Matematica, seconda parte

Frazioni di polinomi

Sia f(x):

^x4+2x3-2x-1/_{x³-4x²+5x+2}

Calcolare i limiti di f(x) quando:

• x → -1,
• x → +∞,
• x → -∞,
• x → -2.

lim x → ∞ f(x) = ^4x4/x3/_(4x³/x³) = ⁴/₄ = 1

lim x → 0 ^{(1 + ...)}/_{(1 + ...)} = +∞

F.N.I. [∞]

lim x → -∞ f(x) = ^{(1 + ...)}/_{(1 + ...)} = -∞

F.N.I. [-∞]

lim x → -1 ^{x4+2x3-2x-1 = 0}/_...

1 - 2 + 2 - 1

continuità ^{1 - 2 + 2 - 1}/_-8

Dall’algebra dei polinomi, N(x) e D(x) sono divisibili per x-1

D(x) = (x-4) : (x²-3x+2)

N(x) = (x-4) : (x³+3x²+3x+1)

Frazioni di Polinomi

Sia f(x):

x⁴ + 2x³ - 2x - 1

x³ - 4x² + 5x + 2

Calcolare i limiti di f(x) quando

• x -> -1, x -> +∞, x -> -∞, x -> 2, x -> -2, x -> -1

lim x -> -∞

(2 fl x)

= (2/1) = ∞ (1 + ...)

= + ∞ F.N.I. [+∞,-1]

lim x -> +∞

flx = idem lim x ->

(1 + ...)/ (1 + ...)

= ∞, F.N.I.[-∞,1]

lim x -> -1

x⁴ + 2x³ - 2x - 1

x³ - 4x² + 5x + 2

1 - 2 + 2 - 1

-8 = 0

Dall'algebra dei polinomi, N(x) e D(x) sono divisibili per x-2

D(x) = (x-2)⋅(x²-3x+2)

N(x) = (x-4)⋅(x³+3x²+3x+1)

*

lim_x→4

(x-4) (x³+3x²+3x+4)(x-4) (x²-3x+2)

= lim_x→4

x³+3x²+3x+4x²-3x+2

= lim_x→4

x³+3x²+3x+4(x-4) (x-2)

= lim_x→4

x³+3x²+3x+4x-2

= lim_x→4 1x-2

=

x³+3x²+3x+4x-2

per continuità2

lim_x→4^- 1x-4

⟸

( ) ⟹ +∞ (-8)

F.N.I. [40 ]

= −∞ (−8) ＋∞

F.N.I. [40 ]

lim_x→4⁺ 1x-4

≠ lim_x→4 F(x)

ALCUNI LIMITI NON F.I

lim_x→+∞ 3 ＋ 13x x

F.N.I [ limitato infinito ]

oppure

N(x) = 3x + 4D(x) = x→+∞

3

F.N.I. [3 infinito ]

lim_x→+∞ x³e^x = 0

F.I [ ∞ ∞ ]

esempio

lim_x→+∞ 3 ＋ ln ( x ) 1 - ( log x )^½ = 0

F.N.I. [ limitato ∞ ]

F.N.I. [ ∞ ∞ ]

N(x) = 3＋ ln x

e privo di limite quando x → +∞

D(x) = x⁵(- ( log x ) ^½ = x⁵

= 1の( 1 - (（log x) ^½

lim_x→∞ D(x) = +∞

F.N.I [∞ 1]

tuttavia è limitato

3 ＋ ln x ＝ |*1| ＋ 1^ε N(x)| ≦ 3 ＋ 4 = 4

1 - ( 新闻 log了 x ) ⁿ

(1 - ( log x x

}} - ^ζ )

- ^α) _→∞

ES.

lim x→+∞ ^√x4+√x/_√x⁴+√x = F.I. [∞/∞]

lim x→+∞ ^{√x4+√x (√x4+√x)}/_{√x⁴+√x (√x⁴+√x)} = F.I. [1/∞]

LIMITI NOTEVOLI

I limiti notevoli si possono usare quando ci sono prodotti, quozienti, elevamenti con esponente costante.

lim x→0 ^ex−1/_x = (*)

lim z→0 ^ez−1/_z = 1

lim x→0 ^senx/_x = 1

lim x→0 ^senx/_x = 1

lim x→0 ^senx/_1/x = +∞ F.N.I. [1,+∞]

lim x→0 ^senx/_x³ = 0 l.c.tà per continuità

+∞ F.N.I. [1:(-∞)]

ESERCIZI LIMITI (SCHEDA 3)

ES 6 P 15

tan (sen(2x²)). ln(1+3x²), x→0

((5) 6×4. UNA FUNZIONE CHE TENDE A 4)

lim x→0 ^{tan(sen(2x2))}/_sen(2x). ^sen(2x2)/_2x². ((2x²))

^ln(1+3x2)/_3x². 3x² (*)

2x² x 3x²

6x⁴

ESERCIZIO

lim x -> 0

(e^x - 1)³ / log (1 + x)²

lim x -> 0

(e^x - 1)³ / x² x 1/3 0 / 4 = 0

ESERCIZIO

lim x -> 0

1 / tan x

e

lim x -> 0

e^{1 / tan x} e log (1 + sen x)

VALUTO L'ESPONENTE

log (1 + sen x) / tan x

log (1 + sen x) / tan x - sen x

tan x / x

log (1 + sen x) / sen x - sen x / tan x x

1/ 1 . 1 / 1

log (1 + sen x) / tan x