Pitagora, Pitagorici, Anassagora

Esistevano i numeri irrazionali per i pitagorici?

La scoperta dei numeri irrazionali viene tradizionalmente attribuita al pitagorico

Ippaso di Metaponto, che produsse una argomentazione (probabilmente con

considerazioni geometriche) dell'irrazionalità della radice quadrata di 2. La

tradizione lo dice morto a seguito della dimostrazione matematica che "...l'ipotenusa

di un triangolo rettangolo non era un numero, nel senso che i pitagorici davano al

termine. Sorprendentemente si trattava del triangolo rettangolo più semplice

possibile: quello con i due cateti di lunghezza uguale a valore uno, un triangolo

rettangolo isoscele. In effetti, in quel triangolo l'ipotenusa, per il teorema di Pitagora,

era uguale alla radice di due. Quest'ultima però non si può esprimere come un numero

razionale positivo! È quello che noi chiamiamo "irrazionale", non perché questi numeri

abbiano un difetto psicologico ma perché non possono essere espressi come un

quoziente o rapporto tra due numeri naturali. La leggenda racconta che il discepolo

disubbediente fu Ippaso di Metaponto (nel 500 a.C. ca.). Per questo motivo (o per aver

rivelato la dimostrazione al mondo) venne affogato nel mare di fronte a Crotone, in

Calabria. " Questa scoperta era infatti in totale dissonanza con le credenze

degli stessi pitagorici, inaccettabile per quella sorta di religione che era il

misticismo pitagorico, basato sull'idea che "...il numero fosse l'essenza della

natura... I pitagorici (infatti, n.d.r.) non avevano lo stesso concetto del numero che

abbiamo noi. Per loro i numeri erano solo i numeri naturali o quelli che potevano

essere espressi con un quoziente di numeri naturali (3/4, 5/8 ecc.): l'insieme dei

numeri razionali positivi (le cosiddette "frazioni", sempre positive)" Questa scoperta fu

quindi la presunta causa della morte di Ippaso.

Le disposizioni geometriche

- Dispari = quadrato

- Pari = rettangolo

La Tetraktys

La tetraktýs o tetrattide o numero quaternario o sacra decade rappresentava per i

pitagorici la successione aritmetica dei primi quattro numeri naturali (o più

precisamente numeri interi positivi), un «quartetto» che geometricamente «si poteva

disporre nella forma di un triangolo equilatero di lato quattro», ossia in modo da

formare una piramide che sintetizza il rapporto fondamentale fra le prime quattro cifre

e la decade: 1+2+3+4=10 (somma teosofica).

- La simbologia

A ogni livello della tetraktys corrisponde uno dei quattro elementi, i principi

cosmogonici così identificati secondo i filosofi della natura presocratici:

1) Il punto superiore: l'Unità fondamentale, la monade, la compiutezza, l'unità,

l'indiviso (padre-madre), il Fuoco (il punto)

2) I due punti: la dualità, gli opposti complementari, il femminile e il maschile,

l'androgino, il principio dei numeri pari, la linea, l'Acqua (il segmento)

3) I tre punti: la misura dello spazio e del tempo, la dinamica della vita, la

creazione, la somma dell'Uno con la Diade, il primo dei numeri dispari, l'Aria (il

piano)

4) I quattro punti: la base delle figure solide, la materialità, gli elementi strutturali,

la Terra (il solido)

Tale corrispondenza simbolica è attribuita a Filolao (470 a.C. - 390 a.C.), un pitagorico

della seconda generazione che avrebbe fatto coincidere i quattro elementi con i primi

quattro solidi platonici (terra = cubo, fuoco = tetraedro, aria = ottaedro, acqua =

icosaedro). In quest'identificazione dovettero giocare un ruolo notevole anche analogie

sensibili: il cubo dà l'idea della solidità della terra, la piramide delle lingue di fuoco,

ecc. La raffigurazione completa della tetraktys rappresenta la sintesi del Tutto, l'Unità

e la molteplicità, la materia che si differenzia. Per i pitagorici infatti il 10 simboleggia

l'Universo.

A sua volta il dieci rimanda all'Unità poiché 10=1+0=1 secondo il metodo della

riduzione teosofica. Inoltre «nella decade "sono contenuti egualmente il pari (quattro

pari: 2, 4, 6, 8) e il dispari (quattro dispari: 3, 5, 7, 9), senza che predomini una parte".

Inoltre risultano uguali i numeri primi e non composti (2, 3, 5, 7) e i numeri secondi e

composti (4, 6, 8, 9). Ancora essa "possiede uguali i multipli e sottomultipli: infatti ha

tre sottomultipli fino al cinque (2, 3, 5) e tre multipli di questi, da sei a dieci (6, 8, 9)".

Infine, "nel dieci ci sono tutti i rapporti numerici, quello dell'uguale, del meno-più e di

tutti i tipi di numero, i numeri lineari, i quadrati, i cubi. Infatti l'uno equivale al punto, il

due alla linea, il tre al triangolo, il quattro alla piramide".» Forse «è nata così la

teorizzazione del "sistema decimale" (si pensi alla tavola pitagorica)», tuttavia per

quanto riguarda la Grecia e non per l'intera storia della civiltà e della matematica, che

attesta la preesistenza di tale intuizione rispetto ai Pitagorici. Secondo Luciano De

Crescenzo, in questo modo con la matematica greca «pare che anche fra i numeri

esistesse un'aristocrazia: c'erano quelli nobili e quelli plebei.» I numeri pari erano detti

numeri rettangolari, mentre quelli dispari erano detti quadrato in base alla forma

risultante dalla loro rappresentazione a angolo retto o a squadra. I primi erano

caratterizzati dalla presenza del limite, l'Uno, quando si tentava di bisezionare la linea

della divisibilità continua introdotta all'interno della squadra di rappresentazione,

mentre i numeri pari erano apprezzati per il passaggio libero da interposizioni.

- La simbologia delle coppie dei contrari

Alcuni pitagorici pongono come principi addirittura 10 coppie di contrari,

organizzate secondo uno schema di cui è evidente il valore assiologico:

1) Limite/illimitato

2) Dispari/pari

3) Uno/molti

4) Destro/sinistro

5) Maschio/femmina

6) Fermo/mosso

7) Diritto/curvo

8) Luce/tenebre

9) Buono/cattivo

10) Quadrato/oblungo.

Le divisioni all’interno della scuola pitagorica

Nella scuola pitagorica i cadetti venivano scelti sulla base di criteri fisiognomici (in

base all’aspetto fisico della persona). I membri venivano divisi in 3 gruppi:

1) Acusmatici: acuo = ascoltare; erano coloro che dovevano solo ascoltare

(solitamente per 2 anni)

2) Matematici: manthano = apprendere; erano coloro che potevano interagire col

maestro

3) Fisici: coloro che studiavano il mondo della natura.

La teoria universale dei Pitagorici

T4: DK44A17 e B21(fonte: Aezio III 11, 3 e 13, 1-2; trad. G. Giannantoni)

“Il pitagorico Filolao dice che nel mezzo sta il fuoco […] e che seconda è l’antiterra,

terza la terra abitata che le sta di contro e si muove in senso contrario a essa […].

Alcuni affermano che la terra è ferma: invece il pitagorico Filolao dice che gira intorno

al fuoco secondo il cerchio dell’eclittica, in modo simile al sole e alla luna.”

Nella teoria di Filolao:

- Centro c’è il fuoco

- Terra ruota intorno al fuoco

- Tutti i corpi celesti (incluso il sole) ruotano intorno al fuoco

Questo fu un primo modello di eliocentrismo

Cose da ricordare su Pitagora e i pitagorici:

1) 1 non è un numero

2) I numeri sono elementi che esistono concretamente

3) Ontologia e gnoseologia non si possono usare per i pitagorici

4) L’anima ha una struttura matematica: Platone la riprende nel Timeo e nel

Teeteto

L’eleatismo

La filosofia della scuola di Elea, fiorita fra il sec. VI e il V a.C., per merito soprattutto di

Parmenide, il quale tende a escludere dalla realtà e relegare nei limiti dell'apparenza

tutto ciò che in qualsiasi modo implica il concetto contraddittorio del non-essere.

Ricordare: fondazione alaio; evento eleaticon; 22-23 ottobre evento ad Ascea.

Senofane di Colofone (570ca.-470ca.)

1° fondatore della scuola di Elea. Egli fece molti viaggi tra Egeo e Mediterraneo; viene

ricordato come un filosofo poeta della natura che reclamava la sua filosofia in versi.

Egli viene ricordato come un rapsodo ionico del VI a.C. (cantore di Colofone che come

Mileto, Efeso e Samo si trova nella Ionia). Senofane scrive in giambi e distici elegiaci:

- Giambo: Nella metrica antica, piede di ritmo ascendente formato da una sillaba

breve e una lunga (◡−)

- Distico elegiaco: Nella metrica classica, e in particolare nella metrica greca e

latina, per distico elegiaco si intende un distico composto da un esametro e un

pentametro.

[Anche filosofi come Parmenide ed Empedocle scrivono in versi, ma differentemente

da Senofane non sono rapsodi e compongono le loro opere in esametri]

Senofane nelle sue opere unisce le opere di Omero e di Esiodo alle tradizioni illiriche

(Gli Illiri furono un insieme di popoli di lingua indoeuropea stanziati nell'età del ferro

nella penisola balcanica nord-occidentale (Illiria e Pannonia). In queste opere egli dà

una spiegazione logica e scientifica all’origine delle divinità. Iride nella tradizione di

Esiodo era la messaggera degli dei e la personificazione dell’arcobaleno. In Senofane,

Iride è il prodotto di un processo scientifico.

L’importanza di Senofane

1) Filosofo monista e naturalista

2) Centralità del divino: l’unico filosofo preplatonico a dare grande importanza al

divino

3) Creatore di una nuova teologia in cui il dio è unico e nella natura.

La critica ad Omero

T6: DK21B15 (fonte: Clemente Alessandrino, Stromati V 110; trad. P.

Albertelli)

“Se i buoi <e i cavalli> e i leoni avessero mani e potessero con le mani disegnare e

fare ciò appunto che gli uomini fanno, i cavalli disegnerebbero figure di dèi simili ai

cavalli e i buoi simili ai buoi, e farebbero corpi foggiati così come ciascuno di loro è

foggiato.”

In questo estratto critica indirettamente Omero e l’intera tradizione mitologica greca

per antropizzare le proprie divinità. Antropomorfismo: forma dell’uomo nel dio.

Secondo Senofane il dio è superiore all’uomo e non può avere né il suo corpo né il suo

pensiero. Nel testo DK21B15 Senofane dichiara che il dio non può avere il

corpo umano.

T7: DK21B24 (fonte: Sesto Empirico, Contro i Matematici IX, 144; trad. P.

Albertelli)

“Tutto intiero vede, tutto intiero pensa, tutto intiero ode.” In questo passo dichiara,

invece, che il dio non può avere pensiero umano. Dio è immutabile, unico e

superiore a tutte le creature.

T8: DK21B1 (fonte: Ateneo di Naucrati, Deipnosofisti XI 462C; trad. P.

Albertelli)

Il cratere è lì, ripieno di allegria,

e c’è pronto altro vino nei vasi, che dice che mai verrà meno,