Meccanica dei materiali

5-CALCOLO DELLO STATO TENSIONALE GENERATO DALLE SOLLECITAZIONI

Definito lo stato tensionale, in questa sezione n.5 vedremo metodi che permettono di

calcolare lo stato tensionale e lo stato di deformazione.

5.1-LA TEORIA DI SAINT VENANT

Quanto segue è stato già osservato nei capitoli precedenti.

Saint Venant elaborò una teoria, tuttora utilizzata nel campo della meccanica delle

strutture, che sancisce la condizione secondo cui lo stato tensionale che si genera in una

struttura, nelle zone sufficientemente distanti ai punti di applicazione di vincoli e carichi,

diventa indipendente da come carichi e vincoli sono applicati.

Si consideri una piastrina piatta ancorata a terra con un’asola all’estremità, in

.

corrispondenza della quale si applica una forza

Questo sarà quindi un oggetto soggetto a trazione, sforzo assiale.

Immaginiamo di avere una griglia su quest’oggetto che, applicata la forza si allungherà ma si

contrarrà anche trasversalmente (non nella parte ancorata a terra, dove l’assottigliamento

è impedito). L’asola diventerà ellittica.

Nelle zone evidenziate, un elementino che prima era quadrato (nella figura a sinistra), ora

diventa distorto, e questo per via di uno stato tensionale complesso in cui ci saranno

tensioni normali e tangenziali lungo più direzioni.

In particolare, nella parte di sotto l’elementino quadrato è diventato una sorta di

parallelogramma e ciò è indice del fatto che in quella zona inferiore ci saranno anche

.

scorrimenti, ci sono anche e quindi anche

A sufficiente distanza dai punti di applicazione di vincoli e carichi, nella parte centrale

evidenziata in rosso, il quadratino diventa un rettangolino: lo stato di sollecitazione è

molto più semplice perché è indipendente da come vincoli e carichi sono applicati.

D’ora in poi le tensioni e le deformazioni che saranno calcolate varranno ad una distanza

(),

sufficiente dai punti di applicazione di vincoli e carichi sotto l’ipotesi di Saint Venant. Ad

1 10 ,

esempio se si ha una trave lunga con una sezione trasversale di la teoria di Saint

10 80

Venant vale da in poi (e quindi negli centrali).

5.2-CALCOLO STATO TENSIONALE E DEFORMAZIONI INDOTTE SFORZO ASSIALE

Consideriamo un’asta generale a sezione variabile lunga alla quale sono applicate due

forze assiali concentrate e ma si ha anche una forza distribuita lungo la direzione

1 2

().

assiale

Ci chiediamo quanto valgono tensione e deformazione su quest’oggetto che ha un’area che

varia tra e :

1 2

, ()

Ad un’ascissa si considera un pezzettino di area trasversale e calcoliamo lo

sforzo assiale con il metodo delle sezioni (si taglia e si impone l’equilibrio a destra e a

+

sinistra). Il pezzettino, per via dello sforzo assiale si allunga da a

Si può dire che: ()

() = ()

() =

{

Sappiamo che: () = ∙ ()

E quindi: () ()

=∙ → =

() ∙ ()

Dunque, integrando, si ottiene l’allungamento:

()

=∫

∙ ()

0 ()

Quanto appena visto vale nel caso più generale, ma in casistiche ricorrenti nelle quali

() ()

e sono costanti (se costante l’oggetto diventa un’asta a sezione uniforme)

=

La quantità è nota come Rigidezza Assiale: se si vuole un oggetto molto rigido

assialmente (cioè subisce deformazioni assiali e contrazioni e allungamenti bassi) si può

agire su tre grandezze: aumentare il suo (dominio?) rendere più tozzo l’oggetto (aumentare

la sezione trasversale), ridurre la lunghezza.

Nel caso intermedio, in cui lo sforzo assiale non è costante, ma è costante a tratti, allora si

somma l’allungamento tratto per tratto:

=∑

ESEMPIO 5

Si consideri un’asta ancorata all’estremità e soggetta ad uno sforzo assiale di nel

, 8 , 4

punto ad uno sforzo assiale di nel punto ad uno sforzo assiale di nel punto

.

L’obiettivo è calcolare la tensione e l’allungamento (o compressione)

Il primo passo consiste nel calcolare la reazione vincolare nel punto che punterà a

12

sinistra perché la somma delle due forze in e in è pari a e la forza nel punto è

5 < 12,

pari a e quindi la forza per garantire l’equilibrio deve avere il verso

indicato in figura.

Per l’equilibrio: = 0

∑

− − 5 + 8 + 4 = 0

= 7

A questo punto si tracciano i diagrammi delle sollecitazioni, il che è molto semplice questa

volta dato che si ha solo lo sforzo assiale.

L’allungamento totale, considerando che lo sforzo normale è costante a tratti, varrà:

5 ∙ 3 ∙ 7 ∙

= + + = + + = − −

5.3-TORSIONE di elementi a sezione circolare

TENSIONI

Nella meccanica, gli alberi sono elementi a sezione circolare.

La Torsione è la sollecitazione prevalente negli alberi meccanici (che generalmente

trasmettono la potenza) come l’albero motore di un’autovettura.

Consideriamo un albero a sezione circolare, supponendo che sia incastrato ad una sua

estremità e si supponga che sull’altra estremità sia applicato un momento torcente.

Il Momento Torcente tende a far ruotare due sezioni l’una rispetto all’altra.

Quindi fissata un’estremità e l’altra estremità ruota, il punto si sposta, per effetto della

′

rotazione dovuta all’applicazione del momento torcente, in e ci sarà un angolo di

rotazione detto Angolo di Torsione.

Quindi l’Angolo di Torsione è l’angolo di cui ruotano due sezioni qualsiasi l’una rispetto

all’altra per effetto del momento torcente.

, ′,

A rotazione avvenuta il raggio nel suo divenire si conserva rettilineo visto che la

sezione è circolare. Anche le sezioni trasversali piane rimangono piane.

Immaginiamo ora che vi sia una griglia sulla superficie dell’albero nella configurazione

indeformata:

In seguito alla deformazione, le circonferenze della griglia rimangono tali mentre le linee

longitudinali, originariamente rettilinee, diventano delle eliche:

Sulla base di queste informazioni qualitative vediamo come risalire a tensioni e

deformazioni generate dalla torsione.

Consideriamo un sistema di riferimento in cui l’asse coincide con l’asse della trave.

Prendiamo in esame la linea in giallo che sulla sezione trasversale di una faccia diventa

raggio: dopo la deformazione diviene la linea in rosso.

Consideriamo anche un pezzettino (come una fetta) lungo dell’albero.

′

Ingrandiamo il pezzo di lunghezza e vediamo che il punto si sposta in e le due

sezioni poste a distanza ruotano e descrivono un angolo infinitesimo in seguito alla

deformazione:

Ingrandiamo ulteriormente sulla parte evidenziata in giallo e vediamo come si trasforma

l’elementino bianco dopo la deformazione in elementino azzurro

Considerando anche un elementino interno posto ad una certa distanza dal centro

quando è indeformato e quando è deformato:

Abbiamo definito come l’angolo di cui ruota globalmente la sezione ma siccome le linee

(che sono radiali) rimangono rettilinee, questo vuol dire che ogni punto della sezione ruota

.

dello stesso angolo

′

L’angolo sotteso tra il segmento (prima della deformazione) e il segmento (dopo

90°

la deformazione) è l’angolo di cui ruotano due direzioni poste originariamente a l’una

rispetto all’altra ed è proprio la Deformazione Tangenziale generata da tensioni tangenziali

che tendono a far ruotare/scivolare due sezioni tra di loro.

̅̅̅̅̅

′

Per piccoli spostamenti l’arco di cerchio si può scrivere come:

̅̅̅̅̅

′

= ∙ = ,

Ma vedendo la figura dall’alto si può scrivere analogamente, considerando che

che: ̅̅̅̅̅

′

= ∙

Quindi: ∙ = ∙

=

=∙

Dove è la distanza dall’asse e, fissata una generica sezione, è una costante sulla

sezione. : = 0

L’equazione ottenuta esprime il fatto che varia linearmente con il raggio quindi

= 0 = :

quando e sarà quando è uguale al raggio esterno

0 = 0

={ =

Volendo riportare il diagramma della Tensione Tangenziale notiamo che questa è nulla

sull’asse e massima ad una distanza dal centro:

Quindi:

=

= ∙

(*)

Per la Legge di Hooke, essendo il modulo di elasticità tangenziale:

=

Abbiamo già visto che è causata dalle tensioni tangenziali, che si ricorda soddisfano

requisiti di reciprocità per l’equilibrio alla rotazione (ad una tensione tangenziale su una

90°

faccia corrisponde sempre una tensione tangenziale sulla faccia posta a tale per cui le

tensioni tangenziali o convergono entrambi verso lo spigolo o divergono entrambi) e quindi:

=

Essendo il rapporto una costante, l’equazione (*) vale anche per le e quindi:

=

=

= ∙ → = ∙

= ∙

Abbiamo visto come il passaggio tra tensioni e deformazioni è immediato perché tra

,