Matematica per l'economia e la finanza

Proprietà asintotiche

una proprietà si dice asintotica se vale da un certo punto in poi ossia esiste n0 appartenente

a N tale che la proprietà vale per ogni n >= n0

carattere di una successione

con carattere si intende il comportamento dei termini da un certo punto in poi, ossia n→ +

infinito. ossia per n che aumenta indefinitamente.

3 tipologie di carattere di una successione:

●​ convergente: i termini si avvicinano ad un valore appartenente ad R

●​ divergente:i termini tendono o a + infinito o a - infinito. (N.B. convergente e

divergente sono successione regolari)

●​ irregolare: nè divergente, nè convergente.

caratteristiche delle successione an=q^n

q^n è uguale a + infinto per q>1

q^n è uguale a 1 se q =1

q^n è uguale a 0 per q compresa tra -1 e 1

q^n è irregolare per q <=-1

studiare il carattere di una successione equivale a calcolare il limite per n→ + infinito

Successione convergente

(an) converge ad intorno appartenente di R se per ogni e > 0, e appartenente a R, esiste n0

appartenente a N t.c. |an-intorno| <e, per ogni n>= n0.

cioè L=intorno di un valore, L-e < an< L+e, ovvero an è un intorno di L di raggio e.

Successione divergente

(an) diverge a + infinito o - infinito, se per ogni M appartentente a R, M<0 O M>0 esiste n0

apparentemente N :an>=M o an<=M per ogni n>=no.

Unicità del limite

se (an) ammette limite (finito o infinito) → esso è unico.

LIMITI

successioni potenza

n^a è uguale a + infinito se a>0

n^a è uguale a 1 infinito se a=0

n^a è uguale a 0+ infinito se a<0

casi indeterminati

0/ +- infinito

+-infinito/0

+-infinito/+-infinito

forma indeterminata k/0 o 0/0

risoluzione casi di forma indeterminate

lim an= +infinito/ 0 / - infinito

n→ +infinito

si ha una successione infinita

con lim an= 0

n→ + infinito

si ha una successione infinitesima

gerarchia degli infiniti

per determinare la gerarchia degli infiniti, basta osservare quale tra gli infiniti che abbiamo

cresce maggiormente.

es. 2n più grande di ln(n)

esempio di gerarchia n!>q^N con (q>1) >n^a > ln(n)

N.B an si dice asintotica a bn se hanno la stessa velocità come infiniti.

notazione: an bisciolina bn

Somma di successioni

è asintotica all’infinito superiore

o sse an=0(bn)

+/-infinito sse bn=0(an)

1 sse an asintotica bn

L, Ldiverso 0, L diverso 1 sse asintotico L *bn

non esiste (non conformabili)

lim an/bn

n→ + infinito

LIMITI PER FUNZIONI

: A c R → R

NB un intorno di + infinito è un intervallo aperto (a, + infinito)

NB un intorno di - infinito è un intervallo aperto (-infinito, a)

NB per calcolare il limite di x → C di una funzione, C deve esse