Metodi numerici per l'ingegneria - Modulo 1

Corso: Metodi numerici per l'ingegneria civile - Modulo 1

Approssimazione di dati e funzioni

By Michele Ruggeri

(Cap. 3)Problema 3.1, Climatologia. La temperatura dell’aria in prossimità del suolodipende dalla concentrazione K dell’acido carbonico (H₂CO₃). In particolare, inTabella 3.1 (tratta da Philosophical Magazine 41, 237 (1896)) vengonoriportate, in corrispondenza di 4 diversi valori di K (e per diverselatitudini) le variazioni δ_K = θ_K - θ_K della temperatura media che si avrebberonel globo rispetto alla temperatura media corrispondente ad un valore diriferimento K di K. Qui K rappresenta il valore misurato nel 1896 ed ènormalizzato a 1.

In questo caso possiamo costruire una funzione che, sulla base dei datidisponibili, fornisce un’approssimazione dei valori della temperatura mediaper ogni possibile latitudine e per altri valori di K. La raccolta di datinella tabella ci mostra una funzione che lega la latitudine alla variazione ditemperatura fissato K (concentrazione), quindi ci deve essere un modellomatematico alla base da costruire partendo dai dati, in modo da trovare unafunzione che sia in grado di costruire la dipendenza che c’è tra i dati,cercando di trovare un valore che sia simile a quello dei dati e stimare poiquale sia l’errore.

Corso: Metodi numerici per l'ingegneria civile - Modulo 1

Approssimazione di dati e funzioni

(Cap.3)Problema 3.1, Climatologia. La temperatura dell’aria in prossimità del suolo dipende dalla concentrazione K dell’acido carbonico (H₂CO₃). In particolare, in Tabella 3.1 (tratta da Philosophical Magazine 41, 237 (1896)) vengono riportate, in corrispondenza di 4 diversi valori di K (e per diverse latitudini) le variazioni δ_K = θ_K − θ_K della temperatura media che si avrebbero nel globo rispetto alla temperatura media corrispondente ad un valore di riferimento K di K. Qui K rappresenta il valore misurato nel 1896 ed è normalizzato a 1.

In questo caso possiamo costruire una funzione che, sulla base dei dati disponibili, fornisce un’approssimazione dei valori della temperatura media per ogni possibile latitudine e per altri valori di K. La raccolta di dati nella tabella ci mostra una funzione che lega la latitudine alla variazione di temperatura fissato K (concentrazione), quindi ci deve essere un modello matematico alla base da costruire partendo dai dati, in modo da trovare una funzione che sia in grado di costruire la dipendenza che c’è tra i dati, cercando di trovare un valore che sia simile a quello dei dati e stimare poi quale sia l’errore.

Considerando un numero:

n = 0,1,2,...

Δn = {(x₀,y₀), (x₁,y₁),...,(x_n,y_n)}

• Δn = insieme di dati costituito da n + 1 coppie di punti in ℝ²
• x_i = nodi dati da punti distinti (x_i ≠ x_j se i ≠ j)

Problema di interpolazione

Il problema principale è trovare una funzione semplice:

f̅: ℝ → ℝ

Tale che:

y_i = f(x_i) ∀ i = 0,...,n

Una tale funzione se esiste viene detta interpolatore dell’insieme di dati Δn

Se y_i = f(x_i), funzione che non conosciamo che mostra la dipendenza di questi valore, allora f̅ costruito può essere interpretato come un'approssimazione di f

Con un insieme di punti (4) di questo tipo si ha n = 3←n + 1 = 4, esistono infinite funzioni che descrivono questi punti.

Le funzioni utilizzate sono polinomi, funzioni matematiche semplici ma molto accurati → interpolazione polinomiale

Teorema di Weierstrass

Sia f:[a,b] → ℝ continua ⇒ ∀ε < 0, esiste un polinomio Π tale che |f(x)−Π(x)| < ε ∀x ∈ [a,b].

Questo teorema ci risulta utile perché ci dice che i polinomi possono approssimare una funzione in modo da avere un errore minimo o comunque piccolo quanto vogliamo, ma non ci aiuta nel capire come si costruisce tale polinomio.

Teorema di Taylor.

k = 1,2,... f: [a,b] → ℝ e c ∈ (a,b) tale che f sia differenziabile k volte in c, allora vale che:

f(x) = f(c) + f'(c)(x-c) + f''(c)/2 (x-c)² + ... + f^k(c)/k! (x-c)^k + h_k(x)(x-c)^k

Dove lim_x→ch_k(x) = 0.

Anche questo è utile ma non viene quasi mai utilizzato perché funziona se f è molto regolare, quindi se esistono molte derivate e in più è un approssimazione locale quindi l'errore va a zero solo vicino al punto c.

Problema di interpolazione polinomiale

Sia n = 0,1,2,... con Δn = {(x₀,y₀), ...,(x_n,y_n)}, insieme di dati x_i distinti e bisogna trovare Π_n ∈ P_n = {polinomio di grado ≤ n} tale che y_i = Π_n(x_i) ∀i = 0,...,n → condizione di interpolazione

Teorema.

Se esiste il polinomio Π_n è unico.

Dimostrazione per assurdo.

Supponiamo di avere due polinomi che soddisfano le condizioni di interpolazione Π_n è ˜Π_n.

d_n = Π_n - ˜Π_n ∈ P_n

d_n(x_i) = Π_n(x_i) - ˜Π_n(x_i) = y_i - y_i = 0 ∀i = 0,...,n

⇒ d_n è un polinomio di grado ≤ n che si annulla in n + 1 punti ⇒ d_n = 0 perché per ottenere questi valori il polinomio può solo essere un polinomio nullo.

Esempio.

n = 2 Δ2 = {(-1,6),(1,6),(2,9)}

Cerchiano Π₂ ∈ P₂ utilizzando la base binomiale

Π₂(x) = c₀ + c₁x + c₂x² per certi c₀,c₁,c₂ ∈ ℝ e si ottengono tutti i polinomi possibili.

Imponiamo, a questo punto le condizioni di interpolazione:

y_i = f(x_i) ∀i = 0,1,2