Lezione Analisi matematica 1

Lezione di Analisi (28

ottobre)

Introduzione alle Funzioni

- Concetto generale di funzione: Una

funzione è una corrispondenza

univoca che associa a ogni numero

reale x uno e un solo numero reale y.

- Esempi introdotti:

- Funzione identica: f(x) = x.

- Funzione opposta: f(x) = -x.

- Funzione valore assoluto:

- Definizione: f(x) = |x|, dove:

- |x| = x se x >= 0,

- |x| = -x se x < 0.

- Dominio: ℝ (tutti i numeri reali).

- Codominio: [0, +∞[ (tutti i numeri

reali non negativi).

Grafico della Funzione Valore

Assoluto

- Costruzione del grafico:

- Per x >= 0: il grafico coincide con la

bisettrice del primo quadrante (y = x).

- Per x < 0: il grafico coincide con la

bisettrice del secondo quadrante (y = -

x).

- Proprietà geometriche:

- Simmetria rispetto all'asse delle

ordinate (la funzione è pari).

- Non è monotona sull’intero dominio

ℝ, ma:

- È strettamente crescente su [0,

+∞[,

- È strettamente decrescente su ]-∞,

0].

Proprietà delle Funzioni

1. Monotonia:

- Una funzione è monotona se

rispetta la relazione:

x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2).

- La funzione valore assoluto è

monotona solo sulle sue restrizioni.

2. Restrizione di una funzione:

- Dato un dominio D di una funzione

f(x), la restrizione f|_{D1} si ottiene

considerando solo un sottoinsieme D1

⊆ D.

- Esempio:

- Restrizione su [0, +∞[: f(x) = x è

strettamente crescente.

- Restrizione su ]-∞, 0]: f(x) = -x è

strettamente decrescente.

3. Zeri della funzione:

- Uno zero è un punto x0 tale che

f(x0) = 0.

- Per la funzione valore assoluto,

l’unico zero è x = 0.

Funzioni Lineari

- Forma generale: f(x) = ax + b, con a, b

∈ ℝ.

- Proprietà del coefficiente direttivo

(a):

- a > 0: la funzione è strettamente

crescente.

- a < 0: la funzione è strettamente

decrescente.

- Grafico:

- È una retta, inclinata a seconda del

segno di a.

- Invertibilità:

- La funzione è invertibile se è

strettamente monotona. L’inversa si

trova risolvendo:

y = ax + b ⇒ x = (y - b) / a.

Funzioni Potenza

- Forma generale: f(x) = x^n, con n ∈ ℕ.

- Proprietà:

- Esponente pari (n = 2k):

- Grafico: andamento parabolico.

- Dominio: ℝ.

- Codominio: [0, +∞[.

- La funzione non è monotona, ma:

- È strettamente crescente su [0,