Lista definizioni per l'esame di Matematica generale

Teorema dell'esistenza del limite per funzioni crescenti o decrescenti

Considerando i punti x appartenenti ad un intorno destro N(x) di x (con x ≠ x), se f(x) è crescente in N(x), allora il suo limite per x→x esiste.

Teorema del confronto

Considerando f(x), g(x) e h(x) con P punto di accumulazione per i loro insiemi di definizione, se:

1. Esiste un intorno N di P tale che per i punti x (con x≠P) si ha g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)
2. I limiti di g(x) e h(x) esistono e sono finiti (e uguali)

Allora anche f(x) ammette lo stesso limite per x→P.

Definizione di funzione continua

Data una funzione f: A → R con x appartenente ad A e x punto di accumulazione per f, la funzione è continua in x quando:

• La funzione è continua in x se nei punti vicini a x i valori di f(x) non si discostano molto da quelli di f(x) e tendono a f(x) per x→x.

Una funzione è continua in un insieme se la funzione è continua in ogni punto dell'insieme.

Definizione di

discontinuità eliminabile

1. il valore assunto dalla funzione in x è diverso dal limite finito di f per x→x0
2. x non appartiene all’insieme di definizione della funzione, pur essendone punto di accumulazione

definizione di discontinuità di prima specie

un punto si dice punto di discontinuità di prima specie per la funzione se i limiti destro e sinistro per x→x sono diversi tra loro (ma sono finiti)

definizione di discontinuità di seconda specie

un punto si dice punto di discontinuità di seconda specie se almeno uno dei due limiti (destro o sinistro) non esiste o è infinito

teorema di Weierstrass

ogni funzione continua su un insieme chiuso e limitato assume valore massimo (assoluto) e minimo (assoluto)

teorema di Darboux

una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato assume in tale intervallo, almeno una volta, tutti i valori compresi tra il suo valore minimo e il suo valore massimo

teorema degli zeri

se una funzione

continua in un intervallo chiuso e limitato assume negli estremi valoridiscordi (+ -), esiste un punto f(x) =0 ossia uno zero della funzionesia f continua su un intervallo chiuso e limitato [a,b] con f(a) · f(b) < 0 esiste un punto c∈[a,b] tale chef(c)=0

TEORIA MATEMATICA GENERALE – SECONDO PARZIALE

definizione di rapporto incrementale per una funzione reale di una variabile reale₀ ₀il rapporto tra l’incremento della funzione Δf = f(x +h) - f(x ) e l’incremento della variabile₀ ₀indipendente x, quando passa da x a x +h, ovvero h, è chiamato rapporto incrementale₀+h)−f ₀)(x (xfΔf =h hdefinizione di derivata per una funzione reale di una variabile reale₀⊂chiamiamo derivata di f: A R→R nel punto x (int. A) il limite, ammesso che esista finito,del rapporto incrementalesi dice allora che la funzione è derivabile in x₀se il rapporto incrementale ammette limite infinito, diremo che f presenta derivata

Infinita interpretazione geometrica della nozione di derivata: l'approssimazione lineare del grafico di una funzione in un generico x equivale a determinare l'equazione della retta tangente al grafico di f(x) in x.

Derivata di funzione composta: se f: (c,d) → R è derivabile in (c,d) e g: (a,b) → R è derivabile in (a,b), allora la funzione composta h(x) = f(g(x)) è derivabile in (a,b) e risulta h'(x) = f'(g(x)) · g'(x).

Approssimazione lineare: nei punti x sufficientemente vicini a x, possiamo approssimare f(x) ad una funzione lineare y = f(x) + (x-x0) · f'(x0), che può essere scritta come y = f'(x0) · x + f(x0) - x0 · f'(x0).

Teorema circa il rapporto tra derivabilità e continuità: siano f: A ⊆ R→R e x un punto del suo insieme di definizione. Se in tale punto f è derivabile, allora è anche continua.

Definizione di derivata seconda e derivate.

Ipotesi: f continua nell'intervallo chiuso [a,b]