Lista domande teoria possibili di Matematica generale

Valore assoluto: |x|=x se x≥0, −x se x<0.

• ⌊x⌋

Parte intera: = massimo intero ≤ x.

• Mantissa: {x}=x−⌊x⌋.

•

2. Ordinamento e topologia della retta

2.1 Distanza e intorni

Distanza euclidea: d(x,y)=|x−y|.

• Intorno completo: N_ε(a) = {x | |x−a|<ε}.

• Intorno destro/sinistro: N_ε⁺(a) = {x | 0< x−a <ε}, N_ε⁻(a) = {x | 0< a−x <ε}.

• Intorni di +∞ e −∞: (M, +∞) e (−∞, M).

•

2.2 Tipi di punti e insiemi

Punto interno: esiste ε>0 t.c. N_ε(a)⊆A.

• Punto esterno: esiste ε>0 t.c. N_ε(a)⊆Aᶜ.

• Punto di frontiera: ogni intorno contiene punti di A e di Aᶜ.

• Punto di accumulazione: ogni intorno (escluso a) contiene punti di A.

• Punto isolato: esiste intorno che non contiene altri punti di A.

• Insieme aperto: tutti i suoi punti sono interni.

• Insieme chiuso: contiene tutti i suoi punti di accumulazione.

• Insieme derivato: insieme dei punti di accumulazione.

•

3. Limiti e continuità

3.1 Limiti

Definizioni: unitarie e particolari (ε–δ, sequenze) per x→a, x→±∞.

• Tipi: limite destro, sinistro, per eccesso/difetto.

• Asintoti:

• Verticale: x=a se |f(x)|→∞.

o Orizzontale: y=L se f(x)→L per x→±∞.

o Obliquo: y=mx+q se f(x)−(mx+q)→0.

o

Teoremi: confronto (I e II), unicità, permanenza del segno, funzione limitata×infinitesimo.

• Forme indeterminate: 0/0, ∞/∞, 0·∞, …; risoluzione tramite algebra e Lagrange.

• Simboli di Landau: o(·), O(·).

•

3.2 Continuità

Continuità in a: lim_{x→a}f(x)=f(a).

• Teoremi:

• Weierstrass: funzione continua su [a,b] assume massimo e minimo.

o Darboux: immagine di un intervallo è intervallo.

o Zeri: esiste c tra a e b con f(c)=0 se f(a)·f(b)<0.

o

Discontinuità: eliminabile, I specie (salto finito), II specie (salto infinito o oscillazione

• infinita).

4. Calcolo differenziale (una variabile)

4.1 Derivata

Definizioni: f'(a)=lim_{h→0}(f(a+h)−f(a))/h; derivate laterali.

• Retta tangente: y−f(a)=f'(a)(x−a).

• Punti angolosi/cuspidali: derivata laterali infinite o diverse.

• ⇒

Continuo derivabile?: no in generale; però derivabile⇒continuo.

•

4.2 Teoremi fondamentali ⇒ ∃c:

Rolle: f(a)=f(b) su [a,b] f'(c)=0.

• ∃c:

Lagrange: f'(c)= (f(b)−f(a))/(b−a).

• Fermat: estremo interno⇒f'=0.

•

4.3 Applicazioni avanzate

De l’Hôpital (I e II): lim f/g se forme 0/0 o ∞/∞.

• ≫ ≫

Gerarchia infiniti: esponenziali potenze logaritmi.

• Taylor–Peano: sviluppo di ordine n con resto o piccolo.

• Convessità/concavità: f''>0⇒convessa, f''<0⇒concava.

• Estremi relativi e assoluti: criteri primo e secondo ordine.

•

5. Infiniti e infinitesimi

Infiniti: f(x)→∞.

• Infinitesimi: f(x)→0.

• Confronti d’ordine: f=o(g), f=O(g), f~g.

• Teoremi di trascurabilità: ordini inferiori trascurabili nei limiti.

•

6. Funzioni di due variabili

6.1 Nozioni preliminari

Dominio e grafico: superficie in ℝ³.

• Curve di livello: { (x,y)|f(x,y)=c }.

• Distanza in ℝ² e intorni.

•

6.2 Limite e continuità

Definizione particolare: per ogni ε∃δ s.t....

• Continuità: lim f(x,y)=f(a,b).

•

6.3 Derivate parziali e differenziabilità

Parziali: ∂f/∂x, ∂f/∂y.

• Differenziabilità: esistenza di approssimazione lineare.

• ∇f(a,b)=(∂f/∂x,

Gradiente: ∂f/∂y).

•

6.4 Estremi e teorema di Fermat

Estremi: relativi e assoluti.

• ∇f=0.

Fermat:

• Weierstrass: continuo su compatto⇒estremi.

•