Formulario Matematica per l'economia e la finanza

DERIVABILITÀ

Siano: x - x0 (incremento della variabile indipendente) f(x) - f(x0) (incremento della variabile dipendente) si chiama rapporto incrementale di f, relativo al punto x0, il rapporto indicato con: Se f è derivabile in x0 allora è ivi continua. 6 LEZIONE 14 DERIVATE FONDAMENTALI REGOLE DI DERIVAZIONE: - f + g è derivabile in x0 e si ha: - f * g è derivabile in x0 e risulta: - Se g(x0) diverso da 0, f/g è derivabile in x0 e risulta: 7 DERIVAZIONE DELLA FUNZIONE COMPOSTA Se f è derivabile in x0 e g è derivabile in f(x0) allora g o f è derivabile in x0 e vale: LEZIONE 15 TEOREMI FONDAMENTALI: Diremo che x0 è un punto di massimo (minimo) relativo per f se esiste un intorno U. ∈]a, TEOREMA DI FERMAT O CONDIZIONE NECESSARIA PER I MASSIMI E MINIMI RELATIVI: Sia x0 ∈ [a,b] un punto di massimo (minimo) relativo in cui f è derivabile allora f'(x0) = 0 (x0 è detto un punto stazionario).

∈]a,TEOREMA DI ROLLE: Se f è continua in [a, b] e derivabile in ]a, b[ con f (a) = f (b) allora esiste zb[ tale che f 0 (z) = 0.

Afferma che, quando una funzione è continua e derivabile in un intervallo compatto (chiuso elimitato), e tale funzione assume lo stesso valore nei due estremi di tale intervallo, allora esistealmeno un punto interno all'intervallo dove il valore della derivata si annulla.

TEOREMA DI LAGRANGE O DEL VALOR MEDIO: Sia f continua in [a, b] e derivabile in ]a, b[ allora∈]a,esiste z b[ tale che:

Ci permette di stabilire la monotonia di una funzione derivabile in un certo intervallo, in base alsegno della derivata. 8LEZIONE 16MONOTONIA E SEGNO DELLA DERIVATA ∀xSia f derivabile in ]a, b[, allora f è crescente (decrescente) se e solo se risulta: f ′ (x) ≥ 0 (f ′ (x) ≤ 0)∈]a, b[.

La funzione y = e ^x ha per derivata y ′ = e^ x . È sempre positiva e crescente, y = ln x è positiva

ecrescente.

CONDIZIONE SUFFICIENTE PER I MASSIMI E MINIMI RELATIVI:

f'(x) ≥ 0 (≤ 0) e in un intorno destro di x0 (dove x > x0) risulta f'(x) ≤ 0 (≥ 0) allora x0 è di massimo (minimo) relativo.

Se la derivata seconda della funzione è minore di zero xo è un punto di massimo per la funzione, se la derivata seconda è maggiore di 0 xo è un punto di minimo per la funzione.

LEZIONE 17

TEOREMA DI DE L'HOPITAL: utile per il calcolo di limiti che presentano le forme indeterminate 0/0 o ∞/∞. Basta calcolare la derivata prima della funzione f e g.

FORMULA:

INFINITESIMO (INFINITO)

Definiamo un infinitesimo (infinito) per x che tende a x0 (che può anche essere ±∞) una funzione f per cui lim x→ x0 f(x) = 0 (∞)

CONFRONTO DI INFINITESIMI/INFINITI:

• Se tale limite è 0, diremo che f è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g per x che tende a x0.

• Se tale limite è ∞,

diremo che g è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a f per x che tende a x0. (f è un infinito superiore a g). • Se tale limite è diverso da 0, diremo che f e g sono dello stesso ordine di infinitesimo (infinito). • Se tale limite non esiste, diremo che gli infinitesimi (infiniti) non sono confrontabili. • y = sin x e y = x sono infinitesimi dello stesso ordine per x che tende a 0. LEZIONE 18 DERIVATE SUCCESSIVE Derivata prima: f' Derivata seconda: f'' INTERVALLI: In un intervallo non sono ammessi 'buchi'. FUNZIONI CONCAVE E CONVESSE Per calcolare la convessità e la concavità di una funzione bisogna fare la derivata seconda della funzione. CONVESSA = è tale che il segmento che congiunge due punti qualsiasi del suo grafico giace SOPRA il grafico stesso o coincide con una sua parte. CONCAVA = il segmento giace al di SOTTO del grafico. La funzione y = e^x è convessa ovunque, infatti, y'' =e^x che è sempre positiva. La funzione logaritmica è sempre NEGATIVA ed è CONCAVA. ∈FLESSI: x₀ I viene detto punto di flesso per f se in esso la funzione cambia concavità, cioè da concava diventa convessa o viceversa. 10LEZIONE 19EQUAZIONI DI SECONDO GRADO ax² + bx + c = 0 LEZIONE 20STUDIO DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE: 1. Insieme di definizione, simmetrie 2. Studio del segno, intersezione con gli assi coordinati 3. Limiti agli estremi dell'insieme di definizione, asintoti 4. Studio del segno della derivata prima: crescenza, decrescenza, massimi e minimi relativi 5. Studio del segno della derivata seconda: convessità, concavità, flessi LEZIONE 21INTEGRALISOMMA DI RIEMMAN: Sia f una funzione che assume sempre valori maggiori o uguali a zero e limitata (sia superiormente che inferiormente) su un intervallo [a, b]. f si dice integrabile in [a, b] se esiste, finito e non dipende dalla scelta dei punti t_i, il limite, per n → ∞, della

successione delle somme di Riemann.

FORMULA INTEGRALE:

x= variabile di integrazione a e b=estremi di integrazione

Valgono le seguenti proprietà di linearità:

• Se f e g sono integrabili in [a, b] allora anche f + g lo è
• ∈Se f è integrabile in [a, b] e k R allora anche k · f lo è
• Se f e g sono integrabili in [a, b] e ivi f (x) ≤ g(x) allora vale la seguente proprietà di monotonia: 11

PROPRIETA’ DI ADDITIVITA’ RISPETTO ALL’INTERVALLO DI INTEGRAZIONE:

Se f è integrabile in [a, c] allora lo è anche in [a, b] e [b, c], con a < b < c, e risulta:

TEOREMA DELLA MEDIA INTEGRALE ∈

Sia f continua in [a, b] allora esiste un punto c [a, b] tale che:

Il numero Mf è detto media integrale.

LEZIONE 22 ∈

FUNZIONE INTEGRALE: Sia f integrabile in [a, b], per ogni x [a, b] definiamo la funzione:

TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE: ogni funzione continua su un intervallo assume sempre

(almeno una volta) il suo valore medio.

12Bisogna calcolare il rapporto incrementale di F:

Una funzione G, derivabile in ]a, b[, si dice una primitiva di f se:

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