Sistemi di generatori

Sistemi di generatori

Un sottoinsieme X ⊆ V (K) si dice sistema di generatori per V (K) se I (X) = V (K).

Se X è un insieme finito allora V (K) si dice finitamente generato.

Esempi

1. (kⁿ, +) {e₁, ..., e_n} è una base di kⁿ

L ({e₁, ..., e_n}) = kⁿ → kⁿ è finitamente generato.

2. (k^m,n, +)

e_ij = A = (_{a11 a12} ... _a1n... ... ... ..._{am1 am2} ... _amn)  = (_a11 0 ...... ... ...0 0 ... ) + (_{0 a12} ...... ... ...0 0 ... ) + ... + ()= a₁₁E₁₁ + Q₁₂E₁₂ + ..., + a_mnE_mn

{E₁₁, ..., E_mn} ∈ k^m,n

{E₁₁, ..., E_mn} è un sistema di generatori per k^m,n → k^m,n è finitamente generato.

3. K [x]

p(x) ∈ k [x]

p(x) = a₀ + a₁x + ..., + a_nxⁿ

p(x) ∈ L ([₀x⁰, x¹, ..., xⁿ])

S = {xⁱ | i ∈ ℕ } → L(S) = K[x]

S è infinito.

K[x] non è finitamente generato → non c'è.

4. K_q[x] = {p(x) ∈ k[x] | deg(p(x)) ≤ n} = { ∑₀a_ixⁱ | a₀, ..., a_n ∈ {}}

&L ([x₀, x₁, x_n]) → K_q[x]₁ è finitamente generato.

Lemma di Steinitz

Si mette in relaz. a max di vett. indp. e il sistema di generatori.?

Sia V (K) uno spazio vettoriale finitamente generato. Siano G un sistema di generatori per V (K) e I un insieme di vettori linearmente indipendenti...

| I | ≤ | G |

Cardinalità: numero di elementi, di un insieme (z).

Conseguenze

1. (kⁿ, +), {e₁, ..., e_n} è un sistema di generatori.

... → è il numero max di vettori linearmente indipendenti. è n.

Sistemi di generatori

Un sottoinsieme X ⊂ V(IK) si dice sistema di generatori per V(IK) se L(X) = V(IK).

Se X è un insieme finito allora V(IK) si dice finitamente generato.

Esempi

1. (IKⁿ, +, ·) … {e₁, …, eₙ} è una base di IKⁿ … L({e₁, …, eₙ}) = IKⁿ ⇒ IKⁿ è finitamente generato.
2. (IKⁿ⁻ⁿ, +, ·)

A = \[ \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11} & \cdots \\ \cdots & \cdots \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}a_{12} & \cdots \\ \cdots & \cdots \end{bmatrix}+\cdots+\begin{bmatrix}a_{1n} & \cdots \\ \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}\]= a₁₁ E₁₁ + a₁₂ E₁₂ + ⋯ + aₘₙ Eₘₙ

{E₁₁, …, Eₘₙ} è un sistema di generatori per IKⁿ⁻ⁿ ⇒ IKⁿ⁻ⁿ è finitamente generato.

3. IK[x]
4. p(x) ∈ IK[x]
5. p(x) = a₀ + a₁x + ⋯ + aₙxⁿ ∈ IK[x], a₀, …, aₙ ∈ IK

IK[x] non è finitamente generato ⇒ non c'è … … finitamente generato … polinomi.

4. IK[x] = { p(x) ∈ IK[x], deg(p(x)) ≤ n } = { a₀ + a₁x + ⋯ + aₙxⁿ , a₀, …, aₙ ∈ K }

Lemma di Steinitz

Si mette in relaz. a max di vett. ind. e i sistemi di generat.?

Sia V(IK) uno spazio vettoriale finitamente generato. Siano G un sistema di generatori per V(IK) e I un insieme di vettori linearmente indipendenti.

|I| ≤ |G|

Cardinalità = numero di elementi di un insieme (Z₇).

Conseguenze

1. (IKⁿ, +, ·), {e₁, …, eₙ} è un sistema di generatori.
2. Max = il numero max di vettori linearmente indipend. è n. = dim (IKⁿ) = n (teorema di Steinitz)

2) \( (k^{m \times n } , +, \cdot ) \) \(\left\{ E_{1}, \cdots , E_{m, n} \right\} \) è un sistema di generatori.

\(\max \left\| \begin{array}{c} L(E)= L(E)+ \text{ n.max } \# \text{vettori.linearmente.indipendenti.}\end{array} \right\| \Leftrightarrow m=n\)

3) \(k_{n}[x] \left\{ x, \cdots, x^{n} \right\} \) è un sistema di generatori.

\text{numero massimo di vettori linearmente indipendenti in } k_{n}[x] = n+1

Basi e dimensione

Sia B \(\subset \) \(V(k)\). Se \( \Rightarrow \) a) B è un sist. di generatori per \(V(k)\) b) B è un sist. di vettori linear. indep. \(\Rightarrow \) B si dice base di V(k).

Teorema

Sia \(V(k)\) uno spazio vettoriale finitamen. generato. Allora tutte le basi sono equipotenti ossia hanno tutte lo stesso numero di elementi.

Dim.

Siano \(B_{1}\) e \(B_{2}\) due basi di \(V(k)\).

\(B_{1}=\text{base}\rightarrow\) 1) \(B_{1}\) è un sist. di generatori \(\Rightarrow\) 2) \(B_{1}\) è un sist. linear. independ.

\(B_{2}=\text{base}\rightarrow\) 1) \(B_{2}\) è un sist. di generatori. \(\Rightarrow\) 2) \(B_{2}\) è un sist. linear. independ.

Poiché \(B_{1}\) è un sist. di generatori e \(B_{2}\) è un sistema linear. indep.

Si ha:

\(\left|B_{2}\right| \leq \left|B_{1}\right|\)

\(\left|B_{2}\right| = \left|I \right|\)

\(\left|B_{1}\right| = \left|G \right|\)

Poiché B4 è un sistem. di vett. linear. independ. e \(B_{2}\) è un sist. di generat.

\(\left|B_{1}\right| \leq \left|B_{2}\right|\)

\(\Rightarrow\) \(\left|B_{1}\right| =\left|B_{2}\right|\)

Sia \(V(k)\) uno spazio vettor. finitam. generato. Si definisca dimensione di \(V(k)\) la cardinalità di una sua qualunque base.

Indichiamo la dimensione con: dim(\(V\left[ k\right]\)).

Esempi

1. \(lk^{n}\) \(\mathbf{B} = \left\{e_{1}, \cdots, e_{n} \right\} \) base naturale/canonica di \(ik^{n} \Rightarrow \text{dim}(\left|k\right|)=&n\).
2. \(ik^{m \times n } \) \(\left\{E_{1}, \cdots, E_{m,n} \right\}\) è un sist. di generatori.

\(a_{u} \cdot E_{1} + \cdots + a_{u} \cdot E_{2} + \cdots + a_{m,n} \cdot E_{m,n} = 0\)

\(\left(\begin{array}{c} a_{u} \cdot \cdot \\ \cdots a_{m} = a_{u}\end{array}\right)=0\)

Ottengo:

\(\left(\begin{array}{c} a_{u} \cdot \cdot \\ \cdots a_{m} x_{j}\end{array}\right)\) \(\Rightarrow\) \( \begin{bmatrix} E_{4,,\cdots, E_{m,n}\\ \text{ èlinear.inindep.}} \end{bmatrix} \)

\(=E_{4,,\cdots \cdots E_{m,n} } \cdots \text{ è una base naturale di } ik^{m \times m} \)

\(\Rightarrow\) \(\text{dim}\left(k^{m\times n}\right)= &m-n\)

3. \(k_{n}[x]\) \(\left\{ x, \cdots, x^{n}\right\} \) è un sist. di generator.

\(a_{0}\cdot a_{1}+ a_{x} \cdots + a_{n} \cdot x^{n} = 0\) \(\Rightarrow\) \( \ a_{0}=a_{1},\cdots \ \cdots \ a_{n}=0\)

{x₁, x₂, ..., xⁿ} è una base di K[x].

dim (Iₖh Iₓ]) = n+1.

4. ℝ³ |vx = {x,y,0} —» x,y ∈ ℝ³= {(e₁,e₂, −e₂)} è quadr0 su cui lavora Io. Sempre un santo.

{e₁,e₂,e₃} e’ un sist. di generat. per w—» {e₁ − e₂} è una base di w.

K = (1,0,0).

In particolare dim(ℚ(3)) = 0 una sua base è σ.

Esistenza e costruzione di basi

Lemma

1. Sia x ∈ V(cK) sisteme di vettori linearmente indip e v, w ∉ L (x) ⇒ v ∪ {y, z} e’ lin. indep.
2. Sìa x ⊂ V(cK) e x ∈ x, esp. linear. ∃ {x₃ | cioè x ∈ L ({x₁,x₂,x₃}) ⇒ l (x, y, z) ≤ l (x)

Dim.

1) Come per I(ₖh2) X \ {x₃} ⊂ x \ {x₁,x₃} = l (x).

Th.: L (x) = l (x₁,x₃} x={x₁,x₂,x₃...xᵤ} ⇒ l(x₁,x₂,...x₃) = l(x).

v ∈ L (x) ⇒ esistono d₁,...dₛ₊₁ ∈ K.

v = d₁x₁ + … + dₛxₛ + dₛ₊₁ x ⇒ x.

Dall’ípo x, prende linear.m da X \ {x₃} ⊂ {x₁,...,x₃}, cioé x = β₁x₁ + ... + βₛ xₛ.

β₁,...,βₛ ∈ 1K.

v = d₁x₁ + ...dₛxₛ + dₛ₊₁ x + (β₁x₁ + ... + βₛ xₛ)= (d₁ + dₛ₊₁ − β₁) x₁ + (d₂ + dₛ₊₁ − β₂) x₂ + ... + (dₛ + dₛ₊₁ − βₛ) xₛ

⇒ v ∈ L ({x \ x = L (x \ {x₃ x}).

L (x) = l (x \ {x₃}).

L (x) = l (x \ {x₃}).

Teorema (esist. delle basi)

Se V(cK) = Finit genr. ⇒ V(cK) ammette una base.

Le basi possono essere costrutite:

1. Complet. un sist. di vett. lineor. indepen.
2. Elominando vettori dipendenti da un sist. di generatori.

Teorema (caratteriz. delle basi)

Sia v(cₖ) uno spazio di dimensione n sono equivalenti, le seg propo:

1. β e è uno base di v(cₖ);
2. β e è un sist. lincar.incp {β = e₁;}...;
3. β e è un sist. di vett. lineaor. massimole, cioé ogni insieme d v(cₖ) conternente peporiginale β e’ lineaor.

4) B è un sist. di generat. e |B|=n.

5) B è un sist. di generat. minimale, cioè non contiene propriam. nessun sist. di generatori.

Proposizione

Sia _dim(V())=n e sia w un suo sottospazio. Allora:

_dim(w)≤n.

_dim(w)=n ⇔ w=V().

Dim.

Sia B_w una base di w → B_w è un sist. di vett. linear. indip. e quindi dal teore. di esist. delle basi, possiamo estendere B_w a base di V(), ottenendo BB base di V() con B ⊇ B_w |B|=n, |B| ≥ n.

⇒ _dim(w)=|B_w|≤n.

Supponiamo che _dim(w)=n ⇔ B_w è un sist. di vett. linear. indipen. con n elementi, ed B_w è anche base di V().

⇒ w=L(B_w)=V().

w=V().

Corollario

Siano U e W due sottospazi di V(). Se U⊆W e _dim(U)=_dim(W) ⇒ U=W.

Esempi

1. Stabilire quali dei seg. sottospais sono sottosp. e determ. b dimension. e una base.

A = { ( x, y, z ) : x = 3z ∈ ℝ³

1. { ( 2, y, z ) : y, z ∈ ℝ L ({ (3,0,1) , (0,2,0) })

(2,y,z) = (2, 0, z) + (0, y, 0) = 2(1,0,0) + y(0,1,0).

A è un sottospazio di ℝ³.

{ ( 1, 0, 0 ) , ( 0, 1, 0 ) } è un sist. di generat. per A.

{ ( 1, 0, 0 ) , ( 0, 1, 0 ) } è una base per A.

⇒ _dim(A)=2.

T = { ( x, y, z, t ) : x+y+z=2t ∈ ℝ⁴ x=4t+6y=2tz=0 L ({ (2t+6-y, y, z, 2t) ) T è un sottospazio.

{ (2,4,1,0) , (0,0,1,0) , (-4,2,0,2) } è un sistema di gener.

⇒ {(1,0,0,0), (0,0,1,0), (-1,1,0,0)} è una base per T.

_dim(T)=3.

S = { (_a^b) , _a=0 | a, b ∈ ℝ } ⊂ ℝ² { (_c^d) , _b=0 } = { (_b^o) , b, d ∈ ℝ } = L { (₁⁰), (₀¹) }.

Se S è un sottosp.cran rapporex₂ { (₁⁰), (₀¹) } è un sist. di gener. per S =⇒ una base per S dim(S) = 2.

Ho solo 2 elementi.

Esercizi

1. W = { (x, y, x+y) : x, y ∈ ℝ }

U = {_c(0, y, z) : y, z ∈ ℝ } ⊂ ℝ³.

W = L { (1, 0, 1), (0, 1, 1) }.

{ (1, 0, 1), (0, 1, 1) } è una base per W =⇒ sono indipen. dim(W) = 2.

U = L { (c(0, 1, 0), (c(0, 0, 2)) } è un sottospazio.

{ (1, 0, 1), (0, 0, 2) } sono un sistema di generettore =⇒ sono indipen. =⇒ sono una base dim(U) = 2.

3 Completare una base di W ad una base di ℝ.

Aggiungo vettori unitari.

B_W = { (1, 0, 1), (0, 1) }.

e₁ ∈ W ? (1, 0, 0) = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 1) = (x, y, x+y) x = 1 y= 0 x+y = 0.

e₁ ∉ W=⇒ { e₁ + (1, 0, 1), (0, 1) } sono 3 vettor linearim indipen. di ℝ³, formano una base.

Nota

A = (₁ ⁰ ₀ ¹ ₀ ⁰).

det(A) = (₀ ⁰₁).

Aggiunge e₃ no aggiunta vettoreunitario che no è all’interno del determinante della matrice.

Determinare w ⋂ U (x, y, x+y) ∈ W = (0, t, z=z) ∈ U.

w uno! uno! essere esseredeterm t! ccortore costrusubapte via (0, y, y) = (0, t, z=z) t = z.

{0, 4, y} = {0, t, t}.

U ∩ W = {5(0, 4, y); y ∈ ℝ}.

₃L = L({(0, 1, 1)}) è un sottospazio.

L è una base di U ∩ W.

dim(U ∩ W) = 1.

2. Considerati, in ℝ⁴ i vettori u₁ = (1, 0, 0, 4) u₂ = (0, 0, 0, 0) u₃ = (-2, -2, -2, -2).

Determinare U = L({u₁, u₂, u₃}).

dim 2 colonne sono non zerate.

1 0 0 4 0 0 0 0 -2 -2 - 2 sono uguali ∈ ℝ⁴ rg = 2.

{u₁ , u₂ } è una base per U.

Sono linearmente indipendenti.

dim(U) = 2.

• Completare a base di ℝ⁴.

1 1 A 10 B0 C0 = D prendo matrici di colonne 2 colonne - 0.

Aggiungo 2 vettori unitaria 2.

B_UU = {e₁ , e₂ , e₄ } è una base di ℝ⁴.

3. U = {x 2x 0 y - x y - z x, y, z ∈ ℝ }

W = {x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ } x₆ = 2x₁ + x₂ x₃ 0 x₅ = x x.

U, W ∈ ℝ₃³ ⇒ dim(2, 3)= 6.

U = L({(1, 2, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 0)}).

Sistema di generatori.

d(1|0|0) + β(0|0|0) + γ(0 0) = 0 (0 1 0|0) (0 0)2d0 d 0 0β - β dx 02d 0 d = β = x = 0 β = 0y - β =0 x = 0.

Le matrici sono linearim. indipendenti.

{(1, 2, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 0)} {0, 1, 0, (1 - x 0), (1 0 0)} è una base per U.

dim(U) = 3⁴ numero di elementi.

W = { (x₄ x₂ x₃ x₄x x₆ = 2x + x₂x₃ = 0x₅ = x₁x₄, x₂, x₄ ∈ ℝ = { (x₄x₂0x₄2x + x₂ ) ,x₄, x₂, x₄ ∈ ℝ }.

= [([1 0 00 20 0) , (0 1 00 02 0) , (0 0 01 00 0)] sono sist. di generatori sono lin. Ind. dunque sono una base?

x₁ (1 0 0) + t * x₂ (0 01 0) + x₁ (0 0 01 00 0) = (0 0 00 00 0x₁ = x₂ = x₄ = 0=> [1 0 00 20 0], (0 0 01 00 0) è una base di W, dim(W) = 3.

Sottospazi somma

U = { (a,0) : a ∈ ℝ³ }.

W = { (0,b) : b ∈ ℝ³ }.

U ∪ W non è un sottospazio poiché, (1,0), (0,1) ∈ U ∪ W U ∩ W non è un sottospazio.

Si definisce sottospazio somma di U e W:

U + W = { u + w : u ∈ U, w ∈ W }.

Proposizione

U,W ⊆ V (K)

• U + W è un sottospazio.
• U + W = [ U ∪ W ]_{sottosp. min.} (U ∪ W).

Dim.

U + W è un sottospazio.

0 ∈ U (poichése sottospazio 0 ∈ W=> 0 = 0 + 0 ∈ U + W.

v₁, v₂ ∈ U + W u₁ ∈ U +v₁ = u₁ + w₁, u₂ ∈ U u₂ + w₂ ∈ U + W.

w₁ ∈ Wd (u₁ + W₁) + B(u₂ + w₂) e U + W = d[u₁ + Bu₂] + (dW₁ + BW₂) ∈ U + W.

() cambiar colore perché creal’operaz. è un sottospazioo ∈ C subsettere concremèa indicabbine il forme essere in 0¦ (contenir unis d base in U)=> U + W è un sottospazio.

Dim

L(U + W) ⊆ U + W.

v ∈ L(U ∪ W) ⇒ v = a₁u₁ + ... + aₛuₚ + b₁w₁ + ... + bₜwₜ.

u ∈ U ∪ W ⇒ aₖ e w⇒ v ∈ U + W.

⇒ L(U ∪ W) ⊆ U + W.

⇒ L(U ∪ W) = U + W.

Osserva

U + W = L(U ∪ W).

Bu base di U e Bw base di W ⇒ U + W = L(Bu ∪ Bw).

Corollario

Siano W₁, ..., Wk sottospazi di V (K) ⇒ W₁ + W₂ + ... + Wk = {w₁₁ + w₁₂ + ... wₖ︓͔ j |(w₁₄, ..., wₖ) ∈ W₁ × ... × Wk}= L(W₁ ∪ ... ∪ Wk).

Def

Due sottospazi U, W (K) tali che U ∪ W = {0} si dicono sommarsidiretti.

Il sottospazio somma U + W = U ⊕ W = somma direttatario in comune.

Se U ^⊕ W = V (K) allora U e W si dicono supplementari.

Proposizione

Se U e W sono somme dirette, allora ogni vettore di U+W si scrive in un unico modo come somma di un vettore di U e uno di W.

Dim

Sia u + w ∈ U ⊕ W e supponiamo che v = u₁ + w₁ = u₂ + w₂ dove u₁, u₂ ∈ U w₁, w₂ ∈ W.

Th : u₁ + w₁ = u₂ + w₂.

u₁ + w₁ = u₂ + w₂.

w₁ − w₂ = u₂ − u₁.

u₂ ∈ U − U ⇒ u₂ = u₁.

z = w₂ − w₁.

z = u₂ − u₁ ∈ W⇒ z = 0.

W ∩ U = 0 ⇒ u₁ = u₂.

w₁ − w₂ = 0 ⇒ w₁ = w₂.

Esempi

In R⁴ :

U = {(x, y, z, t) : x + y + z = 0²

W = {(a, 2a, 0, b) : a, b ∈ R}