Pompe idrauliche

Pompe idrauliche

Bilancio di massa ed energia

Quando facciamo un bilancio di massa e di energia possiamo definire un volume di controllo che si riconduce a una sezione di ingresso e di uscita, perché lungo le pareti laterali non abbiamo scambio di materia e ipotizziamo che non ci sia nemmeno uno scambio di energia e che la parete sia solida e l’energia che andiamo a considerare è energia sotto forma meccanica.

Conservazione della massa

Le equazioni fondamentali sono quelle di conservazione della massa. Questa equazione dice che la variazione nel tempo delle densità in questo caso che essendo per noi un fluido di natura incomprimibile la variazione della densità nel tempo è nulla. Quindi la densità è pari a zero, cioè quello che entra dalla sezione 1 deve uscire sulla sezione 2. Questa è l’equazione della continuità e dice che la portata volumetrica o anche la portata massica è costante perché se ρ è costante si può portare fuori e l’integrale della velocità sulla superficie (la superficie si riduce a una sezione nel caso in cui utilizziamo un approccio bidimensionale), e quindi la portata volumetrica è costante.

Conservazione dell'energia

Per ciò che riguarda la conservazione dell’energia, l’equazione di Bernoulli dice che la somma della componente cinetica (proporzionale al quadrato della velocità) + la componente di pressione + la componente gravitazionale è costante. Questa è l’equazione di Bernoulli dove tutto però è stato diviso per ρg. Non cambia niente è solo un modo diverso di vedere l’equazione di Bernoulli in cui è stato portato in evidenza il termine di altezza. L’equazione si può scrivere sia in forma classica dove l’unico termine che sta da solo è la pressione e quindi tutte le componenti hanno come unità di misura quelle di una pressione, oppure si può evidenziare z (altezza) e si divide tutto per ρg, oppure divido tutto per ρ e l’unica componente che ho è u²/2. (È sempre la stessa cosa).

Perdite di carico

h è la somma delle perdite di carico e cioè la somma di tutti quei termini che sono conseguenza dell’attrito e che comportano una dissipazione dell’energia sotto forma di energia termica. E cioè quello che avevo prima (somma dei primi tre termini a sinistra) sarà uguale agli equivalenti a destra + una parte che se n’è andata e che andrà a scalare dall’energia iniziale.

-h indica la quantità di energia meccanica che è fornita da una pompa. E cioè l’energia che il fluido aveva inizialmente (dato dai 3 termini) + quella fornita dalla pompa la ritroviamo nei tre termini equivalenti (di energia cinetica, pressione e di altezza) + una componente che non c’è più (è stata dissipata). Questa equazione è l’equivalente dell’equazione di Bernoulli ma in forma viscosa. Abbiamo introdotto gli effetti della viscosità.

Tipi di perdite

Il termine che rappresenta le perdite per attrito dovuto agli sforzi di taglio, in realtà è la combinazione di due tipi di fenomeni. Un tipo di fenomeno è dato dalle perdite di attrito dovute agli sforzi di taglio alle pareti e queste vengono considerate delle perdite di natura distribuita, cioè lungo tutte le pareti della tubazione, sono perdite distribuite e sono proporzionali rispetto alla lunghezza.

• Perdite distribuite: dovute agli sforzi di taglio lungo tutte le pareti della tubazione.
• Perdite concentrate: perdite addizionali dovute agli ostacoli (presenza di una valvola, di un gomito, a un restringimento-allargamento di sezione).
• Perdite dovute ai filtri: considerate come concentrate perché il filtro è posizionato in un punto specifico, però non sono proporzionali al quadrato della velocità ma sono costanti.

La velocità media sulla sezione non tiene conto dell’andamento parabolico o pseudo-parabolico che è quello effettivo del fluido.

Parametri delle tubazioni

• L: Lunghezza complessiva delle tubazioni tra la sezione 1 e la sezione 2.
• D: Diametro della tubazione.
• ̅: Fattore di attrito di Fanning, correlato alle condizioni dinamiche del fluido (laminare, turbolento o transizionale).
• k: Fattore che varia in base all’apparecchiatura meccanica a cui è riferito (riduttore, valvola, gomito).

Studio delle perdite

Se si ha energia e una parte di questa si dissipa a parete, se si considera un tubo percorso da un fluido incomprimibile, la velocità non può cambiare in una tubazione perché quello che entra è uguale a quello che esce e se consideriamo un tubo che trasporta un fluido orizzontalmente non abbiamo nemmeno variazione di altezza, l’unica cosa che può variare è la pressione e quindi la componente di perdite distribuita ha come conseguenza una variazione della pressione rispetto a ρ.

L’effetto delle perdite dovute all’attrito sulle pareti si ripercuote in una variazione di pressione. Questa cosa iniziò a studiarla Moody, che con la rivoluzione industriale le pompe vennero usate anche per condutture idrauliche quindi per portare l’acqua.

Esperimenti di Moody

Moody studiò gli effetti dell’attrito perché si accorse che tanto maggiori erano la tubazione tanto minore era la pressione che si otteneva a valle e quindi non era più possibile trasportare l’acqua, quindi prese delle tubazioni e ci mise in direzione normale alla tubazione dei tubicini. Se immaginiamo di avere acqua e che questa riempie fino a una certa altezza perché la pressione esercitata dal fluido permette di compensare la pressione atmosferica fino a un certo punto, quando si compensa l’acqua non sale fino a un certo punto. Dopodiché notò che a una certa distanza L per un tubo di diametro D questa altezza h₂ era minore di h₁. La velocità non poteva cambiare perché se abbiamo la sezione 1 e la sezione 2 poiché il fluido è incomprimibile si ha che u₁=u₂ e anche il quadrato di u₁ sarà uguale al quadrato di u₂, quindi il termine cinetico quindi non può dare contributo. Per ciò che riguarda le altezze gravitazionali abbiamo che z₁ = z₂ (perché gli esperimenti li faceva in piano) e quindi la componente gravitazionale andava via. Quindi l’unica cosa che cambiava era la pressione e scoprì che p₂<p₁ e l’energia si era persa come conseguenza degli attriti perché era stata dissipata sulla superficie di contatto tra il tubo e il fluido.

Diagrammi e leggi di viscosità

Moody con questo esperimento iniziò a studiare gli effetti su lunghezze diverse, gli effetti su fluidi diversi. Sulle ascisse abbiamo il Numero di Reynolds (Re) in scala logaritmica. Sull’asse delle ordinate abbiamo il valore del Fanning. È un diagramma semi-logaritmico. Nella zona che va da 0 a 2100 il moto all’interno di una tubazione si considera laminare, da 2100 a 4000 il moto può diventare transizionale e sopra i 4000 si considera il moto completamente sviluppato. Per capire se un moto è transizionale o turbolento, bisogna vedere gli effetti della rugosità (scabrezza a parete della parte interna della tubazione).

Se abbiamo una parete estremamente levigata anche con un N superiore a 10000 posso mantenere il regime laminare aumentando piano piano le portate. Se il N è laminare il fattore di fattore di Fanning si calcola come: f= 16/Re. Se il moto è sviluppato (zona violetta) il Fanning si calcola con la relazione in verde. Queste sono formule di natura sperimentale. La rugosità è definita come il raggio della sferetta che ipoteticamente si può sovrapporre al disegno dei picchi e delle valli presenti sulla superficie che ne definiscono la rugosità, e quindi il raggio della sferetta è proprio quello che noi consideriamo la rugosità superficiale. Se ho tutto piatto non si può inserire nessuna sferetta e il raggio è infinito; questo vale per i fluidi newtoniani.

In regime turbolento l’equazione che ci serve è quella in verde. C’è una zona sotto che è quella dei tubi lisci cioè tubi estremamente levigati in cui la rugosità tende a zero e anche il raggio tende a 0.

Fluids non newtoniani

Nel nostro caso abbiamo un problema perché la maggior parte dei fluidi di uso nell’industria alimentare sono fluidi non newtoniani. Quando il rapporto tra lo sforzo di taglio e lo shear rate (derivata della velocità rispetto allo spazio) non è costante, non abbiamo una sola viscosità ma una viscosità che varia in funzione dello shear rate, e quindi bloccando lo shear rate abbiamo un valore di viscosità chiamato viscosità apparente. Quando è costante la costante di proporzionalità è proprio la velocità. Da una parte abbiamo fluidi non newtoniani dall’altra questi hanno una viscosità maggiore dell’acqua e sono fluidi che essendo maggiormente viscosi in termini di viscosità apparente tendono a ridurre il N_Re perché nel N la viscosità compare sempre al denominatore. Il N varia a seconda della viscosità del fluido.

Leggi di viscosità

• Power-Law: τ=K H̅ →shear rate, gradiente di velocità nello spazio.
• Herschel–Bulkley: τ=µ +K₀ H
• Bingham: τ=µ +K̅ il fluido si comporta in maniera newtoniana (un fluido che si comporta così è il burro, cioè se prendiamo un panetto di burro si blocca la parte inferiore e sopra si preme lateralmente, accade che premendo il burro rimane solido fino a che ad un certo punto tutto il blocco superiore inizia a scorrere su sé stesso).

La viscosità nel caso di una Power-Law viene definita come µ = K .H∙∙̅. Nel caso dei fluidi Newtoniani il Re= con µ costante. Nel caso dei fluidi con comportamento alla Power-Law abbiamo il Numero di Reynolds Generalizzato n-1̅ e µ= K HK -> indice di consistenza H̅ -> velocità di deformazione =µ = quindi µ. apparente ̅ questo Re generalizzato è in accordo con il Re generale, perché se si considera un fluido Newtoniano n=1.