Preparazione concorso scuola secondaria stem classe concorso A28

Poiché la funzione seno risulta limitata (‒1 ≤ sinx ≤ 1),

7) possiamo scrivere:

lim 2

1 +

→−∞

applicando la regola del quoziente possiamo riscrivere il limite come:

lim −∞

0

→−∞ = = =0

2 2

lim 1 + −∞ ∞

→−∞

|x ‒ k| + |x ‒ 1| = 2

8) L'insieme soluzione dell'equazione con k R coincide con l'insieme

∈

delle ascisse dei punti che soddisfano il sistema:

= −

=2 − − 1

per k = 0, abbiamo 2 intersezioni quindi 2 soluzioni

per k = 1, abbiamo 2 intersezioni quindi 2 soluzioni

per k = 2, abbiamo 2 intersezioni quindi 2 soluzioni

per k = 3, abbiamo infinite soluzioni ‒1.

per k > 3 non si hanno più intersezioni (nessuna soluzione) così come per k < Pertanto

non si può sapere il numero delle soluzioni reali se non si conosce il valore di k.

9) Le equazioni della simmetria assiale avente per asse la bisettrice del secondo e quarto

quadrante sono: ′

= −

′

= −

della ‒ ‒

l’equazione funzione trasformata si ottiene sostituendo x con y ed y con x.

1

1 1 1

− +1 +1 +1

= → − = → ln − = ln → ln − = + 1

2 2 2 2

da cui otteniamo: −

= 2[ ln − − 1 ] = 2

10) Scriviamo la matrice completa e la matrice incompleta associate al sistema:

1 −1 1 −1 −1

= (|) =

1 2 1 2 1

2 2 0

per il teorema di Rouché-Capelli il sistema è compatibile e quindi ammette soluzione se

entrambe le matrici hanno stesso rango.

Il rango di A è pari a 2, pertanto occorre che il determinante della matrice completa sia pari

a 0, vale a dire: 1 −1 −1

= 2 − 2 = 0 → = 1

1 2 1

2 0

11) I due triangoli equilateri ABC e AMN sono simili per definizione pertanto è facile dedurre

che il lato MN = 5. Per ricavare la lunghezza del segmento DM impostiamo il seguente

sistema: + = 5 = 3

3 →

= = 2

2

l'angolo in M misura 60° pertanto l'altezza h può essere ricavata per mezzo della

trigonometria: N D

h

A M 3

ℎ = 60° = 3 2

pertanto l'area del triangolo ADM risulta:

∙ ℎ 3 5 15

= =3 ∙ = 3

2 2 2 4

13) Esprimiamo il numero complesso z in forma algebrica, z = a + bi, pertanto avremo:

2 2 2 2 2 2

= + + 2 = − + 2

2 2 2

= +

che sommati restituiscono:

2 2 2 2 2

− + 2 + + = 0 → 2 + 2 = 0

i valori di a e b si ricavano impostando il sistema:

= 0 2 =0

2 = 0

→ →

= 0 ∀ ∈

2 = 0

pertanto la curva descrive l'asse immaginario.

14) Andiamo a definire la successione termine a termine (fino ad n=10):

= 0

0

= 1

1

= − = 1

2 1 0

= − = 0

3 2 1

= − = −1

4 3 2

= − = −1

5 4 3

= − = 0

6 5 4

= − = 1

7 6 5

= − = 1

8 7 6

= − = 0

9 8 7

= − = −1

10 9 8

= − = −1

11 10 9

= − = 0

12 11 10

da cui è evidente che a è periodica con periodo uguale a 6.

n 2

15) Optiamo per un raccoglimento parziale, mettendo in evidenza il termine x tra i primi 2

addendi e + 1 tra gli ultimi due, ottenendo:

2

− 1 + − 1 = 0

x‒1:

da cui con un raccoglimento totale del termine

2

− 1 + 1 = 0

risolviamo separatamente le due equazioni ed otteniamo:

− 1=0 → =1

2

+ 1 = 0 → = ±

quindi una soluzione reale.

17) Il volume di un ottaedro è pari a: 2 3

=

3

mentre la superficie totale è pari a: 2

= 2 3

se il rapporto tra le due superfici totali è pari a 8, avremo:

12 12

2 3

1

= = = 8 → = 8

2

22

′

2 3 2

2

pertanto il rapporto tra i due volumi diventa pari a: 3

13

2 3

1

3

= ∙ = =

1 23

23

′ 3

2 2

sostituendo in essa il rapporto tra i due lati precedentemente trovato, otteniamo:

3

1 3

= = ( 8)

′ 2

20) L'insieme soluzione dell'equazione proposta coincide con l'insieme delle ascisse dei punti

che soddisfano il sistema: =

=

la funzione sinx si annulla per x = kπ con k=0,1,2.... mentre la funzione y = x rappresenta

una retta che passa per l'origine degli assi cartesiani pertanto l'unico punto di intersezione è

l'origine degli assi stessi.

21) La condizione di continuità si ha se: lim = ( )

0

→ 0

pertanto per x = 0 abbiamo i limiti sinistro e destro pari a:

0 lim = 0

−

→0

lim − 1 + = 0

+

→0

entrambi i limiti sono uguali e coincidono con la valutazione della funzione nel punto x = 0

0

(f(0)=0).

Deriviamo entrambe le funzioni ed otteniamo:

<0

+ ≥ 0

per x = 0 abbiamo i limiti sinistro e destro pari a:

0 lim = 1

−

→0

lim + = 1 +

+

→0

la derivata prima della funzione nel punto x = 0 vale f '(0) = 1 + a, pertanto

0

1+ = 1+ → = 0

23) Determiniamo una rappresentazione della retta come intersezione di 2 piani non paralleli:

= − 5

= 1 + 2 − 10

= 1 + 3 − 15

uno dei possibili vettori direzione è dato dai coefficienti che moltiplicano il parametro t

(oppure ricavabili come prodotto vettoriale tra i coefficienti direttori dei piani), quindi:

= (1; 2; 3)

scriviamo l'equazione cartesiana di un piano qualsiasi come

+ + + = 0

e sostituiamo nell'ordine i coefficienti a,b, c delle incognite con le componenti del vettore

direzione della retta r: + 2 + 3 + = 0

per ricavare il valore di d imponiamo il passaggio per il punto (1,1,1):

= − − 2 − 3 = −1 − 2 − 3 = −6

pertanto l'equazione del piano cercato è:

+ 2 + 3 − 6 = 0

24) Andiamo a scomporre il numero 504 in fattori primi:

3 2

504 = 2 ∙ 3 ∙ 7

il numero di divisori del numero sarà dato dal prodotto degli esponenti dei 3 divisori

aumentati ognuno di una unità: = 4 ∙ 3 ∙ 2 = 24

27) Applichiamo l'esponenziale in base e ai due membri così da cancellare il logaritmo naturale

2

ln⁡

(ln⁡

( )) 0 2

> → ln > 1

applichiamo l'esponenziale in base e ai due membri:

2

ln⁡

( ) 1 2

> → x >

< − ∪ >

pertanto le soluzioni sono

28) La funzione proposta ha il seguente grafico:

Non è positiva in quanto per x < 0 la funzione assume valori negativi, non è convessa in

quanto la derivata seconda è positiva solo per x > 0. Osservando il grafico possiamo

dedurre che è strettamente crescente ed a conferma di ciò possiamo studiare il grafico

della derivata prima: ′

= − 1 −

che risulta essere ≥ 0 per ogni x appartenente ad R.

29) La superficie in questione è un rombo

La superficie del rombo coincide con l'area dell'integrale definito della funzione

[ ‒1, 1]. La superficie sottesa dalla funzione f(x) = ‒ |x| + 1 risulta:

sull'intervallo 1

1

= − + 1 = − + =1

1 2

−1 −1

= |x| ‒ 1 risulta (con il segno meno poiché

mentre la superficie sottesa dalla funzione f(x)

negativa): 1

1

= − − 1 = − − =1

2 2

−1 −1

sommiamo i due contributi così da avere la superficie richiesta:

= + = 1 + 1 = 2

1 2

36) Il dominio di integrazione risulta essere uno spicchio di sfera (1/8) con centro coincidente

con l’origine degli assi. z y

x

l'insieme può essere rappresentato in coordinate sferiche. Ponendo:

=

=

=

si ha: 2 2 2 2 2 2

+ + ≤ 4 → ( ) + ( ) + ( ) ≤ 4 → ≤ ±2

l'insieme descritto in coordinate sferiche diventa:

3

, , ∈ : 0 ≤ ≤ 2, 0 ≤ ≤ ,0 ≤ ≤

2 2

lo Jacobiano relativo al cambio di coordinate è pari a:

2

per cui il volume risulterà pari a:

2

2 2 2 2 2

8 8 8 8 4

2 2

= = = = = ∙ =

0

3 3 3 3 2 3

0 0 0 0 0 0

Scritto STEM luglio 2021:

A27

(Dettagli da ricontrollare)

Concorso STEM A027 – Anno 2021

Domande di fisica

(1) Due conduttori sferici di raggio a e b > a vengono portati a grande distanza (>> b) e sono

collegati da un filo conduttore. Su di essi viene depositata la carica Q. Dire quanto vale il campo

elettrico appena fuori la superficie del conduttore di raggio a.

(2) In una reazione 4 protoni danno luogo a un nucleo di elio, due positroni e due neutrini. Vengono

fornite la massa del protone e la massa del nucleo di elio. Trascurando il rinculo del nucleo di

elio, dire quanto vale l'energia delle altre particelle.

(3) Un'asta di lunghezza d e di massa trascurabile ha attaccate ai propri estremi due masse uguali e

pari ad m. Si applica una forza F perpendicolarmente all'asta. Dove va colpita