =

P(N(B) = n) n−j

j [λν(B\A)]

[λν(A)]

−λν(A) −λν(B\A)

e e j! (n−j)!

= =

n

[λν(B)]

−λν(B)

e n!

\ n−j

[λν(B A)]

n! j

[λν(A)]

= =

n

j!(n − j)! [λν(B)]

j n−j

n! ν(A) ν(A)

= 1 −

j!(n − j)! ν(B) ν(B)

per ogni j = 0, 1, . . . , n.

4.1.1 Simulazione

Si vuole simulare la distribuzione di una nuvola di punti in una regione dello

A

spazio Per prima cosa si genera il numero di punti che cadono in da

C. n A

∼ Successivamente, si generano le coordinate degli punti

N(A) Pois(λν(A)). n

da | ∼

S , . . . , S N(A) = n U , . . . , U

n n

1 1

i.i.d.

∼

dove con

U Unif(A) i = 1, 2, . . . , n.

i 4.

CAPITOLO PROCESSI DI PUNTO

34

4.2 Processo di Poisson non omogeneo nello spazio

Un processo di Poisson omogeneo nello spazio è un processo stocastico N =

{N(A), B(C)}

⊆ in cui l’intensità con cui i punti cadono varia nello spazio. Si

A R.

definisce quindi una funzione d’intensità da a Il numero di punti che

λ C

cadono in una regione è indipendente dal numero di punti che cadono in

A i ̸

una regione disgiunta per ogni e Inoltre, si ha che

A i j = i.

j Z

∼

N(A) Pois λ(x) dx

A

B(C).

∈

per ogni A

4.2.1 Simulazione

Si vuole simulare la distribuzione di una nuvola di punti in una regione dello

A

spazio Per prima cosa si genera il numero di punti che cadono in da

C. n A

R

∼

. Successivamente, si generano le coordinate degli

N(A) Pois λ(x) dxν(A)

A

punti da

n | ∼

S , . . . , S N(A) = n U , . . . , U

n n

1 1

i.i.d. λ(x)

∼ R

dove con e .

U f i = 1, 2, . . . , n f (x) =

i U U λ(y) dy

i i A

5

Capitolo

Processi spaziali

Tipicamente un processo spaziale descrive l’andamento di un fenomeno alea-

R

d

torio in uno spazio contenuto in . In particolare, un processo spaziale è un

{S(x), R d

∈

processo stocastico dove è un sottoinsieme dello spazio .

x

S = A} A

Per garantire l’esistenza di un processo bisogna definire, in modo coerente,

la famiglia delle funzioni di ripartizione finito-dimensionali

F

S(x ),...,S(x )

1 k

∈

per ogni e

x x ⩾

, . . . , A k 1.

1 k

Una classe di processi spaziali è quella dei processi spaziali gaussiani ovvero

quelli le cui funzioni di ripartizione finito-dimensionali sono normali:

∼ N

F k

S(x ),...,S(x )

1 k

∈

per ogni e Un processo spaziale gaussiano è definito da:

x x ⩾

, . . . , A k 1.

1 k

• il trend E(S(x));

µ(x) =

• la funzione di varianze/covarianze

Cov(S(x

x

C(x , ) = ), S(x ))

1 2 1 2

semi-definita positiva, ovvero tale che

X X

k k x ⩾

a a C(x , ) 0

i j i j

i=1 j=1 35 5.

CAPITOLO PROCESSI SPAZIALI

36 R

∈ ∈

per ogni e con

x

a A i = 1, . . . , k.

i i

5.1 Proprietà di invarianza

I processi spaziali possono godere di proprietà di invarianza tra cui la

stazionarietà, debole o forte, e l’isotropia.

5.1.1 Stazionarietà

La stazionarietà è una proprietà di invarianza ri