Integrali - Formule di quadratura numerica

Integrali: formule di quadratura numerica

I = ∫_a^b f(x) dx

form. dei trapezi

∫ ≈ I_TR = (b-a) ^(f(a)+f(b))/₂

E_TR = - ^f''(ξ)/₁₂ (b-a)³

form. di Cavalieri-Simpson

I ≈ I_CS = ^b-a/₆ (f(a) + 4 f(c) + f(b))

c = ^a+b/₂

E_CS = - ^fIV(ξ)/₂₈₈₀ (b-a)⁵

Formule composte

[a, b]

Suddividiamo [a, b] in n suddivisioni (sottointervalli)

x₀ x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆

a                                                         b

Integrali: formule di quadrature numerica

I = ∫_a^b f(x) dx

form. dei trapezi

I ≈ I_TR = (b-a) (^f(a)+f(b))/₂

E_TR = -^f''(ξ)/₁₂ (b-a)³

form. di Cavalieri-Simpson

I ≈ I_CS = ^b-a/₆ (f(a) + 4 f(c) + f(b))

c = ^a+b/₂

E_CS = -^{f⁽⁴⁾(ξ)}/₂₈₈₀ (b-a)⁵

Formule composte

[a, b]

Suddividiamo [a,b] in n suddivisioni (sottointervalli)

x₀ x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆

a b

∫_a^bf(x)dx = ∫_x0^y₁f(x)dx + ∫_x1^y₂f(x)dx + … + ∫_x5f(x)dx

Su ciascun sottointervallo applico la formula dei trapezi (oppure la form. di Cav.-Simpson)

Esempio con la form. dei trapezi

Su ciascun sottointervallo ∫_xi^x_i+1f(x)dx ≈

≈ (x_i+1 - x_i) (f(x_i) + f(x_i+1))/2

∫_a^bf(x)dx ≈ ∑_i=0^m (x_i+1 - x_i)(f(x_i) + f(x_i+1))/2

Con Cavalieri-Simpson, invece,

∫_a^bf(x)dx ≈ ∑_i=0^m (x_i+1 - x_i)/6 (f(x_i) + 4 f(x^*) + f(x_i+1))

x_i^* = (x_i + x_i+1) / 2

Caso particolare: abbiamo n suddivisioni in parti uguali di [a, b]

L'ampiezza di ciascuna suddivisione è h = (b-a) / m

I ≈ I_TR = ∑_i=0^m-1 (x_i+1 - x_i) (f(x_i) + f(x_i+1)) / 2

= ∑_i=0^m-1 h (f(x_i) + f(x_i+1)) / 2

= h (f(x₀) / 2 + f(x₁) + f(x₂) + ... + f(x_n-1) + f(x_n) / 2)

Per l'errore, abbiamo da considerare la somma degli errori su ciascuna suddivisione

E_TRcomp = ∑_i=1^m (-f''(ξ_i) / 12) h³

= - _b³ / 12

1. f" (ξ_i)

f è continua ed è di Classe C² in [a;b]

Per le f" sappiamo che esiste massimo e minimo in [a;b]

∀ x ∈ [a;b] : m ≤ f" (x) ≤ M

∀ ogni ξ_i : m ≤ f" (ξ_i) ≤ M

Sommano ciascuna di queste relazioni :

m m ≤

1. f" (ξ_i)

m ≤

1. f" (ξ_i)

Sì. Tra m e M, minimo e max delle f"

∃ ξ ∈ [a;b] (che non conosciamo) t.c.

f" (τ) =

1. f" (ξ_i)

t.c.

E_TACcomp = - ^h3⁄₁₂ ∑^m_i=1 f^""(ξ_i)

= - ^h3⁄₁₂ m ∑^m_i=1 f^""(ξ_i)

= - ^h3⁄₁₂ m f^""(ξ)

= - ¹⁄₁₂ (^(b-a)⁄_m)³ m f^""(ξ)

= - ¹⁄₁₂ (^(b-a)⁄_m)³ f^""(ξ)

= - ¹⁄₁₂ h² (b-a) f^""(ξ)

Per l'errore di Cav. Simpson composto