Meccanica dei materiali

MECCANICA DEI

MATERIALI

A cura di Matteo Rotundo

INTRODUZIONE AL CORSO

PREVIEW MACROARGOMENTI DEL CORSO (introduzione, non necessario imparare)

ANALISI CINEMATICA

La cinematica è la disciplina che studia i movimenti di un corpo (come un corpo si muove).

Nel corso però verranno trattati corpi che non si muovono (sembra paradossale): l’obiettivo

di quest’analisi cinematica è la classificazione delle “strutture”.

Le strutture si intendono come insiemi di parti necessarie a sostenere dei carichi, la si

intende come un sottoinsieme dei sistemi meccanici progettati per sopportare dei carichi.

Affinché possa avvenire la classificazione delle strutture è necessario definire alcuni

concetti basilari:

• Punto materiale (I livello di astrazione)

È possibile trattare un oggetto come un punto quando l’estensione fisica reale del

componente non ha influenza sullo studio di tale componente.

• Corpo rigido (livello di astrazione basilare)

È un oggetto che ha un’estensione fisica (possibilmente semplificata rispetto

l’oggetto reale, e quindi privata dei dettagli irrilevanti per l’analisi presa in

considerazione).

Si parla di rigidezza perché il corpo non si può deformare (il corpo reale in realtà è

deformabile, ma quest’ultimo sarà oggetto di interesse solo quando si parlerà di

Tensioni e Deformazioni.

EQUILIBRIO

Si iniziano a definire una serie di grandezze, cioè forze applicate alla struttura

(rappresentazioni delle sollecitazioni che deve sopportare la struttura): si parla quindi di

schema di forze.

A fronte delle forze applicate/attive, nascono delle forze reattive (quelle che per reazioni

sono generate da un vincolo)

L’obiettivo di questa sezione è il calcolo delle forze reattive.

FORZE INTERNE

Le forze attive (applicate) si scaricano sui vincoli, ma prima di arrivare sui vincoli si

distribuiscono all’interno della struttura.

Una volta calcolate forze attive e reattive, è necessario conoscere come queste forze

passano all’interno della struttura.

Per questo si parla di forze interne.

L’obiettivo è calcolare come le forze si distribuiscono (fluiscono) all’interno della struttura.

TENSIONI E DEFORMAZIONI

Tutti i corpi in realtà sono deformabili.

Tensione e deformazione sono due facce della stessa medaglia: la tensione è una forza

interna calcolata per unità di superficie che determina la resistenza o la rottura di una

struttura mentre la deformazione corrisponde a delle determinate tensioni.

CRITERI DI RESISTENZA

L’obiettivo finale è quello di comprendere se le tensioni e deformazioni sono compatibili

con l’obiettivo di progetto.

Progettazione, in questo caso, vuol dire dimensionamento strutturale (dimensionare a

seconda delle conoscenze su forze interne ecc…).

Si parla anche di verifica. ANALISI

CINEMATICA

ANALISI CINEMATICA

1-CONCETTI BASILARI

1.1-PUNTO MATERIALE

Un punto materiale è un corpo privo di estensione fisica.

È un’astrazione molto forte che viene assunta quando l’estensione fisica non ha influenza

sul problema che è oggetto di studio.

Generalmente il punto materiale coincide con un punto caratteristico del corpo, che

potrebbe essere il baricentro (per un corpo reale).

1.2-GRADI DI LIBERTA’ DI UN SISTEMA

()

I gradi di libertà sono i parametri necessari per identificare la posizione del corpo.

, ,

Per esempio, i gradi di libertà di un punto materiale sono le tre coordinate

= 3

Se il punto non è vincolato in alcun modo, allora esso si può muovere lungo tre direzioni

differenti (ha tre gradi di libertà).

1.3-GRADI DI VINCOLO

Un corpo o un punto si dicono vincolati se perdono uno o più gradi di libertà.

()

I gradi di vincolo sono i gradi di libertà persi.

Nell’esempio del punto materiale, si supponga che il punto sia vincolato a muoversi sul

.

piano = 2 = 1

Un grado di liberà è soppresso dal vincolo

Si prenda quest’altro esempio in cui si suppone che il punto sia vincolato a muoversi lungo

una linea: = 1 ) =

In questo caso i (l’ascissa curvilinea

= 2 Per un punto materiale, quindi, vale la seguente relazione:

+ =

1.4-DEFINIZIONE DI ANALISI CINEMATICA

L’analisi cinematica è un bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo

1.5-CORPO RIGIDO

Il Corpo Rigido è un corpo che ha un’estensione fisica ma viene assunto come non

deformabile.

In realtà tutti i corpi, per quanto rigidi possano essere considerati, in realtà se soggetti a

sollecitazioni meccaniche si deformano.

Si potrebbe fare un esempio di corpo rigido con una ruota di un vagone ferroviario. Siano

il centro di questa ruota e e due punti sulla ruota.

1 2

Un corpo si dice rigido quando la posizione relativa tra due punti qualsiasi all’interno del

corpo non cambia.

Il concetto di rigidità quantifica la capacità di una struttura ad opporsi alla deformazione.

Il diamante è il materiale più rigido.

La deformazione elastica è reversibile: non danneggia il materiale.

GRADI DI LIBERTA’ DI UN CORPO RIGIDO :

I gradi di libertà di un corpo rigido non vincolato sono le tre coordinate del baricentro (o

di un altro punto caratteristico del corpo) che essendo un punto non subisce rotazione, e

altre tre coordinate, che è necessario specificare in quanto il corpo potrebbe ruotare

attorno al punto caratteristico in 3 differenti direzioni (intorno ai tre assi).

Ad esempio, le altre tre coordinate potrebbero essere gli angoli di rotazione del corpo

rispetto agli assi. = 6

GRADI DI VINCOLO DI UN CORPO RIGIDO

Un corpo rigido si dice vincolato quando perde dei gradi di libertà.

Anche questa volta i gradi di vincolo sono i gradi di libertà persi.

Supponiamo che un corpo rigido sia vincolato a muoversi in un piano (detto corpo rigido

piano):

I parametri necessari a identificare la posizione del corpo sono le due coordinate del

baricentro sul piano e poi una terza coordinata dovuta al fatto che il corpo può sempre

;

ruotare attorno all’asse schematizzando la situazione sul piano si comprende meglio:

= , , = 3

Le rotazioni lungo e non sono permesse (in quanto il piano è vincolato proprio al piano

),

così come non può avvenire lo spostamento lungo l’asse

= , , = 3

Quindi

2-I VINCOLI

2.1-IL CONCETTO DI VINCOLO

Un vincolo è un’entità che elimina gradi di libertà.

VINCOLI SEMPLICI

Sono vincoli che agiscono in maniera semplice e puntuale su una struttura.

Essi limitano uno spostamento di un’entità rispetto un’altra entità e agiscono tra l’elemento

strutturale e la Terra, elemento particolare che si assume essere fisso.

Un esempio notevole di vincolo semplice è la Cerniera a Terra.

Si prenda un corpo rigido che viene rappresentato come un oggetto rettilineo in cui una

dimensione è preponderante rispetto alle altre (in questo caso la lunghezza): per

convenzione lo si indicherà con una linea, che sta ad indicare che la dimensione della

trasversale rispetto alla lunghezza del corpo è trascurabile.

La cerniera si rappresenta in questo modo: un triangolino con un pallino sopra e un corpo

rigido collegato (il simbolo della s rovesciata significa che non è d’interesse rappresentare

quello che c’è dopo):

Un esempio di cerniera è l’oggetto che rende solidale la porta con il telaio (che è solidale al

muro).

Se il corpo fosse privo di vincoli avrebbe tre gradi di libertà:

Disegnando la cerniera si indica che il pallino tiene fermo il punto in cui è ancorato:

L’unico possibile spostamento che rimane è l’angolo di rotazione. La cerniera a terra

introduce quindi due gradi di vincolo. Siano e gli spostamenti lungo i due assi e

= 2 = , = 1 =

Si dice cerniera a terra perché la terra è il riferimento che si sfrutta per l’analisi, è un altro

corpo che viene immaginato fisso. Questa cerniera vincola il corpo a ruotare intorno ad un

sistema che si assume essere fisso (la terra).

Un altro esempio notevole di vincolo semplice è il Carrello a Terra.

,

Il carrello a terra permette rotazioni attorno al punto spostamenti lungo ma

impedisce spostamenti lungo .

In generale il carrello impedisce spostamenti sull’asse ortogonale rispetto a quello su cui

deve scorrere. = 2 = , =

In questo caso:

Un altro esempio di vincolo semplice è il Pattino o Doppio Pendolo.

Lo spostamento non è permesso, così come non è permessa la rotazione .

È possibile solamente uno spostamento traslazionale:

= 1 = = 2 = ,

Un altro esempio di vincolo semplice è l’Incastro a Terra: esso elimina tutti i vincoli di

libertà. = 0 = 3

VINCOLI COMBINATI

Si parla di vincoli combinati quando su un corpo agiscono contestualmente più vincoli

semplici.

3-ANALISI CINEMATICA

3.1-CLASSIFICAZIONE DELLE STRUTTURE: ANALISI CINEMATICA

Sui vincoli combinati in un corpo si esegue l’analisi cinematica, che consta dei seguenti

passaggi:

1. Calcolo dei dell’oggetto privo di vincoli: si parte dall’ipotesi che non ci siano

vincoli e ci si chiede quanti avrebbe il corpo

2. Calcolo dei introdotti dai vincoli: si sommano per ogni singolo vincolo

3. Si esegue il bilancio tra gradi di libertà (senza vincoli) e gradi di vincoli:

> 0 → ò

= 0 → ò

− = = {

< 0 → ò

ℎ ù

()

> 0

= {

= 0 ∗→

< 0

*La condizione di isostaticità sopra esposta rappresenta una condizione necessaria

ma non sufficiente: potrebbe succedere che i vincoli siano posti in maniera tale da

non soddisfare il requisito di isostaticità. = 0,

Affinché il sistema sia isostatico, oltre al fatto che i vincoli devono essere

ben posti.

Si precisa che la meccanica dei materiali è basata su piccoli spostamenti: quando si terranno

in considerazione gli spostamenti, questi si assumono come piccoli.

3.1-ANALISI CINEMATICA DI UN CORPO RIGIDO PIANO

ESEMPIO #1 (Trave appoggiata) = 3 = 2 + 1 = 0

Sul singolo corpo agiscono due vincoli e in questo caso

,

La cerniera in permette solo rotazioni intorno ad ma tale rotazione è impedita dal

:

carrello in il sistema non permette alcuno spostamento.

Il sistema è isostatico.

ESEMPIO #2 ( = 0 = 3)

Tale configurazione è la medesima dell’esempio precedente e ma

non è un sistema isostatico.

Ruotando l’oggetto di un angolo è possibile il piccolo spostamento verticale. La cerniera

lascia quindi questa labilità dello spostamento verticale.

Il sistema è labile.

3.3-ANALISI CINEMATICA DI UN INSIEME DI CORPI RIGIDI PIANI ( CORPI RIGIDI)

In questa tipologia di analisi è necessario introdurre un’altra tipologia di vincoli.

VINCOLI INTERNI

Sono i vincoli che non limitano più lo spostamento rispetto la terra, ma limitano lo

spostamento relativo tra più corpi.

Un esempio di vincolo interno è la Cerniera Interna (o Mobile).

È una cerniera non vincolata a terra, è una cerniera interna tra due corpi.

È mobile, si può spostare, non è vincolata a terra.

Su questo tipo di cerniera possono confluire corpi:

3.

I del sistema composto da corpi rigidi, assunto privo di vincoli, sono

I prevedono sicuramente le rotazioni di ciascun corpo intorno alla cerniera ma

2

anche le coordinate legate alla posizione della cerniera, che è libera di muoversi e quindi

= 2 + .

(2

= − = 3 − + ) = 2( − 1)

I si intuiscono analiticamente come

Un altro esempio è la Cerniera a Terra con corpi.

La Cerniera a Terra è sia un vincolo esterno (è un vincolo che limita lo spostamento rispetto

la terra) che interno (è un vincolo che limita lo spostamento tra i corpi).

3.

I del sistema composto da corpi rigidi, assunto privo di vincoli, sono

I prevedono sicuramente le rotazioni di ciascun corpo intorno alla cerniera, che è

fissa e quindi non può spostarsi.

= − = 3 − = 2

I si intuiscono analiticamente come

Un altro esempio è il Carrello a Terra con corpi.

3.

I del sistema composto da corpi rigidi, assunto privo di vincoli, sono

I prevedono sicuramente le rotazioni di ciascun corpo intorno al carrello, più il

= + 1

grado di libertà dello spostamento traslazionale, quindi (

= − = 3 − + 1) = 2 + 1

I si intuiscono analiticamente come

Un altro esempio è il Doppio Pendolo Interno.

Questo vincolo impedisce gli spostamenti interni: impedisce che gli oggetti si possano

(∆ = 0 ∆ = 0),

allontanare nella direzione dell’asse orizzontale e che possano ruotare

mentre essi si possono spostare nella direzione verticale.

= 2

Analogamente a quanto visto precedentemente…

Sui sistemi composti da corpi rigidi si esegue l’analisi cinematica, che consta dei seguenti

passaggi:

1. Calcolo dei del sistema privo di vincoli: si parte dall’ipotesi che non ci siano

(3)

vincoli e ci si chiede quanti avrebbe il sistema

2. Calcolo dei introdotti dai vincoli: si sommano per ogni singolo vincolo

3. Si esegue il bilancio tra gradi di libertà (senza vincoli) e gradi di vincoli:

> 0 → ò

= 0 → ò

− = = {

< 0 → ò

ℎ ù

()

> 0

= {

= 0 ∗→

< 0

*La condizione di isostaticità sopra esposta rappresenta una condizione necessaria

ma non sufficiente: potrebbe succedere che i vincoli siano posti in maniera tale da

non soddisfare il requisito di isostaticità. = 0,

Affinché il sistema sia isostatico, oltre al fatto che i vincoli devono essere

ben posti.

ESEMPIO #1 (Arco a tre cerniere)

= 3 ∙ 2 = 6

Dato che si hanno due corpi i

Si hanno le due cerniere a terra che introducono due gradi di vincolo e una cerniera mobile

2( − 1) = 2(2 − 1) = 2

che introduce gradi di vincolo.

= 2 + 2 + 2 = 6

− = 6 − 6 = 0

La struttura è isostatica.

Provando a effettuare questo spostamento angolare, seguirebbe uno spostamento di che

però non è compatibile con il resto della struttura (comporterebbe una compressione del

corpo 2 (che non è comprimibile perché è un corpo rigido).

ESEMPIO #2 = 3 ∙ 2 = 6 = 2 + 2 + 2 = 6 − = 0

In questo caso

La struttura sembrerebbe essere isostatica per il calcolo analitico ma in realtà non lo è!

Provando a fare una piccola rotazione di questa è permessa: in teoria se lo spostamento

non fosse piccolo la cerniera mobile si dovrebbe spostare lungo un arco di circonferenza,

ma dato che lo spostamento è piccolo, lo spostamento di è tutto verticale.

Il sistema è labile.

ESEMPIO #3 = 3 ∙ 3 = 9

: 2

: 2(3 &minu