Matrici spiegate in modo semplice

V

dimensioni, definito mediante le sue tre cmponenti cartesiane:

V

 

x

 

 V

 

= (5)

V y

 

V

 

z

Un vettore trasposto è rappresentato da una matrice costituita da una sola riga:

 

 V V V

= (6)

V

' x y z

Il prodotto scalare di due vettori è dato nella rappresentazione matriciale dal prodotto di un vettore

trasposto per un vettore: U

 

x

 

 

    V V V U

 

· = = = V U + V U + V U (7)

V U V

' U x y z y x x y y z z

 

U

 

z

Concordemente alle regole del prodotto di matrici, tale prodotto scalare produce appunto uno

scalare, definito dal valore di un’unica grandezza (matrice 1×1).      

Una matrice 1×1 è necessariamente identica alla sua trasposta, per cui = ( )’ =

V

' U V

' U U ' V

.

Le coordinate di un vettore, riferite ad un dato sistema di assi ortogonali, cambiano se si sceglie un

nuovo sistema di assi di riferimento, ruotato rispetto al sistema precedente. Nella figura seguente il

V V V

vettore V ha componenti , e in una terna di assi cartesiani , e (l’asse è

x y z z

x y z 0 0 0 0

0 0 0

perpendicolare al piano del foglio e punta verso l’alto). Se detta terna viene ruotata in senso orario di

z



un angolo intorno all’asse , le componenti del vettore V diventano V , V e V , tali che:

x y z

0 8

V V

x y

V = cos - sen

x 0 0

V V

x y

V = sen + cos

y 0 0

V

z

V = .

z 0

E’ facile verificare che questa trasformazione di coordinate può essere rappresentata in forma

matriciale:  

V

  V

 

x x

  

cos sen 0

 

   

  0

V V

   

sen cos 0

= (8)

   

y y

   

  0

0 0 1

 

V V

 

 

z z

 

0





e, in forma compatta, = T (8’)

V

V 0

La matrice di trasformazione T è la matrice dei coseni direttori tra gli assi delle deue terne.

La (8) o (8’) è un esempio semplice di trasformazione lineare.

9

Se due vettori V e V conservano la loro orientazione relativa dopo aver subito una

1 2

trasformazione lineare, detta trasformazione si dice ortogonale. Se una trasformazione lineare

non altera né l’orientazione relativa di vettori, né i valoro dei moduli di questi, essa viene detta

trasformazione ortonormale, e la matrice che compie tale trasformazione viene detta matrice

ortonormale. E’ facile verificare che il valore dei prodotti scalari tra vettori si conserva in seguito

ad una trasformazione ortonormale. La matrice di trasformazione nella (8), come tutte le matrici

di coseni direttori, è ortonormale.

Se una trasformazione lineare che conserva moduli ed orientazioni relative di vettori si compie

mediante matrici con elementi complessi, la trasformazione e la matrice che la compie vengono

dette unitarie.

La trasposta e l’inversa di una matrice ortonormale sono eguali, così come la coniugata

hermitiana e l’inversa di una matrice unitaria sono eguali: -1

Per una matrice ortonormale A’ = A (9)

† -1

Per una matrice unitaria A = A’* = A (9’)

La (9) si dimostra tenendo presente che i prodotti scalari si conservano in seguito ad una

 

 

trasformazione unitaria. Pertanto, se A è una matrice unitaria , = A , e = A , allora

V U

V U

0 0

 

  = (10)

V ' U

V

' U 0 0

 

 

Ma se = A , trasponendo questa eguaglianza abbiamo = A’, per cui

V V '

V V

'

0 0

  

  

= A = A’A (11)

U V ' U

V

' U V

' 0 0 0 -1

Poiché la (11) deve essere eguale alla (10), occorre che A’A = E, da cui risulta che A’=A .

La (9’) si dimostra in modo analogo, tenendo presente che per grandezze complesse

 

     

* *

· = =.( · ) = ( ) .

† †

V U

V U U U V V

6. Sistemi di equazioni lineari

Consideriamo un generico sistema di n equazioni lineari

10

a x + a x + a x +…………+ a x = b

1,1 1 1,2 2 1,3 3 1,n n 1

a x + a x + a x +…………+ a x = b

2,1 1 2,2 2 2,3 3 2,n n 2

a x + a x + a x +…………+ a x = b (12)

3,1 1 3,2 2 3,3 3 3,n n 3

…………………………………………………

a x + a x + a x +…………+ a x = b

n,1 1 n,2 2 n,3 3 n,n n n

Questo sistema può essere scritto in forma matriciale come





a a a .......

a x b

     

1 1 1 2 1 3 1 n 1 1

, , , ,

     

 





a a a ......

a x b

   

2 1 2 2 2 3 2 n 2 2

, , , ,

     

x b







a a a ...

a

  = (13)

   

3 3

3 1 3 2 3 3 3 n

, , , ,

     

 

. .























...

     

   

 









a a a a x b

   

 

n n n n

n 1 n 2 n 3 ,

, , ,  

oppure Ax = (13’)

b

-1

Moltiplicando entrambi i membri per A a sinistra, troviamo



 -1

= A (14)

x b

La (14) ci dice che la soluzione di un sistema di equazioni lineari si può trovare mediante

l’inversione della matrice dei coefficienti A. Se la matrice dei coefficienti A è singolare (cioè il suo

determinante è nullo), essa non si può invertire e quindi il sistema di equazioni non è risolvibile.

Ma un determinante è nullo se tra le sue righe vi è una combinazione lineare, il che significa che la

stessa combinazione lineare esiste tra le equazioni, è quindi abbiamo meno di n equazioni

indipendenti, in numero insufficiente per definire i valori di n variabili.

7. Forme biquadratiche e trasformazioni similari

11

Le forme biquadratiche sono combinazioni di termini che consistono in prodotti binari di date

 

grandezze, esprimibili in forma matriciale come A .

V

' V

Come esempio, vediamo che l’energia cinetica T di un corpo che ruota con componenti della

  

velocità angolare , e rispetto ad una data terna di assi cartesiani è esprimibile in forma

x y z

matriciale come 

 

  x

 

I I I  

 

  x, x x, y x, z

 

   

 

2T = (15)

 

I I I

x y z y

 

y, x y, y y, z

   

 

I I I

  

z, x z, y z, z  

  z

 

 

oppure 2T = I .

'

dove le grandezze I sono i momenti d’inerzia e le grandezze I sono i prodotti d’inerzia. La

a,a a,b

matrice I è detta tensore d’inerzia ed è simmetrica (I = I ).

a,b b,a





Se il vettore è viene tranformato in

 



= R (16)

 



 -1

e quindi = R (17)



 



= R’ (18)

'

 ' 



 -1

e = R’ (19)

'  '

 



Se il vettore delle velocità angolari è ottenuto da mediante un cambio di assi di riferimento,

 





-1

la matrice di trasformazione R è ortonormale (R’=R ), la (19) diventa = R, e sostituendo

'  '

  

  -1 ’

 

nella (15) = R e = R = R troviamo:

'   

'    

-1 -1

2T = RI R = (RIR ) (20)

   

' '  



Pertanto l’espressione dell’energia rotazionale in funzione del vettore velocità angolare = R ,







ottenuto da mediante una trasformazione ortonormale, ha la stessa forma (15) ma con il tensore

-1

d’inerzia I trasformato in RIR . Questa trasformazione, in cui una matrice è moltiplicata da un lato

-1

da R e dall’altro da R , è detta trasformazione similare.

12

Una trasformazione similare lascia invariata la traccia di una matrice, cioè la somma dei suoi

elementi diagonali, per cui 

 -1 I

(RIR ) = (21)

i,

i

i,

i i

i -1

come si può provare espandendo RIR secondo le regole di moltiplicazione delle matrici.

8. Autovalori, autovettori e diagonalizzazione di matrici

L’espressione (15) diventa particolarmente semplice se la matrice I, o tensore d’inerzia, diventa

diagonale. Per ogni corpo è sempre possibile trovare una terna di assi cartesiani, con origine nel

baricentro, tali che il tensore I sia diagonale. Tali assi sono detti assi principali d’inerzia.

Una volta presa una terna di assi baricentrica arbitraria, è possibile costruire il tensore d’inerzia

riferito a detti assi, come nella (15). Il passo successivo consiste nell’effettuare una rotazione di assi,

eseguibile come nella trasformazione (16) con una matrice di rotazione (cioè di coseni direttori) R,

trasformando la forma biquadratica (15) nella (20), riferita alla nuova terna di assi. La matrice di

rotazione R è ortonormale, e quindi la rotazione di assi produce una trasformazione similare. Se la

matrice di rotazione R è tale che i nuovi assi di riferimento siano gli assi principali, allora la matrice

     

-1 2 2 2

RIR che compare nella (20) è diagonale, ed abbiamo 2T = + + , se

x,x x y,y y z,z z



chiamiamo il tensore d’inerzia principale. Esiste pertanto una particolare matrice ortonormale R,



-1

tale che la trasformazione similare RIR = produca una matrice diagonale.

-1

L’operazione RIR viene detta diagonalizzazione della matrice I.

La diagonalizzazione di una matrice I richiede la determinazione di una matrice di trasformazione R,

sia

-1

tale che il prodotto RIR = diagonale. Questa è anche la matrice che compie la tras