Meccanica dei fluidi, parte 2 - equilibrio statico e legge di Stevino

3-STATICA DEI FLUIDI

Quando un fluido è in condizioni idrosta che (in quiete) accadono due cose fondamentali:

Non esistono sforzi tangenziali all’interno del fluido 1

Tu gli sforzi normali sono uguali 2

3.1-DIMOSTRAZIONE PROPRIETA’ 1

Per un fluido in quiete (condizioni idrosta che)non ci sono componen di velocità in nessun

punto. Noi sappiamo che sussiste una relazione tra sforzi tangenziali e velocità di

deformazione: non c’è sforzo tangenziale se non c’è una variazione di velocità tra i diversi

elemen di fluido. In quiete, quindi, non possono esistere sforzi tangenziali all’interno del

fluido.

Il tensore degli sforzi quindi si semplifica notevolmente:

0 0 0 0

0 0

0 0 = 0 0

0 0

3.2-DIMOSTRAZIONE PROPRIETA’ 2

Quindi in sta ca dei fluidi gli sforzi hanno solo componente normale:

= ( , 0,0)

= ( , 0,0)

= ( , 0,0)

= ( , 0,0)

La condizione di equilibrio, sta co questa volta, sarà:

+ =0

Sempre per lo stesso ragionamento sugli infinitesimi di superfici e volume:

=0

+ + + = 0

In termini di componen : ⃗

⃗ + ⃗ + + = 0

L’equazione ve oriale appena ricavata si può scomporre in tre equazioni scalari, ciascuna

delle quali prevede l’equilibrio lungo e

, .

Equazione scalare lungo

Dobbiamo ricavare la componente di lungo e quindi graficamente, tenendoci sull’asse

come punto di vista:

− cos()

Si ricorda che: = cos ()

Allora l’equazione scalare lungo sapendo che sforzo lungo e non hanno componen

,

lungo diventa:

, − cos() = 0

cos () − cos() = 0

=

In modo analogo si può procedere con le altre due equazioni scalari per dimostrare che gli

sforzi normali sono isotropi e quindi:

= = =

3.3-PRESSIONE

Consideriamo un generico tensore degli sforzi:

=

Si definisce pressione come: 1 1

= = + +

3 3

Si ricordi che la Traccia di una matrice è la somma degli elemen della sua prima diagonale.

Nel caso di condizioni idrosta che (sta ca dei fluidi) sappiamo che gli sforzi normali sono

isotropi e quindi: = = =

1

= ∙3

3

=

Quindi per un fluido in quiete il tensore è:

0 0 ̿

0 0

= =

0 0

̿

Dove è il tensore iden tà.

3.4-EQUAZIONE FONDAMENTALE DELL’IDROSTATICA (EQUAZIONE INDEFINITA DI EQUILIBRIO

STATICO)

Nei capitoli preceden abbiamo scoperto che nei fluidi fermi l'unico sforzo presente è la

pressione, che agisce ugualmente in tu e le direzioni. Ora vogliamo fare il passo successivo:

trovare un'equazione che governi come varia la pressione nello spazio.

Per fare ciò si imporrà la condizione di equilibrio ad un volume infinitesimo di fluido in

queite proprio perché il volume è infinitesimo ricaveremo l’equazione indefinita di equilibrio

sta co.

Per ricavare tale equazione consideriamo un parallelepipedo infinitesimo di fluido con

dimensioni posizionato in un punto generico del sistema. Così facendo si

, ,

semplificano i calcoli dato che tale figura ha facce parallele agli assi coordina .

: ̂

̂

Dalla condizione di equlibrio: + =0

Si esprimono le forze di massa come: ̅

= ∙

̅

Dove è una forza specifica di massa, cioè una forza di massa per unità di massa mentre

è la massa contenuta all’interno del sistema. Nel caso della gravità potrebbe

̅

essere = −

Avremo sei forze di superficie dato che ci sono sei facce. La forza di superficie sarà pari al

prodo o della pressione che agisce su quella superficie (abbiamo capito che gli unici sforzi

che esistono sono normali alla superfici e sono le pressioni) per la superficie. Per indicare il

versore lungo cui agisce la forza si consideri che lungo si u lizzerà il versore , lungo il

̂

versore e lungo il versore

̂

Superficie che giace sul piano Forza di superficie

coordinato…

̂

̂

Consideriamo ora le superficie che non giacciono sui piani coordina . Consideriamo ad

esempio la faccia parallela alla faccia che poggia sul piano si tra a di una superficie che

:

è traslata di rispe o all’origine e quindi la pressione sulla faccia destra è “quasi uguale” a

quella sulla faccia sinistra ma con una piccola correzione dovuta al fa o che ci si è sposta

di nella direzione Quindi la pressione che agisce sulla superficie, in base all’espansione

.

in serie di Taylor, varrà più la derivata parziale di rispe o ad più termini di ordine

superiore ma in meccanica del con nuo si lavorerà solo con approssimazioni al primo

ordine quindi i termini successivi che contengono sono trascurabili rispe o

() ()

, , …

a quando Quindi:

→ 0.

Superficie parallela alla faccia Forza di superficie

che giace sul piano coordinato…

− + ̂

− +

− + ̂

Sommando le forze opposte lungo la stessa direzione:

̂ − + ̂ = − ̂

− + = −

̂ − + ̂ = − ̂

Sos tuendo nella condizione di equilibrio:

̅

∙ − ̂ + ̂ + = 0

̅

∙ = ̂ + ̂ +

̅ ∙ = ̂ + ̂ +

̅

∙ = ∇

Dove è il gradiente della pressione. Seppur non è dimostrazione rigorosa che l’equazione

è indipendente dal volume (si assuma che sia così, non si dimostra), il fa o che scompaia il

volume né è un’indicazione.

Cara eris che di tale Equazione Indefinita sono:

 Non dipende più dalle dimensioni dell’elemento (equazione indefinita)

 Valida punto per punto (descrive l’equilibrio in ogni punto del fluido)

 Ve oriale: deve essere soddisfa a in tu e e tre le direzioni simultaneamente

 Indica che la pressione aumenta nella direzione delle forze di massa

In un problema di idrosta ca quindi la distribuzione di pressioni e densità all’interno della

generica massa fluida in quiete viene ricavata risolvendo il sistema di equazioni:

=

̅

∙ = ∇

APPLICAZIONE AL CAMPO GRAVITAZIONALE CON FLUIDI INCOMPRIMIBILI (IL CASO DEI

FLUIDI PESANTI INCOMPRIMIBILI)

Se ora si considera di essere in un campo gravitazionale e consideriamo come unica forza di

massa la forza di gravità (come sarà per tu e le prossime applicazioni) vuol dire che avremo

a che fare con un fluido pesante e quindi la foza specifica di massa gravitazionale sarà:

̅

= − ∇

Dove:

⎡ ⎤

̂ = 0

⎢ ⎥

⎢ ⎥

∇ = ̂ = 0

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

=

⎣ ⎦

Questo perché la quota (coordinata della ver cale geode ca) che non cambia muovendosi

lungo o

Quindi: ̅

= −

Il segno nega vo è dovuto al fa o che il versore è il versore ver cale che punta verso l’alto

mentre la gravità è dire a verso il basso.

Allora sos tuendo nell’equazione fondamentale:

̅

∙ = ∇

−∇ − ∇ = 0

Si introduce anche l’ipotesi di fluido incomprimibile e cioè significa che la pressione, seppur

variando, non ha effe apprezzabili sul volume e quindi sulla densità. Consideriamo che:

 La densità è costante e quindi anche

 L’accelerazione di gravità dato che consideriamo masse fluide non troppo estese, è

,

costante

Allora anche: = =

Procedendo: −∇ = ∇

−∇ = ∇p

Dividiamo entrambi i membri per − = −:

∇ ∇

∇ = − ∇ + =0

Poiché è costante:

∇ 1

∇ + = 0 → ∇ + ∇ = 0 → ∇ + ∇ =0

∇ + =0

La risoluzione di questa equazione differenziale è molto semplice dato che solo una

costante ha derivata nulla e prende il nome di Legge di Stevino:

+ =

La Legge di Stevino implica quindi che in un fluido pesante, incomprimibile e in quiete

quella quan tà si man ene costante.

DOMINIO DI VALIDITA’ DELLA LEGGE DI STEVINO

 Fluido Incomprimibile ( costante)

 Campo Gravitazionale Uniforme ( costante)

 Equilibrio Idrosta co (nessun movimento del fluido, no velocità)

 Assenza di altre forze di massa (agisce solo la gravità)

Vale che: Quota Geode ca

Si tra a dell’altezza (rispe o ad una quota zero di riferimento) del punto

considerato all’interno del fluido.

Altezza Piezometrica

Ha le dimensioni di un’altezza (è un segmento)

ℎ=+ =

Quota Piezometrica

ℎ E’ costante in tu o il fluido incomprimibile in equilibrio idrosta co

Osservazioni rela ve alla Legge di Stevino:

Le superfici orizzontali sono superfici isobare

Le superfici orizzontali sono piani cara erizza da un valore costante di e come

conseguenze della Legge di Stevino:

=

Di conseguenza, nel contesto considerato l’unica dimensione lungo cui varia la pressione è

la dimensione ver cale. Per questo mo vo per determinare la distribuzione della

pressione lungo il fluido basta risolverlo lungo una sola ver cale. Questo trasforma un

problema tridimensionale complesso in un problema monodimensionale molto più

semplice.

Se su ciascun piano orizzontale c’è un solo valore di pressione, su diversi piani orizzontali

ci saranno diversi valori di Tu ques piani saranno però accomuna dalla medesima

.

quota piezometrica. Se consideriamo il piano in corrispondenza del quale la pressione è

nulla, allora quel valore di quota piezometrica pu&ogra