Matematica finanziaria

IL MUTUO

Il mutuo usa l’ammortamento francese ed è il tipo di ammortamento graduale più

comune. È un finanziamento di medio-lungo termine che viene utilizzato per

acquistare, costruire o ristrutturare un immobile, in particolare la casa di abitazione. Il

mutuo è anche detto ipotecario in quanto il pagamento è garantito da un’ipoteca

sull’immobile.

Il mutuo può essere a:

-tasso fisso: il tasso di interesse viene stabilito contrattualmente e rimane lo stesso

per tutta la durata del mutuo

-tasso variabile: il tasso di interesse cambia secondo un parametro di riferimento

-tasso misto: si passa da un tasso fisso a uno variabile o viceversa

-tasso doppio: è come se il mutuo fosse diviso in 2 parti, una parte ha il tasso fisso

l’altra il tasso variabile. RISCHI DI MERCATO

Ogni operazione finanziaria è soggetta ad un certo grado di rischio (es. la controparte

risulta inadempiente)

Tutte le operazioni finanziarie per il solo fatto di prevedere lo scambio di importi a date

differenti presentano un rischio.

Per rischio intendiamo l’impossibilità di prevedere con certezza l’esito di una

operazione. Saper valutare il rischio è un processo complesso in quanto legato

all’incertezza degli eventi. Però in alcuni casi è possibile effettuare una stima del

rischio. Vediamone alcuni.

RISCHIO DI TASSO DI INTERESSE

Il rischio di tasso di interesse dipende dalle variazione dei tassi di interesse sul

mercato. Ad es. se acquisto un’obbligazione sul mercato primario so per certo quale

sia il suo prezzo di emissione e conosco il valore delle cedole e il valore nominale. Ma

se io rivendo questo titolo sul mercato secondario, il suo prezzo sarà determinando

facendo il valore attuale di tutte le cedole in base al tasso di interesse in vigore.

Il rischio di tasso di interesse influisce in maniera diversa sui titoli obbligazionari. Es:

-BOT: non paga cedole ed è di breve durata

-BTP: paga cedole semestrali ed ha una durata maggiore. Ciò significa che le cedole

risentiranno per prime delle variazione del tasso di interesse.

Infatti, se nel BOT dobbiamo attualizzare solo il valore nominale, nel BTP dobbiamo

attualizzare anche le cedole, e quindi sotto questo punto di vista il BTP è più rischioso

del BOT

-CCT: sono titoli che pagano cedola a tasso variabile.

Il CCT è più rischioso del BTP perché nel BTP sappiamo con certezza il valore della

cedola nel CCT no.

RISCHIO DI CREDITO

Il rischio di credito è legato alla possibilità che la parte debitrice risulti inadempiente.

Prendiamo per esempio un’operazione con un importo S, alla scadenza il debitore deve

restituire S+I ma può succedere che non rimborsi tutta la cifra. L’incertezza è quindi

legata al fatto che non si conosce l’entità dell’importo che il debitore restituirà.

Il recovery rate esprime la frazione di credito recuperata dall’operazione rischiosa e si

ha facendo il rapporto tra ciò che viene restituito e ciò che dovrebbe essere restituito.

Se un’operazione è priva di rischio di credito è detta default-free.

Il rating ci aiuta a capire l’affidabilità di un debitore, infatti, viene attribuito alle

imprese, gli enti locali ecc… un giudizio di affidabilità o merito di credito. Più il rating è

alto più il grado di affidabilità è basso. Se c’è un basso grado di affidabilità ne

consegue che il tasso di interesse sarà maggiore in quanto aumenta il premio al

rischio

Con spread creditizio intendiamo la differenza tra il tasso di interesse applicato in caso

di bassa probabilità di insolvenza e il tasso di interesse applicato in caso di alta

probabilità di insolvenza.

RISCHIO INFLATTIVO

Il rischio inflattivo è legata al potere d’acquisto del denaro. Noi sappiamo che

un’operazione finanziaria è uno scambio di importi su diverse date e quindi, noi non

sappiamo se il potere d’acquisto al tempo t1 sarà uguale al tempo t0. Non sappiamo

se con x euro posso comprare la stessa quantità di beni in un tempo successivo.

RISCHIO DI CAMBIO

Il rischio di cambio riguarda quello operazioni finanziarie che prevedono scambi con

diverse valute (es. euro con dollaro)

Il rischio sta nella possibilità che le variazioni dei tassi di cambio possono comportare

una perdita del potere d’acquisto della moneta detenuta.

ARBITRAGGIO

L’arbitraggio è un’operazione finanziaria che consente di avere un profitto certo senza

l’assunzione di rischi. Per avere opportunità di arbitraggio significa che dobbiamo

applicare una strategia di investimento che ci permetta di generare un guadagno

senza alcuna perdita. Quindi utilizzare una strategia finanziaria di acquisto e vendita

per avere profitto certo qualsiasi cosa avvenga.

IL MERCATO PERFETTO

In mercato perfetto i titoli obbligazionari sono default-free.

Un mercato è perfetto se presenta le caratteristiche della non frizionalità e della

competitività.

Non frizionalità:

-Non ci sono costi di transazione.

-Non ci sono gravami fiscali.

-I titoli sono infinitamente indivisibili: ciò significa che se ci sono 2 titoli e ne voglio

acquistare uno e mezzo posso farlo.

-Sono consentite vendite allo scoperto: cioè vendo ciò che ancora non possiedo.

Competitività:

gli agenti sono massimizzatori di profitto (scelgono l’operazione col maggior profitto) e

price taker (il prezzo è stabilito dal mercato)

vale il principio di arbitraggio

PRINCIPIO DI ARBITRAGGIO: non è possibile effettuare arbitraggi cioè, non è

possibile conseguire un profitto certo senza l’assunzione di rischi.

LA PROPRIETà DI ASSENZA DI ARBITRAGGIO

Un’operazione finanziaria costituisce un arbitraggio se il flusso non contiene

pagamenti di segno opposto. O sono tutti positivi o tutti negativi.

Arbitraggio immediato: guadagno immediato

Arbitraggio a scadenza: l’importo positivo si avrà in una data successiva

DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO

Dimostrare per assurdo significa negare la tesi. Se io ho un’ipotesi e voglio dimostrare

che sia vera, ne nego la tesi, quindi dico il suo contrario. Alla fine si arriva ad un

assurdo dove un’ipotesi contraddice l’altra. Quindi, se io riesco a dimostrare che

un’ipotesi è falsa allora necessariamente l’altra è vera.

IMPORTANTE: TUTTI I TEOREMI SONO DIMOSTRATI IN UN MERCATO PERFETTO DOVE

VALE IL PRINCIPIO DI ARBITRAGGIO

LEGGE DEL PREZZO UNICO (mercato perfetto e principio di arbitraggio)

La legge del prezzo unico, dice che in un mercato perfetto in cui vale il principio di

arbitraggio; Due contratti che producono lo stesso payoff ( ossia lo stesso flusso di

pagamenti) in ogni situazione possibile, devono avere lo stesso prezzo.

Quindi abbiamo due prezzi c e c’. la legge del prezzo unico ci dice c=c’.

Per dimostrare che l’ipotesi è vera utilizziamo la dimostrazione per assurdo e quindi

neghiamo la tesi. Negare che due cose sono uguali vuol dire che o sarà maggiore o

minore. Supponiamo che c’>c

Allora vendiamo allo scoperto c’ perché ha un prezzo maggiore e acquistiamo c perché

ha un prezzo più basso.

Se vendiamo allora avremo al tempo t -> c’ e negli altri periodi t avremo delle uscite

Se acquistiamo allora avremo al tempo t -> -c e negli altri periodi t avremo delle

entrate

Quindi se andiamo a sommare i flussi, il flusso netto si annulla e di conseguenza il

guadagno sarà dato dalla differenza tra i prezzi. c’-c= profitto certo, abbiamo

realizzato un arbitraggio immediato ma ciò non è possibile perché siamo in un mercato

perfetto dove vale il principio di arbitraggio. Se imponessimo c’<c avremmo una

situazione analoga dove il flusso netto e pari a 0 e il profitto è dato dalla differenza tra

i prezzi.

Quindi, se non può essere c’>c n+ c’<c allora necessariamente c’=c

Nella sua formulazione usuale, la legge del prezzo unico “law of one price” richiede

che due beni che siano succedanei perfetti (uno può essere sostituito dall’altro) siano

scambiati allo stesso prezzo. Se un bene è il sostituto dell’altro, i due beni devono

essere scambiati allo stesso prezzo.

TITOLI A CEDOLA NULLA UNITARI

Sappiamo che v indica il fattore di sconto ma nel caso di zcb unitari possiamo indicare

con v il prezzo. Infatti, gli zcb unitari pagano alla scadenza 1 euro, quindi se volessi

sapere il valore attuale cioè il prezzo dovrei fare 1(1+i)^k ottenendo quindi il fattore di

sconto v.

Per il principio di arbitraggio

-il prezzo v(t,s) è maggiore di 0, perchè il prezzo deve essere positivo, un titolo non

può avere prezzo negativo

-se la data di valutazione t e la data di scadenza s coincidono, il prezzo è uguale al

valore nominale (1 euro)

Per avere significatività finanziaria v<1 perché non avrebbe senso pagare più di

quanto riceverò alla scadenza.

TEOREMA DI DECRESCENZA DEL PREZZO RISPETTO ALLA SCADENZA

Questo teorema ci dice che se io ho 2 ZCB unitari dove uno scade in s’ e l’altro in s’’ e

s’<s’’ allora il prezzo dello ZCB con scadenza in s’ sarà maggiore del prezzo dello ZCB

con scadenza in s’’. questo perché maggiore è la durata dell’operazione ho più tempo

per far maturare gli interessi e quindi il prezzo diminuisce, al contrario se la durato è

breve ho meno tempo per maturare interessi e quindi il prezzo aumenta.

Aumenta la scadenza->aumenta la durata-> il prezzo diminuisce. Prezzo decrescente

rispetto alla scadenza.

Supponiamo invece di avere 2 ZCB unitari che hanno la stessa scadenza ma diversa

data di valutazione, il primo in t’ e il secondo in t’’, dove t’<t’’. se t’ è inferiore

significa che è più vicino alla scadenza e quindi la durata dell’operazione di riduce, di

conseguenza il prezzo aumenta. quindi, lo ZCB con la data di valutazione maggiore

avrà un prezzo maggiore.

Aumenta la data di valutazione->diminuisce la durata-> aumenta il prezzo. Prezzo

crescente rispetto alla data di valutazione t.

TITOLI A CEDOLA NULLA NON UNITARIO

Indichiamo con V(t,s) il prezzo di uno ZCB non unitario. Uno ZCB non unitario paga alla

scadenza un importo Xs. Supponiamo di poter costruire un portafoglio formato da Xs

ZCB unitari. Questo lo possiamo fare perché i titoli sono infinitamente indivisibili quindi

se per es. Xs=3,8 allora noi possiamo comprare 3,8 ZCB unitari.

TEO