Potenziali nodali e correnti di maglia: teoria ed esercizi svolti

Potenziali nodali e correnti di maglia

Appunti di Elettrotecnica 1

Il presente documento introduce e sviluppa in modo sistematico i principali metodi di ri-

soluzione dei circuiti elettrici lineari in regime di corrente continua: il metodo dei potenziali

nodali e il metodo delle correnti di maglia. Tali tecniche costituiscono strumenti fondamentali

dell’analisi circuitale e permettono di affrontare in modo strutturato la risoluzione di reti anche

complesse, superando i limiti di un approccio puramente intuitivo basato sulle leggi di Kirchhoff

applicate caso per caso.

Il metodo dei potenziali nodali si fonda sull’applicazione della legge di Kirchhoff delle cor-

renti ai nodi del circuito, esprimendo le grandezze incognite in termini di potenziali elettrici

riferiti a un nodo di riferimento. Questo approccio consente di ridurre il numero di equazioni da

risolvere, risultando particolarmente efficace in presenza di generatori di corrente e di circuiti

con un elevato numero di rami.

Il metodo delle correnti di maglia, duale rispetto al precedente, si basa invece sull’applica-

zione della legge di Kirchhoff delle tensioni alle maglie indipendenti del circuito, introducendo

come incognite le correnti che le percorrono. Tale metodo risulta particolarmente naturale nei

circuiti planari e in presenza di generatori di tensione.

L’obiettivo del documento è fornire una trattazione chiara e rigorosa di entrambi i metodi,

evidenziandone analogie, differenze e ambiti di applicazione, e accompagnando la teoria con

esempi svolti che ne mostrino l’efficacia nella risoluzione pratica dei circuiti elettrici.

Potenziali nodali e correnti di maglia 1

Le correnti incognite di un circuito dipendono dalle differenze di potenziale e non dall’effet-

tivo valore del potenziale di ogni nodo:

I A A

gen R

gen

E R

V I

B B

 = = −ϕ

ϕ

V

I A B

 R R

= = −ϕ −E

−E ϕ

V

I A B

gen

 R R

Pertanto, è possibile fissare a zero il potenziale di un nodo (potenziale di riferimento). Tale

nodo viene indicato col seguente simbolo:

Ad esempio: I A

gen R

gen

E V B

In questo caso: = 0.

ϕ

B

Potenziali nodali e correnti di maglia 2

Risulta possibile esprimere le correnti in ogni lato (controllato in tensione) in funzione dei

potenziali dei nodi ai quali i lati sono collegati. Per i lati contenenti solo resistenze:

A R

V k

k I

k

B

−

ϕ ϕ

V A B

k = = (ϕ )

= · −

G ϕ

I k A B

k R R

k k

Nei lati contenenti generatori reali di tensione si ha:

V

R k A

I

k

R

k

E V

k k

B

(ϕ + )

−

V ϕ E

R A B k

= = = + = + (ϕ )

k −G · · −G · · −

I E G V E G ϕ

k k k k k k k k A B

R R

k k

Dove il termine: è un termine noto.

−G · E

k k

Potenziali nodali e correnti di maglia 3

Le correnti di lato del circuito possono essere espresse in funzione dei potenziali di nodo e

delle conduttanze di lato. Si consideri il seguente esempio:

1 2

I I

1 3

R = (ϕ + ) = (E )



3 · − · −

I G E ϕ G ϕ

J 1 1 4 1 1 1 1 1

R R 



1 2  = (ϕ ) = (ϕ )

 · − − · −

I G E ϕ G E



 2 2 1 2 4 2 1 2





I  = (ϕ )

2 · −

R J I G ϕ

4 3 3 1 2

 = (ϕ )

· −



I G ϕ

 4 4 4 3





E E  = (ϕ ) =



1 2 · − −G ·

I G ϕ ϕ



I  5 5 4 3 5 3

4

I

5

4 3

R

5

Le incognite potenziali nodali soddisfano automaticamente le LKT. Ad esempio,

n - 1

considerando la :

LKT

1 1 2

I I I

1 2 3

R

3 J

R R

1 2 R J

LKT 4

1

E E

1 2 I

4

I

5

4 3

R

5

+ = + + + = 0

− − − − − −

V V V V ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

14 12 23 34 1 4 1 2 2 3 3 4

Il potenziale di ogni nodo della maglia viene contato una volta col segno più ed una con il

segno meno.

Potenziali nodali e correnti di maglia 4

L’insieme delle incognite potenziali di nodo deve soddisfare le LKC indipendenti. In

n - 1

particolare, considerando i nodi 1, 2 e 3, si ha:

: + + = (E ) + (ϕ ) + (ϕ ) = 0

 −I −G · − · − · −

LKC I I ϕ G E G ϕ

1 1 2 3 1 1 1 2 1 2 3 1 2





 : + = (ϕ ) + (ϕ ) =

−I −G · − · −

LKC I ϕ G ϕ J

2 3 4 3 1 2 4 2 3

 : = (ϕ ) (ϕ ) =

 −I − −G · − − · − −J

LKC I ϕ G ϕ

 3 4 5 4 2 3 5 4 3

Riordinando: (G + + ) = +

 · − · · ·

G G ϕ G ϕ G E G E

1 2 3 1 3 2 1 1 2 2





 + (G + ) =

−G · · − ·

ϕ G ϕ G ϕ J

3 1 3 4 2 4 3

 + (G + ) =

 −G · · −J

ϕ G ϕ

 4 2 4 5 3

Questo sistema può essere riscritto anche in forma matriciale come segue:

+

+ + 0  

    · ·

−G G E G E

G G G ϕ 1 1 2 2

1 2 3 3 1

+ =

−G −G J

G G ϕ  

   

3 3 4 4 2  

   

0 + −J

−G G G ϕ

4 4 5 3

= ∗

· Φ

G J

Dove è la matrice delle conduttanze e è la matrice dei termini noti. Si può notare

∗

J

G

come i termini sono le somme di tutte conduttanze che incidono nel nodo Infatti:

G k.

kk = + +

 G G G G

11 1 2 3





 = +

G G G

22 3 4

 = +

 G G G

 33 4 5

Invece i termini = sono le conduttanze cambiate di segno che collegano il nodo

G G h

hk kh

con il nodo (matrice simmetrica). Infatti:

k = =

 −G

G G

12 21 3





 = = 0

G G

13 31

 = =

 −G

G G

 23 32 4

I termini noti si ottengono sulla base della equivalenza del generatore reale di tensione con

quello reale di corrente.

Potenziali nodali e correnti di maglia 5

Le correnti di lato del circuito possono essere calcolate una volta ricavati i potenziali di

nodo: = (ϕ + ) = (E )

 · − · −

I G E ϕ G ϕ

1 1 4 1 1 1 1 1





 = (ϕ ) = (ϕ )

 · − − · −

I G E ϕ G E



 2 2 1 2 4 2 1 2





 = (ϕ )

· −

I G ϕ

3 3 1 2

 = (ϕ )

 · −

I G ϕ

 4 4 4 3







 = (ϕ ) =

· − −G ·



I G ϕ ϕ

 5 5 4 3 5 3

Potenziali nodali e correnti di maglia 6

Esiste inoltre una versione modificata del metodo dei potenziali nodali, ossia il metodo

Questa variante si applica a circuiti come il seguente:

nodale modificato. 1 2

I I

1 3

R

3 J

R R

1 2

I

2 R J

4

E E

1 2 I

4

I

5

4 3

E

5

In questo tipo di circuiti è presente almeno un generatore di tensione (ideale) connesso

direttamente tra due nodi del circuito. Risulta quindi più difficoltoso esprimere la corrente .

I

5

La soluzione sta nell’aggiungere l’equazione della caratteristica del lato contenente il bipolo non

contr