Metodo di Newton-Raphson

METODO DELLE TANGENTI DI NEWTON RAPHSON

METODO DELLE TANGENTI DI NEWTON-RAPHSON

Il metodo delle tangenti di Newton-Raphson è un metodo di analisi numerica che può essere

impiegato per individuare per quale valore di x risulta f(x)=0 (ossia, per trovare quel determinato

valore di x per cui la funzione interseca l’asse delle ascisse)

APPLICAZIONE ALLA MATEMATICA FINANZIARIA

In matematica finanziaria il metodo di Newton-Raphson viene utilizzato per calcolare il tasso

unitario di interesse di una rendita, data la rata e il montante, oppure data la rata e il valore

attuale.

Di seguito, l’analisi dell’applicazione del metodo si riferisce a rendite con rate posticipate e costanti

(ammortamento di tipo francese).

Anzitutto è bene ricordare le formule per il calcolo del montante e del valore attuale nel caso di

rendita con rate costanti e posticipate:

A questo punto dobbiamo costruire una funzione artificiale g(i), traslando le seguenti o del

montante o del valore attuale.

Graficamente potremo visualizzare due funzioni come le seguenti (ricordando che rappresentiamo

i sull’asse delle ascisse e g(i) sull’asse delle ordinate, e che noi cerchiamo il valore i ).

Analizziamo ora le condizioni che la funzione g(i) deve rispettare affinché il metodo di Newton-

Raphson sia applicabile.

NEL CASO DI MONTANTE

1. g(i) deve essere monotona non decrescente

2. g(i) deve essere derivabile due volte

3. La derivata prima e la derivata seconda devono avere segno concorde, ovvero essere

entrambe positive

4. g(0) deve essere negativa

NEL CASO DI VALORE ATTUALE

1. g(i) deve essere monotona non crescente;

2. g(i) deve essere derivabile due volte

3. La derivata prima e la derivata seconda devono avere segno concorde, ovvero essere

entrambe negative

4. g(0) deve essere positiva

Per entrambi i casi è richiesto che la funzione sia definita in un intervallo compatto (ossia chiuso e

[, ] () ∙ () < 0,

limitato) tale per cui è verificato il teorema degli zeri, ossia al fine di

garantire l’esistenza di almeno un punto in cui g(i)=0. Tale valore di i sarà proprio i.

Il metodo di newton identifica tutti quei valori di i a partire dal tasso tentativo a (estremo inferiore

dell’insieme di definizione) tali per cui essi siano individuati sull’asse i (pertanto g(i)=0) partendo

dalla tangente alla funzione g(i) individuata nel punto di ascisse pari al tasso i precedente.

La formula di newton si presenta pertanto come descrittrice di una successione di tassi individuati

di volta in volta sull’asse i, tramite la tangente alla funzione g(i) determinata dall’ascissa (tasso)

precedente.

La ricerca del tasso si conclude quando applicando la formula di newton si ha un tasso ricorrente,

che è appunto i.

FORMULA DI NEWTON: