Mineralogia

COSTANTI CRISTALLOGRAFICHE

 rapporto parametrico fondamentale (a : b : c)

 ; )

angoli compresi tra gli assi cristallografici (;

In funzione delle costanti cristallografiche è possibile definire la GIACITURA di tutte le altre facce del cristallo,

cioè sapendo il rapporto parametrico e la faccia fondamentale posso sapere come sono orientate tutte le

altre facce del cristallo cioè posso sapere la giacitura.

Si consideri una qualsiasi altra faccia che intersechi gli assi cristallografici (x; y; z) staccando i parametri a’; b’;

c’. I segmenti a’, b’, c’ hanno lunghezza diversa da a, b, c.

I rapporti a/a’ ; b/b’; c/c’ tra i parametri della faccia fondamentale e quelli dell’ALTRA FACCIA considerata,

moltiplicati o divisi per uno stesso numero, possono essere trasformati (nei limiti degli errori sperimentali) in

TRE NUMERI INTERI, PICCOLI e PRIMI TRA LORO: h= a/a’ k=b/b’ l= c/c’

{h k l} definiscono in modo univoco la giacitura di una faccia; essi sono detti indici della faccia (indici di miller)

Per la FACCIA FONDAMENTALE, cioè quella che stacca sugli assi (x; y; z) i parametri a’ = a; b’ = b; c’ = c, i valori

di (h k l) (indici di Miller) saranno: (1 1 1) sempre.

h,k,l sono sempre numeri interi o razionali riconducibili a numeri interi detti INDICI DI MILLER. Se non sono

interi li divido per un numero che li renda tali. Sempre tra () (h,k,l) quando sono riferiti ad una faccia singola

; ; )

Le costanti cristallografiche [a : b : c; sono condizionate dalla presenza degli elementi di simmetria.

Per evitare che facce geometricamente e fisicamente equivalenti, messe in relazione dagli elementi di

simmetria ( alla stessa forma cristallina) siano rappresentate con ‘indici di Miller’ diversi (in valore assoluto),

gli ASSI CRISTALLOGRAFICI (x; y; z) e la FACCIA FONDAMENTALE {111} devono essere scelti in modo

opportuno, in relazione agli elementi di simmetria delle varie classi cristalline

Verifichiamo la fondatezza della Legge di Haüy: 

consideriamo la faccia fondamentale (111) e il rapporto parametrico fondamentale a : b : c. In questo caso

consideriamo il sistema cubico: a = b = c. I 3 parametri staccati dalla faccia fondamentale (a, b, c) sugli assi

cristallografici (x, y, z) hanno tutti la stessa lunghezza. es a= 2cm

CONSIDERIAMO UNA SECONDA FACCIA: che indici (hkl) avrà?

Occorre considerare i parametri (a’, b’, c’) da quest’ultima staccati sugli assi cristallografici (x, y, z).

La seconda faccia stacca il parametro a’ = 5 cm sull’asse delle x; b’ = infinito; c’= infinito, ed è parallela



all’asse delle y e a quello delle z i parametri su questi staccati sono = infinito

 

Legge di Hauy h= a/a’ k=b/b’ l= c/c’ h=2/5 =0,4 k=2/inf=0 l=2/inf=0

Quando ho 0 vuol dire che quella faccia è parallela agli assi cristallografici che corrispondono a quel h,k,l

come nel caso di prima la faccia era parallela a y e z cioè a quegli assi i cui indici di Miller corrispondono a 0.

es (0,1,0) (1,1,0) (1,0,0) (0,0,1)

Quando vengono intersecati dalla faccia i valori negativi sugli assi x,y,z li scrivo con meno sopra il numero.

Le parentesi graffe indicano la FORMA CRISTALLOGRAFICA = associazioni di facce equivalenti per elementi di

simmetria, cioè applicando ad una faccia gli elementi di simmetria posso determinare le altre.

MORFOLOGIA DI UN CRISTALLO

le facce di un cristallo che sono messe in relazione da determinati elementi di simmetria (riconducibili ad

una classe cristallina) sono fisicamente e geometricamente equivalenti; esse costituiscono un poliedro

hkl,

(aperto o chiuso) che prende il nome di forma cristallina. una forma è rappresentata dal simbolo dove

‘h’, ‘k’, ‘l’ sono gli indici di Miller di una sua faccia.

FORMA CRISTALLINA: insieme delle facce geometricamente e fisicamente equivalenti, messe in relazione da

determinati elementi di simmetria (che vanno a costituire un poliedro). Devo inoltre specificare la

MOLTEPLICITA’ cioè il numero di facce equivalenti che costituiscono la forma (6 nel cubo, 8 nell’ottaedro),

essa dipende dagli elementi di simmetria presenti.

 

FORMA GENERALE le facce sono in posizione generica rispetto agli elementi di simmetria. La

molteplicità è massima (rispetto alla classe cristallina). E’ la forma cristallina corrispondente, per

ciascuna classe, al simbolo {hkl}.

(p. es. piramide per la classe 4).



• FORMA SPECIALE le facce sono perpendicolari a (cioè ‘contengono’) un elemento di simmetria (o

hanno un’orientazione particolare rispetto agli assi). La molteplicità è ridotta.

Simbolo {hkl} Es. il cubo {100}, il romboedro {10 ¯ 11} (perché, nell’ultimo caso, gli indici sono quattro???).

Data la faccia (100) del cubo, ne esistono altre cinque equivalenti per un totale di sei, che costituiscono la

forma generale di simbolo {100} (dove h=1; k=0; l=0)

La forma risultante dipende da:

gruppo puntuale

- posizione della faccia

-

e hanno nomi specifici (p. es. prisma, piramide, tetraedro)

L’aspetto morfologico dei cristalli naturali risulta (di solito) dalla combinazione di più di una forma.

Esistono forme aperte e forme chiuse (la parte interna del cristallo è delimitata). Esistono forme generali

{hkl} e speciali; p. es. {100}, {hhl}. Gli indici hkl di una faccia (la più semplice) vengono assegnati come

notazione.

 PEDIONE: faccia singola. Sono cristalli che hanno come unico elemento di simmetria l’asse di

rotazione 1 e ha molteplicità 1

 PINACOIDE: insieme di 2 facce legate (in relazione con) da un centro di inversione, il cristallo ha

molteplicità 2. Attenzione “i” posso anche indicarlo con 1 con il meno sopra (asse rotoinversione)

 SFENOIDE: insieme di 2 facce legate da una digira

 DOMA: insieme di 2 facce legate da un piano di riflessione m

 PRISMA: insieme di “n” (4) facce legate da digira e piano m

La morfologia di un cristallo dipende dal numero e dallo sviluppo delle facce che lo delimitano (vedi

immagine):

In condizioni ideali di cristallizzazione, cioè in un ambiente che non ha permesso la formazione di

deformazioni ovvero le facce hanno la stessa estensione areale, (crescita del cristallo):

• Facce appartenenti a forme diverse hanno sviluppo diverso (e morfologia differente);

• Facce appartenenti alla stessa forma hanno ugual sviluppo (ed ugual morfologia)

Se le condizioni di cristallizzazione NON sono ideali, anche facce appartenenti alla stessa forma possono

presentare sviluppi differenti. Se c’è deformazione l’angolo tra le facce rimane invariato

3 ottaedri:

solo il 1° corrisponde a condizioni ideali di

cristallizzazione. La simmetria negli altri risulta

‘mascherata’

Lo sviluppo più o meno esteso delle facce NON modifica la direzione delle relative normali. La SIMMETRIA

MORFOLOGICA di un cristallo può essere perciò rappresentata dalle DIREZIONI DELLE NORMALI ALLE SUE

FACCE. PROIEZIONE SFERICA

La GIACITURA delle facce di un cristallo può essere rappresentata in 3D mediante i PUNTI DI INTERSEZIONE

delle NORMALI ALLE FACCE (POLI DELLE FACCE) con una SFERA IDEALE, circoscritta al cristallo stesso.

L’orientazione delle facce rispetto alla terna si può rappresentare in 3D tracciando la normale di ogni faccia,

la quale si intersecherà con una sfera ideale.

PROIEZIONE STEREOGRAFICA

Partendo dalla PROIEZIONE SFERICA (3D), una rappresentazione bidimensionale della GIACITURA DELLE

FACCE di un cristallo può essere ottenuta per mezzo della proiezione stereografica.

Questa permette di mantenere inalterati i valori angolari fra le facce, pur perdendosi l’informazione

sull’estensione delle facce stesse (che tuttavia, in cristallografia morfologica, NON ha rilevanza).

Proiezione sferica proiezione stereografica

Metodo per proiettare un punto situato sulla superficie di una sfera (P) sul piano equatoriale della sfera

stessa (P’) N

1. Si divida la sfera in due emisferi.

2. La linea NS è perpendicolare al piano equatoriale ed interseca la sfera in

2 punti: il polo superiore (Nord) N e il polo inferiore (Sud) S.

3. Un punto qualsiasi (P) sulla superficie dell’emisfero superiore può essere

‘proiettato’ sul piano equatoriale attraverso una linea che unisca il punto

stesso (P) con il polo Sud (emisfero inferiore)linea P-S. L’intersezione



della linea P-S con il piano equatoriale è rappresentata dal punto P’

POLO DEL PUNTO P S

Un cerchio principale può essere trasferito ripetendo la stessa operazione con ogni punto del cerchio.

… dalla proiezione sferica a quella stereografica

1. Una forma geometrica (cristallo) può essere rappresentata dalle proiezioni dei

poli delle facce che la compongono (proiez. sferica). Il POLO di una faccia (in

proiezione sferica) si ottiene dall’intersezione tra la NORMALE alla faccia

(passante per il CENTRO del cristallo) e la SUPERFICIE della SFERA (che inscrive il

cristallo stesso)

2. Ciascun polo di faccia (rappresentato sull’emisfero superiore) può essere

proiettato sul cerchio equatoriale unendolo con il Polo Sud (S), secondo

quanto visto prima (proiezione stereografica)

3. Sul piano equatoriale compare così un semplice diagramma, questo

rappresenta la proiezione stereografica di una o più forme geometriche

complesse

Ciascuna faccia di un cristallo può essere rappresentata dal

POLO della FACCIA:

• se il polo della faccia si trova nell’emisfero superiore, la sua proiezione sul cerchio equatoriale sarà

l’intersezione della linea congiungente il polo della faccia stesso ed il ‘Polo Sud’. Il simbolo è una

croce.

• Se il polo della faccia è nell’emisfero inferiore, lo si unirà al ‘Polo Nord’: l’intersezione con il cerchio

equatoriale rappresenta il suo polo in proiezione stereografica. Simbolo: cerchio.  

La posizione di ciascun polo di faccia, nel cerchio di proiezione, viene definita attraverso due angoli: e

Polo della faccia esattamente sul

cerchio equatoriale: la relativa

proiezione rimane immutata (per

convenzione, si usa una ‘croce’)

SIMMETRIA DEI CRISTALLI

Le 32 Classi Cristalline possono essere raggruppate in 7 (sette) SISTEMI CRISTALLINI:

Triclino;

- Monoclino;

- Ortorombico;

- Tetragonale;

- Trigonale;

- Esagonale;

- Cubico

-

5 e 6 spesso ‘unificati’ nella ‘letteratura’ americana (avendo le stesse costanti cristallografiche)

Ciascun SISTEMA CRISTALLINO comprende un certo numero di classi cristalline, che possono essere riferite

allo stesso tipo di COSTANTI CRISTALLOGRA