Moto circolare uniforme

MOTO CIRCOLARE UNIFORME

x = R cos(ωt)

y = R sin(ωt)

y^2 = R^2 sin^2 (ωt)

x^2 = R^2 cos^2 (ωt)

y^2 + x^2

R^2 sin^2 (ωt) + R^2 cos^2 (ωt)

R^2 (sin^2 (ωt) + cos^2 (ωt))

= R^2

è un'equazione

MOTO CIRCOLARE UNIFORME

y^2 + x^2 = R^2

MOTO CIRCOLARE UNIFORME

x = R cos(ωt)y = R sin(ωt)

TRAETTORIA

MOTO CIRCOLARE UNIFORMEy² + x² = R²

ŝ = punto

α

= R² è un’ellisse

se le somme y² + x²

Come sono v e a?

quindi: r = x(t) î + y(t) ĵ

x trova v (derivo x e y rispetto a t)

^dx/_dt = -R ω sin(ωt)

^dy/_dt = R ω cos(ωt)

oss

|r| = il raggio della circonferenza

|v| = R

se costante, se si deriva ottengo 0

quindi: la derivata del modulo |v| = 0 ma la derivata di v è 0? no

d|r|/_dt = 0

d|v|/_dt ≠ 0

la direzione di v rispetto a r

r·v = -R ω cos(ωt) + R ω sin(ωt) + R cos(ωt) + Rω

= 0

v è tag alla traiettoria di r

|v| = √(R² ω² sin²(ωt) + R² ω² cos²(ωt))

^{R2ω2 (sin2(ωt) + cos2(ωt))}

V_vettore = Rω

calcolo accelerazione

a̅ = (-Rω²cos(ωt))i̅ - (Rω²sin(ωt))j̅

= ω² [ - (Rcos(ωt))i̅ - (Rsin(ωt))j̅ ]

= -ω²r̅

|a̅| = ω²R

|â̅| = ^{V2 R Ω2} = ^V2 _R

• la direzione â̅ e r̅ è la stessa
• Verso opposto (accel. centrifuga)
• sono tra loro ⟂

moto circolare uniforme

ω = 2,00 rad/s

R = 5,00 m

|v| |a| (al tempo t = ^π⁄₂ω)

|v| = R · ω = 5,00 m · 2,00 rad/s = 10,0 m/s

|a| = ω² · R = (2,00 rad/s)² · 5,00 m = 20 m/s²

v(t = ^π⁄₂ω) = [ -R ωsin(2,00 rad/s · ^π⁄₂) ]i + [ R ω cos(2,00 rad/s · ^π⁄₂) ]j

v = 0 i + (-R ω)j = -10 m/s j

a = [ (-R ω² cos ωt )i - (R ω² sin ωt )j

es

_a = -g_j

a_x = 0 a_y = -g

posizione

_r(t=0) = 0 x(t=0) = 0 y(t=0) = 0

_V(t=0) = V_o cosθ _i + V_o sinθ _j

V_x = V_o cosθ V_y = V_o sinθ

velocità e traiettoria? conosco accelerazione faccio quindi integrale

da _a → _V lungo x e y

V_x = ∫₀^t a_x dt + V_o cosθ = V_o cosθ

V_y = ∫₀^t a_y dt + V_o sinθ = -gt + V_o sinθ

posizione

x = ∫₀^t V_x(t') dt' + 0 = (V_o cosθ) t

y = ∫₀^t V_y(t') dt' + 0 = -g t²/2 + (V_o sinθ)t

traiettoria

unisco x e y, togliendo il tempo

x = (V_o cosθ)t → t = x / V_o cosθ

y = -g t²/2 + (V_o sinθ)t

tutte queste sono le leggi orarie

y = -_g/^2V₀2cos2θ x² + _V0sinθ/^V₀cosθ x

y = -_g/^2V₀cos2θ x² + tgθx

è una parabola

disegno un generico vettore ̆ e ̆ e ̆̆ costantĕ è costante lunga alla traiettoria

ci si può chiedere

Quale è il punto in cui il sasso torna a terra?

Ponendo uguale a 0 la traiettoria percorrè tutta a terra

0 = -_g/^2V₀2cos2θ x² + tgθx

x = (-_g/^2V₀2cos2θ x + tgθ) | x ≠ 0

x = _gx/^2V₀2cos2θ + tgθ = 0

x = -2tgθ_{V0²cos²θ/^g}

x = 2_sinθ/_cosθ^V₀2cos2θg x = 2 sinθ cosθ _V0²/^g

x = sin(2θ) _V0²/^g

MOTO CURVILINEO VARIO

moto rettilineo vario ⇒

_v = dx(t)/dt

_a = d_v/dt

moto circolare uniforme ⇒

|_v| = costante

|_a| = v²/R

MOTO GENERICO

definisco la traiettoria e scelgo un punto

_v = lim_Δt→0 (_r(t+Δt)−_r(t))/Δt

Il vettore rispetto alla traiettoria tende alla tangente

La _v è tangente alla traiettoria in quel punto

_v = |_v| · ^v̂

^{versore velocità}

vettore con verso della velocità ma con modulo unitario

|^v̂| = 1

l'accelerazione

â = _dVv̂ / _dt + V _dv̂ / _dt

è ⊥ alla direzione di velocità

VARIAZIONE TANGENZIALE

derivata di vettore a modulo costante

|V| = √V_x² + V_y²

|V|² = V_x² + V_y² + V_z² → v̇ · v̇

ne deriva altro O pu nullore è costante

perciò v̂ e la sua derivata sono ⊥

V _dv̂ / _dt la derivata del versore è ⊥ al versore

l'accelerazione si scompone in tangenziale e normale

• â_tg = _dVv̂ / _dt
• â_n = ^V2 / _R n̂

â = â_tg + â_n

b sarà sempre verso l'interno

Casi limite

Moto circolare.

L'attrito è nullo, può esistere di v_t costante.

Se il tratto è rettilineo il raggio sarà ∞, più piccolo diventerà sempre più grande rispetto an v_t e a_o.

Es

Un punto compie moto circolare in senso orario, intorno all’origine degli assi, In un piano orizzontale dato R=20m. Disegnare il vettore accelerazione e determinare componenti e modulo nel punto: Dove il modulo della velocità v=10 m/s e

R = 20 m

In A

\( \frac{dv}{dt} = -3,5 \ \mathrm{m/s^2} \)

v = 10 m/s

\(\vec{a} = \vec{a_{tq}} + \vec{a_{n}} = -3,5 \ \mathrm{m/s^2} \hat{i} + \left(\frac{(10 \ \mathrm{m/s})^2}{20}\right) \hat{j} \)

\( = -3,5 \ \mathrm{m/s^2} \hat{i} + 5,0 \ \mathrm{m/s^2} \hat{j} \)

\(-3,5 \ \mathrm{m/s^2} \hat{i} + 5,0 \ \mathrm{m/s^2} \hat{j} \)

Lo scrivo in componenti

macchina in curva e percorre sempre con uguale

velocita' in modulo V = 30,0 m/s , R = 50 m

come disegno accel. in pkt qualsiasi ?

τ = τ_tan e τ_labn

τ = τ_tan + τ_n dove

dV/dt î + V²/R n̂

|V| = costante

quindi a_tg = 0

perche' velocita'

non varia

τ_tg = 0

τ_n = V²/R = (30,0 m/s)²/(50,0 m) = m²/s²

=> 18,0 m/s²

τ_n

raggiunge quella

della forza di gravita'

quindi si sente

Riferimento fisso e mobile

Voglio definire la posizione del pto P

Sist riferimfissomobile

\(\mathbf{r_{PO}}' = \mathbf{OO}' + \mathbf{r_{P0}'}\)

\(\mathbf{OO} = \mathbf{V_{O'}}'O\)

\(\mathbf{V_{PO}}' \ne \mathbf{V_{PO}'}\)

le velocità viste dai due riferim sono ≠

\(\mathbf{V_{PO}} = \mathbf{V_{PO}'} + \mathbf{V_{O'}O}\)

quindi: \(\mathbf{a_{PO}} = \mathbf{a_{PO}'}\)

\(\frac{d^2 \mathbf{r_{PO}}}{dt^2} = \frac{d \mathbf{v_{P0}'}}{dt}\)

2. noto che parte ... x -> velocità trovo rispetto

delle masse.

allora ->

Vipo = Vipoi + Vio

Vio = 5,0 m/s

Vipo' = -5,0 m/s

Il viaggiatore rispetto sistema riferim fimo ?

-3,0 î m + 5,0 î m = 0

fermo

es.

ciclista fermo tanto e freddo

Vipo = 0

come appare la velocità del vento quando il ciclista è in

movimento ? se Vio = -10 m/s

Vipo' = Vipo - Vio = -10 î m/s

è un movimento contrario

se ciclista parte Vipo = 10 m/s quando è fermo può

simulare alla stessa V del vento con se sente Vio = 0

Vento osservato in barca e in spiaggia

mare

\(\vec{V}_{0'} = 7,2 \, \text{m/s} \, \hat{j}\)

frana

\(\vec{V}_{p0} = 10 \, \text{m/s} \, \hat{i}\)

\(\vec{V}_{po'} = \vec{V}_{p0} - \vec{V}_{0'}\)

\(\vec{V}_{po'} = \vec{V}_{po} - \vec{V}_{0o}\)

\(\vec{V}_{po'} = 10 \, \text{m/s} \, \hat{i} - 7,2 \, \text{m/s} \, \hat{j}\)

scrittura analitica

\(\lVert \vec{V}_{po'} \rVert = \sqrt{(10 \, \text{m/s})^2 + (-7,2 \, \text{m/s})^2} = 12,3 \, \text{m/s}\)

\(\Theta = \text{arc\,tg}\left(\frac{10 \, \text{m/s}}{-7,2 \, \text{m/s}}\right) = -35,7^\circ\)

La barca attraversa un fiume che ha una corrente di

V_c=5,20 m/s. La barca punta verso nord e ha V=10 m/s

rispetto all'acqua

V.barca rispetto SR.fisso?

V_corrente=(molle)=V'₀=5,20 î m/s

V_barca(fisso)=10,0 ĵ m/s

V.barca S.R.fisso

V⃗_po

V⃗_po=V⃗_po' + V⃗'₀ = 5,20 î + 10,0 ĵ

|V⃗_po| =

Θ=arc tan (10,0/5,2) = 62,5°

trovare tempo che impiega per passare fiume (100m) e

di quanto si è spostata verso se fo?

V_X = V_₀

V_XO = 5,2 m/s

V_Y = V_Y₀

V_Y₀ = 10 m/s

i moti sono separati,

lungo x e y

integro x trova x e y

x = V_XO t

quanto impiega?

100 m = V_Y₀ t → 100 m = 10 m/s t

t = 100 m/10 m/s = 10 s