Impianti industriali

A B C D E F

2,881 2,944 1,726 1,897 0.907 1,756

3 3 2 2 1 2

Table 2

Questi valori, per calcolare la superficie dei reparti, devo, per ciascuna

delle macchine, moltiplicarli per 6, per 4 e per 1.25:

Area del reparto k 6 4 1.25

= ⋅ ⋅ ⋅

j Page 159

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2

Questo poichè l’area di ogni macchina è di 6m , il testo poi mi dice che

devo considerare i centri di lavorazione 4 volte l’area occupata dalle macchine e

1.25 è un coefficiente moltiplicativo che la consegna mi dice pure di considerare.

Facendo questo calcolo per ciascuna macchina ottengo che le aree dei reparti

sono: A B C D E F

90 90 60 60 30 60

Table 3

Andando poi a rappresentare in scala questi reparti rettangolari, che sap-

piamo essere disposti come visto nella figura (145), conoscendo dalla consegna

che il rapporto tra i lati dei reparti è di 2 a 1, e sapendo che l’area dell’officina,

essendo rettangolare, è pari a a b (a e b sono i lati), per conoscere le dimensioni

⋅

di ciascun reparto devo risolvere il seguente sistema:

a

⎧ 2

=

⎪ b

⎪

⎪

⎪

⎪

a a a a

⎪ = + +

a d e

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

a a a a

⎪ = + +

f c b

⎪

⎪

⎪

⎪

b b b

⎪ = +

⎪ 1 2

⎪

⎪

⎪

⎪

a b 90

⎪ ⋅ =

⎪ a 1

⎨

a b 60

⎪ ⋅ =

d 1

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

a b 30

⎪ ⋅ =

e 1

⎪

⎪

⎪

⎪

a b 90

⎪

⎪ ⋅ =

b 2

⎪

⎪

⎪

⎪

a b 60

⎪ ⋅ =

⎪ c 2

⎪

⎪

⎪

⎪

a b 60

⎪ ⋅ =

f 2

⎩

Svolgendo il sistema di equazioni ricavo le seguenti dimensioni e la dispo-

sizione in scala del layout a blocchi dei miei reparti:

Figure 146: Layout in scala Page 160

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14.2 Esercitazione 2

14.2.1 Esercizio 1 Figure 147

Parliamo un pò di questo esercizio, rispetto all’esercitazione precedenza il difetto

qua viene rilevato alla fine di ciascuna lavorazione, tradotto significa che: il

pezzo A fa la lavorazione utensile 1, a valle di questa macchina ci sarà un

sistema di ispezione privo di errori, il quale che scarterà i difettosi lasciando i

conformi, i quali verranno poi dati in pasto alla macchina seguente e cosı̀ via.

Per applicare la formula del calcolo del numero delle macchine dovrò trovare

quindi Q macchina dopo macchina. L’esercizio mi chiede dunque di calcolare

′

ij

k , inutile dire però che il caso sarebbe analogo qualora volessi calcolare k .

3 2

Iniziamo!

Noi vogliamo: Q t Q t

′ ′

⋅ + ⋅

A3 B3

A3 B3

+

k int

= [ ]

3 A ng nt 8 60 η

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

3 3

La lavorazione del pezzo A è la seguente: Page 161

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Figure 148

Ciò che devo calcolare è Q , ovvero i pezzi che escono dalla macchina 1 e

′

A3

entrano in 3. Considero Q 10.000, questa sarà la quantità in uscita dalla

=

A

macchina 2, prendo questa quantità e la ”porto dietro” a inizio ciclo. Calcolo

dunque la quantità maggiorata Q Q in ingresso alla macchina 1 come:

′ ′

=

A A1

Q Q

A A

′ ′

Q Q 10306.101

= = =

=

A A1 3

0.01)

d (1 −

(1 −

∏ Aj

j∈J

A

Il calcolo di Q è dunque ovvio: a noi interessano i pezzi conformi usciti

′

A3

da 1 e in ingresso a 3, quindi la quantità appena calcolata deve tenere conto del

passaggio per 1 e della conseguente difettosità della macchina 1, con successiva

rimozione dei pezzi. Dunque:

′ ′

Q Q d 10203, 04

= ⋅ (1 − ) =

A1

A3 A1

Analizzo ora il ciclo di lavorazione di B che è il seguente:

Figure 149 Page 162

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sostanzialmente il procedimento è lo stesso, tuttavia ciò che devo calcolare

ora saranno i pezzi conformi in uscita da 2 e in ingresso tra 3, quest’ultima

prima si trovata tra la macchina 1 e la 2, ora però si trova dopo la 1 e la 2,

il calcolo dunque dovrà tenere conto della difettosità delle suddette macchine.

Quindi, prima di tutto calcolo: Q

Q B

B

′ ′ 6183, 661

Q Q = =

= =

B B1 3

d 0.01)

(1 − (1 −

∏ Aj

j∈J B

e dopodichè: ′ ′

Q d d 6.060, 606

Q = ⋅ (1 − ) ⋅ (1 − ) =

B1 B2

B3 B1

Andando dunque al calcolo di k (i t sono trascurabili da testo):

A

Q t Q t

′ ′ 04 10) 606 14)

⋅ + ⋅ (10203, ⋅ + (6060, ⋅

A3 B3

A3 B3

+

k int 1.763 2

= [ ] = = ≈

3 A ng nt 8 60 η 0.96 240 1 8 60)

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

3 3

che arrotondato all’intero successivo è appunto 2. Servono dunque due mac-

chine di tipo 3.

14.2.2 Esercizio 2 Figure 150

In questo esercizio utilizzeremo l’approccio deltaedrico del metodo dei grafi. Si

parte dalla tabella di relazione, si convertono le relazioni qualitative di adiacenza

in quantitative, dopodichè si ribalta la tabella. Quindi si calcola il TCR e si

posizionano inizialmente i 4 reparti con più alto TCR ai vertici di un tetraedro,

con archi rappresentativi delle richieste di adiacenza a congiungere i vertici.

Posiziono dunque il quinto reparto nella faccia che mi permette di avere il

maggior incremento della funzione obiettivo, ricordando che quest’ultima è di

soddisfacimento delle richieste di adiacenza. Iniziamo! Page 163

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Figure 151: Tabella di relazione

Ho ribaltato la tabella e ho scritto accanto il valore quantitativo delle richi-

este di adiacenza. Procedo ora col fare le dovute sostituzioni e col calcolo del

TCR (somma dei valori di una riga)

Figure 152: Calcolo TCR

I quattro reparti a TCR più alto sono l’1, il 2, il 3 e il 5 e li posiziono in un

tetraedro cosı̀: Figure 153: Tetraedro di partenza

Ovviamente non importa se 1 sta al centro o in alto etc, i vertici devono

essere questi disegnati in questo modo ma la loro posizione è indifferente. Ora

bisogna capire dove mettere 4, in quale delle facce disponibili (indicate dal

puntino rosso). La faccia che dovrò scegliere è quella che mi massimizza la

funzione obiettivo che sappiamo essere la (4): Page 164

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N N

max x r

∑ ∑ ij ij

i=1 j=1

Nel mio caso dunque la funzione obiettivo è pari a:

3 81 27 3 81 27 222

+ + + + + =

ovvero la somma tra le richieste di adiacenza dei reparti posizionati. Tor-

nando a noi, 4 posso posizionarlo nella faccia 1 2 3, in quella 1 3 5, in quella 1 2

5 o nella 2 3 5. Ad essere onesti la soluzione in questo caso è visibile immediata-

mente, poichè dalla tabella di relazione noto che 4 ha una richiesta di adiacenza

U(=0) con 5, e dunque le posizioni adiacenti a 5 non massimizzeranno affatto

la mia funzione obiettivo, lo vedo dalla tabella sottostante:

Figure 154: Calcolo degli incrementi

La posizione che massimizza la F.O. è quella di 4 all’interno della faccia 1 2

3, per un totale di richiesta di adiacenza soddisfatta parti a 222+63=285

Figure 155: Posizione ottima di 4

Ora, non è richiesto dall’esercizio ma noi lo facciamo comunque. Con-

siderando che il numero massimo di adiacenza soddisfatto è sempre (3N-6),

nel nostro caso: ′

3N 6 9 poiche nel nostro caso N 5

− = =

Il grafo da noi trovato è un Massimo Grafo Pesato Piano cui corrisponde

un valore della F.O.=285 pari all’upper bound, somma delle più alte 3N-6

Page 165

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richieste di adiacenza. Andandone a fare il duale e successivamente il duale

del duale, è possibile capire come disporre questi reparti:

Figure 156: Duale e layout per reparto

D’altronde le richieste di adiacenza sono rispettate, 2 è adiacente a tutti i

reparti, 5 lo è con 3 con 1 e con 2 ma non con 4 etc etc. Page 166

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14.3 Esercitazione 3 Figure 157

Per prima cosa rappresento il mio grafo di relazione: Page 167

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Figure 158

Svolgimento e conclusione a):

La capacità produttiva (produttività) richiesta alla linea (pezzi/minuto) per

soddisfare la domanda è :

Q 11.000 pz/anno

p = = =

orizzonte temporale di rif erimento 6 60 40 0.97) min/anno

(8 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

0.0984 pz/anno

=

Svolgimento e conclusione b):

Il tempo di ciclo richiesto è: 1

t 10.16 min

= =

c,rich p

Svolgimento e conclusione c):

Un lower bound per il numero di operatori necessario è 3. Tale numero è pari

al numero minimo di stazioni, data l’ipotesi che per ogni stazione è previsto un

solo operaio. E’ ricavato come l’intero superiore del max fra i due lower bound

(31) e (32) N t 27

∑ i

i=1 +

mink intero∣k int 3

{k ≥ } = [ ] =

t 10, 16

c

n 2 +

mink{k intero∣k int 1 n 1 h n 0

≥ (n + ) = [1] = = → =

1 1 2

2

essendo n 1 il numero di operazioni elementari con tempo di esecuzione

=

1

t c,rich

superiore a , ossia solo l’operazione h ed n 0 numero di operazioni con

=

2

2 t

c,rich

tempo uguale a .

2 Page 168

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Svolgimento e conclusione d - RPW):

Dobbiamo calcolare il P W per ciascuna operazione sapendo che, dalla (40)

i P W t t

= + ∑

i i r

r∈S

i

ottenendo i seguenti risultati e la seguente disposizione (rispettando i vincoli

di precedenza e del tempo di ciclo):

Figure 159

L’attività b e d hanno lo stesso PW ma differente durata, nel rispetto dei

10 9 8

vincoli che conosciamo bene la migliore disposizione è f, d) e, g, c)

(a, (b, (h)

Svolgimento e conclusione d - Jackson):

Tornando al grafo di relazione, procediamo col metodo di Jackson. Nel

rispetto del tempo di ciclo e dei vincoli di precedenza, le possibili prime stazioni

sono le seguenti: Figure 160

a

Applicando la 2 regola di Jackson, il percorso 3 (a,e,f) è eliminato dal

percorso 2 (a,d,f),considerando Y=(a,d,f) con y=(d) che dura 2 e X=(a,e,f)

con x=(e) che dura 1. Per lo stesso ragionamento anche il percorso 4 (a,d,e) è

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eliminato da 2, considerando Y=(a,d,f) con y=(f) che dura 3 e X=(a,d,e) con

x=