Prima parte di appunti completi per esame di Fisica 1 (punto materiale)

FUNZIONI VETTORIALI

In fisica, quando si vuole studiare la CINEMATICA (movimento dei punti materiali) sono necessarie funzioni più complicate rispetto a quella reale di variabile reale.

Questo perché il MOVIMENTO viene associato ad un cambiamento di POSIZIONE in funzione del TEMPO (variabile indipendente): il modo più immediato di indicare dove la posizione di un punto è tramite una FUNZIONE VETTORIALE. E’ facile, infatti, che la posizione di un punto nello spazio può essere individuata facilmente grazie alle sue COORDINATE e le vettorizzate sono funzioni reali: esso è costituito da un insieme di numeri, dunque per ognuno delle coordinate.

Dal momento in cui ho 3 coordinate, e definisco 3 vettori, è definito un VETTORE E: le 3 coordinate spaziali (x, y, z) che individuano la posizione di un punto in funzione del tempo, e definiscono un VETTORE A SUA VOLTA FUNZIONE DEL TEMPO.

Le funzioni vettoriali che considereremo associano ad un PARAMETRO t (espresso come NUMERO REALE) un VETTORE v(t) che appartiene ad uno spazio vettoriale.

Una volta scelta una base (nel nostro caso data da vettori ortogonali) posso scrivere tale funzione vettoriale tramite i COMPONENTI:

Perciò, scelta la base, assegnare una funzione vettoriale significa assegnare tre diverse funzioni scalari che la compongono: un insieme reale (IR) viene associato una TERNA, uno per ciascun componente, di numeri reali (IR^3).Lo studio di una funzione vettoriale può, quindi, essere ricondotto allo studio di 3 funzioni scalari, per quanto riguarda i vettori nello spazio.

Definita una FUNZIONE VETTORIALE, poniamoci il problema della definizione di un RAPPORTO INCREMENTALE; il rapporto incrementale è calcolato per una qual siasi funzione, prendendo la funzione incrementando una parte a una variabile indipendente e calcolando il valore della funzione per tale incremento. Poi si doverà sottrarre al valore ottenuto il valore nel punto iniziale, e si dividerà tutto per l’incremento della variabile, indipendente considerata.

Questo oggetto è ben definito in fatto di una differenza di vettori che si divisa per un numero scalare. Perciò è un qualcosa che si può tranquillamente calcolare.

Se la funzione vettoriale possiede la caratteristica di essere CONTINUA, ci è lecito che se faccio tendere questo incremento a zero, il numeratore tenda a zero, cioè ci si avvicinino le "due funzioni".

Possiamo porci quindi il problema dell’esistenza del limite del rapporto incrementale, quando Δt → 0:

\[\frac{\vec{V}(t+\Delta t) - \vec{V}(t)}{\Delta t} \Rightarrow \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\vec{V}(t+\Delta t) - \vec{V}(t)}{\Delta t} = \frac{d\vec{V}}{dt}\]

Se questo limite esiste, allora lo chiamerò DERIVATA DELLA FUNZIONE V IN t:

chiaramente la condizione di continuità non mi assicura l’esistenza della derivata, così come vale per le funzioni scalari.

La derivata della funzione vettoriale non sarà così semplice da calcolare in OGNI CASO, perché dipende da come viene espressa V(t), in quale sistema ancorate in relazione ad una TERNA DI VERSORI ORTOGONALI allora e determinanti i_x, più semplice può essere limitandosi al calcolo della derivata di 3 funzioni scalari:

\[\vec{V}(t): = V_{xi} \cdot i + V_{yj} \cdot j + V_{zk} \cdot k\]

Questo richiede necessariamente che i versori NON CAMBINO in funzione del tempo cioè non variano al variare dell’ascissa t ponendo i, j, k come fissi a fare in modo che la

derivata della funzione vettoriale (espressa come somma dei componenti scalari):

\[\frac{d}{dt} \cdot dt \cdot i + \frac{d}{dt} \cdot dt \cdot j + \frac{d}{dt} \cdot dt \cdot k = \frac{d\vec{V}}{dt} \cdot dt\]

Risulta chiaro che la DERIVATA DI UNA FUNZIONE VETTORIALE È UN VETTORE, già da

come è stato costruito il rapporto incrementale (rapporto tra un vettore e uno scaler), o meglio è necessario dire che è una volta è una FUNZIONE VETTORIALE.

Comunque in alcuni casi può essere utile andare a ragionare direttamente sui vettore, oppure considerando la espressione in componenti:

Per esempio andiamo a considerare una funzione vettoriale dipendente da un parametro t, di cui modulo sia costante:

\[\vec{V}(t)\] \[\left| \vec{V}(t) \right| = \text{costante} \quad \forall t\] \[\left| \vec{V}(t) \right| = \text{costante}\]

NOTA: un vettore di MODULO COSTANTE NON È un VETTORE COSTANTE: un vettore

è composto da 3 proprietà (modulo, direzione, verso) ... solo dt è costante!

Definire un SISTEMA di COORDINATE è un passo necessario: scelgo di orientare gli spigoli dei muri a delle rette perpendicolari tra loro, che ovunque erano dei più comodi cartesiani, il cui centro rappresenta l'origine degli assi esterni.

Mentre oriento un SISTEMA DI RIFERIMENTO FISICO posso omettere questi assi, mi coordinate migliori: anche diversi, quando ometto un sistema di coordinamento sto implicitamente assumendo che questo sia la rappresentazione matematica di un sistema di riferimento fisico.

Scelto perciò un sistema di riferimento ed un origine in questo, la posizione di un oggetto sarà individuata in ogni istante da un VETTORE POSIZIONE NEI rispetto all'origine del sistema di riferimento.

Se fatto che un oggetto si muova è indicato dal CAMBIAMENTO del VETTORE POSIZIONE nel tempo, poiché questo è una FUNZIONE DEL TEMPO.

Se io conosco r(t), cioè conosco la LEGGE che permette di conoscere ad ogni istante di tempo la posizione del corpo rispetto ai tutto dipende da come il suo MOVIMENTO.

Se mi è comodo, posso esprimere questa funzione vettoriale anche in base alle COMPONENTI U rispetto ad una TERNA DI VETTORI ORTOGONALI:

r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k.

Nel caso particolare del vettore posizione, retti gli assi X,Y,Z con i rettuni assunti, le componenti dei vettori corrispondono proprio alle COORDINATE CARTESIANE DEL PUNTO X(t), Y(t), Z(t).

Se pargona questo modo di ragionare, è chiaro che conoscere la FUNZIONE VETTORIALE r=(t) è equivalente a conoscere le 3 funzioni scalari X(t), Y(t), Z(t).

Conoscere la funzione vettoriale o le funzioni scalari permette di conoscere il DOVE ed il QUANDO del punto cioè avere un'informazione completa non ma nessunea.

Apa conoscenza della caratteristiche geometriche delle LINEA percorsa dal punto, coin mgm. conoscenza della TRAIETTORIA del moto: la TRAIETTORIA è l'insieme dei punti nei quali può trovarsi il punto della vano media infine dal suo movimento.

Scopri intera da un'informazione di tipo geometrico nav modo.

c). sapremo CIT come per una data traiettoria si confronta a priori in quanto torni avere già un'informazione parziale nel moto.

Dal momento in cui si conosce la traiettoria, un modo per definire la posizione del moto, conoscere dello SPAZIO PERCORSO rispetto al t'igenia del moto.

Se MODULO del vettore VELOCITÀ SCALARE COINCIDE con il MODULO del VETTORE

VELOCITÀ. Questo significa che il prefattore ds/ds deve necessariamente essere unitario.

v = dz/dt = (dz/ds) (ds/dt)

Se termine dz/ds essendo un VERSORE è caratterizzato solo da una DIREZIONE e da

un VERSO (modulo unitario):

in particolare è un vettore che ha STESSA DIREZIONE e STESSO VERSO di Δr, perciò

è il VERSORE TANGENTE ALLA TRAIETTORIA.

Questo vettore deve necessariamente avere MODULO UNITARIO, ne segue che:

|dz/ds| = |ds|/dt

Un vettore con modulo unitario non è altro che un VERSORE.

dz/dt = t

(funzione di s (varia al variare della posizione)).

Rimettendo insieme i vari pezzi, dati dell'analisi della velocità scalare e del

versore tangente alla traiettoria, otteniamo che il vettore risultante è dato da:

v(t) = dz/dt = t

(con MODULO pari alla velocità scalare, DIREZIONE tangente e VERSO dipendente dal segno (senso di percorrenza della traiettoria))

se > 0 → |v(t)| > 0

se < 0 → |v(t)| < 0

È importante sottolineare che il modulo del vettore velocità e della velocità scalare

coincidono SOLO NELLE GRANDEZZE ISTANTANEE. Per le velocità medie, questi

moduli non hanno alcuna relazione!

v_M = (Δz(t₂) - Δz(t₁)) / (t₂ - t₁) ≠

v_SM = (s(t₂) - s(t₁)) / (t₂ - t₁)