Misure meccaniche e termiche

|G|

questi descrivono come il segnale viene distorto (relativamente):

40 6.1. STRUMENTI DEL PRIMO ORDINE

Se si riportano i valori in scala logaritmica e per le ordinate si utilizzano i decibel, allora si possono

costruire i diagrammi di Bode con cui rappresentare il guadagno (gain) e lo sfasamento (phase shift):

spesso si definisce un range di dB e quando il guadagno esce inferiormente da questo intervallo si

±3

identifica la “frequenza di cutoff” , ossia la frequenza dopo la quale l’ampiezza dell’output non è più fedele

a quella dell’input (il sensore non ce la fa a stare dietro alle variazioni di ampiezza ad alta frequenza); la

stessa cosa si può fare per quanto riguarda lo sfasamento (il sensore non ce la fa a stare dietro alle alte

frequenze, quindi l’output è in ritardo rispetto all’input).

Per analizzare la risposta dinamica degli strumenti si utilizzano delle funzioni input di prova, ossia

(solitamente) la delta di Dirac , la funzione gradino di Heaviside e la funzione rampa :

δ(x) H(x) R(x)

per quel che vale, valgono le relazioni (x) = (x) = (facilmente verificabili anche ad occhio);

′′ ′

R H δ(x)

notiamo inoltre che dato che = 1 , se utilizziamo la delta di Dirac come input per il nostro

L[δ(t)](s)

sensore, allora la funzione di trasferimento = (s)/1 = (s) è equivalente alla trasformata di Laplace

G Y Y

del sistema (utile per facilitare i conti).

Gli strumenti di misura (dinamici) si caratterizzano tramite il loro “ordine”, dettato dal grado dell’equa-

zione differenziale che lega gli ingressi ai loro output (non è detto che l’equazione debba essere per forza

differenziale, in quel caso si ha a che fare con strumenti di ordine zero).

6.1 Strumenti del primo ordine

Gli strumenti del primo ordine sono descritti da equazioni differenziali del tipo = + , come esempio

y aẋ bx

ci rifaremo al termometro a contatto con una sorgente di calore. 41

CAPITOLO 6. TARATURA DINAMICA

Se sono soddisfatte le ipotesi per utilizzare il modello di scambio termico a “parametri concentrati”

(conviene riguardare gli appunti di fisica tecnica) allora la temperatura del termometro è descritta

dall’equazione: dT = )

∗ −

mc hA(T T

∞

dt

che si può risolvere ad esempio tramite separazione delle variabili per arrivare alla soluzione:

∗

mc

(t) = + (T ) exp [−(t )/τ ] dove =

− −

T T T t τ

∞ ∞

0 0 hA

si ma sperimentalmente come trovo il parametro (considerando che = 0 per semplicità)?

τ t 0

1. quando = la temperatura arriva ad un valore corrispondente a + 0.632∆T , quindi basta

t τ T T

0

misurare quanto ci mette il termometro ad arrivare quella particolare temperatura per avere un

idea del valore della costante di tempo;

2. calcolando si ottiene analiticamente la quantità ∆T , perciò stimando numericamente

dT /dt| /τ

t=0

la pendenza del grafico all’inizio del processo è possibile ricavare (invertendo la formula) la costante

di tempo;

3. partendo dalla soluzione dell’equazione differenziale si possono riordinare i termini secondo

−

t T T

∞

0

= ln −

τ T T

∞

dunque è possibile operare regressione lineare sui termini a destra per ottenere una funzione nella

forma = + , a questo punto il coefficiente approssima 1/τ e da qui si ricava la costante di

y mx q m

tempo.

42 6.2. STRUMENTI DEL SECONDO ORDINE

Analiticamente otteniamo la funzione di trasferimento trasformando secondo Laplace l’equazione differen-

ziale associata: dT (t)

= (t) (t) (s) (s) = (s) + (s)

L − −→

τ T T τ s T T T

∞ ∞

0

dt

dove (s) rappresenta il nostro output mentre (s) il nostro input , dunque:

T Y T X

∞

(s) 1

Y

= = =

···

G(s) 1 +

X(s) τs

per l’analisi in frequenza poniamo = Im(s) = , da cui ricaviamo:

s iω

1 1

= = arg(G) = arctan(2πf )

|G| −

G(iω) τ

1 + 2πif q

τ 2

(2πf ) + 1

τ

se imponiamo il solito intervallo di dB allora dB equivale ad avere

±3 −3 1 1

1 √

A input 2 =⇒ = =

= ≈ ←→

ω f

cutof f cutof f 2πτ

|G|

A τ

output

ciò che abbiamo fatto in questo caso è stato studiare la risposta del termometro ad una funzione “gradino”

normalizzata a ∆T .

6.2 Strumenti del secondo ordine

Gli strumenti del secondo ordine sono descritti da equazioni differenziali del tipo = + + , come

y aẍ bẋ rx

esempio ci rifaremo ai sistemi vibranti ad un grado di libertà (residuo); in generale l’equazione associata

ad un sistema massa-smorzatore-molla ha la forma + + = (t) .

mẍ rẋ kx F 43

CAPITOLO 6. TARATURA DINAMICA

6.2.1 Risposta nel tempo

6.2.1.1 Risposta alla funzione δ(t)

La risposta all’impulso coincide con l’imporre che (t) sia nulla (infatti la rappresenta una forza

F δ

istantanea iniziale, analiticamente basta risolvere l’equazione omogenea e porre appropriate condizioni al

contorno iniziali).

Si inizia risolvendo il polinomio caratteristico dell’equazione, trovando:

1

r p 2mk

+ + = 0 =⇒ =

2 2 −

− ± r

mλ rλ k λ 2m 2m

ora la “natura” della soluzione dipende dal comportamento del fattore sotto radice:

• se è positivo allora ci saranno due soluzioni reali distinte e la risposta nel tempo avrà

{λ } ∈

, λ R

1 2

la forma = + ;

λ t λ t

x(t) Ae Be

1 2

• se è nullo allora ci sarà una sola soluzione reale ed il sistema risponderà nel tempo come

∈

λ R

= + ;

λt λt

x(t) Ae Bte

• se è negativo allora ci saranno due soluzioni complesse distinte e la risposta sarà

{λ } ∈

, λ C

1 2

∗

= + (riscrivibile come armonica smorzata da un’esponenziale).

λt λ t

x(t) Ae Be

Possiamo definire la “frequenza naturale” come = , lo “smorzamento critico” = 2mω ed il

p

ω k/m r

cr

0 0

“fattore di smorzamento” = ; i tre casi precedentemente esposti equivalgono alle condizioni 1 ,

h r/r h >

cr

= 1 ( o anche = ) ed 1 ( ma comunque 0 ).

h r r h < h >

cr

44 6.2. STRUMENTI DEL SECONDO ORDINE

6.2.1.2 Risposta alla funzione H(t)

Se la forzante è unitaria (o costante nel caso più generale) allora la soluzione dell’equazione differenziale

sarà composta dalla soluzione omogenea (quella per l’impulso) sommata ad una soluzione particolare;

si può verificare che questo termine aggiuntivo deve valere = , dunque la risposta nel tempo è

x F /k

0

qualitativamente la stessa di prima ma alla fine la posizione si stabilizza su un valore diverso da 0.

Bisogna fare attenzione al fatto che il sistema “sovrasmorzato” non è il migliore, in quanto esso arriva

alla posizione finale più lentamente del sistema smorzato criticamente:

inoltre da una rappresentazione grafica si possono calcolare parametri come il “rise time” (quanto tempo

ci mette il segnale ad andare dal 10% al 90% del valore finale) ed il “settling time” (quanto tempo ci

vuole per raggiungere un valore uguale al 2% del valore finale).

± 45

CAPITOLO 6. TARATURA DINAMICA

6.2.1.3 Risposta alla funzione R(t)

La risposta alla rampa coincide con imporre la forzante e, per quanto questo test non viene mai

∝

F t

utilizzato, si nota che l’output segue “qualitativamente” l’input (in ritardo).

6.2.2 Risposta in frequenza

Iniziamo calcolando come prima la funzione di trasferimento:

d dy

2

y + + = (s) =⇒ (s) + (s) + (s) =

2

L m r ky x(t) ms Y rs Y k Y X(s)

dt dt

2

dove ho rinominato ed in ed per chiarire cosa rappresenta l’input e cosa l’output; da qui:

x F y x (s) 1

Y

= = =

···

G(s) + +

2

X(s) ms rs k

dunque passando alle frequenze (da trasformata di Laplace a trasformata di Fourier):

1 1

rω

= = arg(G) = arctan

|G| −

G(iω) +

2 2

q

− −

k mω irω k mω

2 2

(k ) + (rω)

2

− mω

si nota che quando (la frequenza, o meglio la pulsazione, della forzante) coincide con la frequenza naturale

ω

(si tratta sempre di una pulsazione) il denominatore di diminuisce molto, e ciò renderà l’ampiezza

|G|

ω

0

dell’output molto più grande di quella dell’input (risonanza); contemporaneamente il denominatore

dell’arcotangente in arg(G) si annullerà causando un ritardo notevole nell’acquisizione del segnale.

46 6.2. STRUMENTI DEL SECONDO ORDINE

La funzione di trasferimento appena studiata non è l’unica “utilizzabile” per ottenere informazioni sul

comportamento del sistema, infatti si possono definire anche: F

F F 0

0 0 la massa apparente

la rigidezza dinamica l’impedenza

X Ẋ Ẍ

0 0 0

Gli andamenti di ed arg(G) sono i responsabili della presenza di un intervallo di frequenze in cui il

|G|

segnale originale viene distorto dal processo di acquisizione, rendendo la sua analisi errata.

Se l’ingresso è armonico (e lo stiamo supponendo) allora sappiamo che anche l’uscita lo sarà; possiamo

dunque sostituire sia che con le rappresentazioni complesse (modulo e fasore) per riscrivere l’equazione

x F

differenziale come:

 (t) = iωt

F F e

 0

 =⇒ + + =

iωt iωt iωt iωt

2

−mω X e irωX e kX e F e

0 0 0 0

= iωt

x(t) X e



 0

da cui si nota che a frequenze basse il termine dominante è legato a , a frequenze alte il termine

k

dominante è legato ad ed esisterà, a frequenze intermedie, una situazione in cui il termine legato ad

m r

predominerà; in questi intervalli il sistema è detto rispettivamente nella regione “rigida”, nella regione di

“risonanza” e nella regione “sismografica” (si rimanda agli appunti di meccanica applicata alle macchine).

47

7

Misure di deformazione

Misurare le deformazioni è “comodo” (per quanto sia difficile farlo) perché