Lezione Analisi matematica 1

reali).

- Codominio: [0, +∞[ (tutti i

numeri reali non negativi).

Grafico della Funzione

Valore Assoluto

- Costruzione del grafico:

- Per x >= 0: il grafico coincide

con la bisettrice del primo

quadrante (y = x).

- Per x < 0: il grafico coincide

con la bisettrice del secondo

quadrante (y = -x).

- Proprietà geometriche:

- Simmetria rispetto all'asse

delle ordinate (la funzione è

pari).

- Non è monotona sull’intero

dominio ℝ, ma:

- È strettamente crescente su

[0, +∞[,

- È strettamente decrescente

su ]-∞, 0].

Proprietà delle Funzioni

1. Monotonia:

- Una funzione è monotona se

rispetta la relazione:

x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2).

- La funzione valore assoluto è

monotona solo sulle sue

restrizioni.

2. Restrizione di una funzione:

- Dato un dominio D di una

funzione f(x), la restrizione f|

_{D1} si ottiene considerando

solo un sottoinsieme D1 ⊆ D.

- Esempio:

- Restrizione su [0, +∞[: f(x)

= x è strettamente crescente.

- Restrizione su ]-∞, 0]: f(x) =

-x è strettamente decrescente.

3. Zeri della funzione:

- Uno zero è un punto x0 tale

che f(x0) = 0.

- Per la funzione valore

assoluto, l’unico zero è x = 0.

Funzioni Lineari

- Forma generale: f(x) = ax + b,

con a, b ∈ ℝ.

- Proprietà del coefficiente

direttivo (a):

- a > 0: la funzione è

strettamente crescente.

- a < 0: la funzione è

strettamente decrescente.

- Grafico:

- È una retta, inclinata a

seconda del segno di a.

- Invertibilità:

- La funzione è invertibile se è

strettamente monotona.

L’inversa si trova risolvendo:

y = ax + b ⇒ x = (y - b) / a.

Funzioni Potenza

- Forma generale: f(x) = x^n,

con n ∈ ℕ.

- Proprietà:

- Esponente pari (n = 2k):

- Grafico: andamento

parabolico.

- Dominio: ℝ.

- Codominio: [0, +∞[.

- La funzione non è monotona,

ma:

- È strettamente crescente

su [0, +∞[,

- È strettamente decrescente

su ]-∞, 0].

- Esponente dispari (n = 2k +

1):

- Grafico: andamento cubico.

- Dominio: ℝ.

- Codominio: ℝ.

- La funzione è strettamente

crescente su ℝ.

- La funzione è invertibile.

L’inversa è f^{-1}(y) = √[n]{y}.