Sistema di Vettori e Sistema di Generatori (Teoria + Esempi e Dimostrazioni)

Vettori proporzionali

Due vettori V₁ e V₂ ∈ V si dicono proporzionali <=> ∃k∈K: µ=k∙γ

Esempi

• In K³ i vettori (3, -1, 0) e (6, -2, 0) sono proporzionali.
• In K⁴ i vettori (1, 1, -1, 4) e (-2, -2, 2, -8) sono proporzionali.
• In K³ i vettori (3, 0, 2) e (3, 4, 3) non sono proporzionali poiché moltiplicando il primo vettore per un qualunque k∈K non si ottiene il secondo vettore e viceversa.

Linearità e dipendenza

Ogni sistema di vettori contenente 2 vettori proporzionali è linearmente dipendente.

Dimostrazione

S = {V₁, V₂, ..., Vₙ} con due vettori proporzionali Vᵢ, Vⱼ => S = {V₁, V₂, ..., Vᵢ-₁, Vᵢ+₁, ..., Vⱼ, Vⱼ+₁, ..., Vₙ} [Vᵢ = k∙Vⱼ]. Consideriamo la seguente combinazione lineare: 0∙V₁ + 0∙V₂ + ... + 0∙Vᵢ-₁ + 0∙Vᵢ+₁ + ... + 0∙Vⱼ-₁ + (k)∙Vⱼ + 0∙Vⱼ+₁ + ... + 0∙Vₙ = Vᵢ - k∙Vⱼ = 0. Poiché è espressione della combinazione lineare non con tutti nulli, S è linearmente dipendente.

Un sistema formato da due vettori S = {V₁, V₂} è linearmente dipendente <=> V₁ e V₂ sono proporzionali.

Dimostrazione

(=>) Supponiamo S linearmente dipendente => combinazione lineare: a₁∙V₁ + a₂∙V₂ = 0 ; aᵢ≠0 ◯ Supponiamo a₂≠0; dunque ∃ a₁ : aᵢ∈K : a₁ᵢ = A ◯oPossiamo trasporre il vettore 2₁V₂ dal primo al secondo membro sommando ad ambo i membri -2₁V₂ ∈ V: a₁V₁ - a₂V₂ = 0. Moltiplicando ambo i membri per a₁/-A; si ottiene a₂/-A ovvero V₁ = -a₂/a₁ V₂ => V₁ e V₂ sono proporzionali ◯o

(=<) Ovvia.

Vettori proporzionali

Due vettori _u, _v ∈ V si dicono proporzionali ↔ ∃ k ∈ K, u = k·v

Esempi

• In K¹ i vettori (3, -1, 6) e (6, -2, 0) sono proporzionali.
• In K¹ i vettori (-1, 4, 2) e (-2, 2, 4) sono proporzionali.
• In K¹ i vettori (3, 0, 0) e (3, 3, -3) non sono proporzionali perché moltiplicando il primo vettore per un qualunque k ∈ K non si ottiene il secondo vettore e viceversa.

Linearità e dipendenza

Ogni sistema di vettori contenente 2 vettori proporzionali è linearmente dipendente.

Dimostrazione

S = {_vi, _vj} con due vettori proporzionali _vi, _vj ⇒ S = {_vi, _vj} = {_vj, a₁ · _vj ,…,a_n · _vj}, a₁ = ±1, …,a_n = ±1, _vi = k·_vj. Consideriamo la seguente combinazione lineare: a·_vi + 0 ·_vj + (k) ·_vj + 0 = 0. a·_vi - k ·_vj = 0 perché coefficiente della combinazione lineare non sono tutti nulli. S è linearmente dipendente.

Un sistema formato da due vettori S = {_v1, _v2} è linearmente dipendente ⇔ i vettori sono proporzionali.

Dimostrazione

(⇒): Supponiamo S linearmente dipendente ⇒ combinazione lineare: a_{1 v1} + a_{2 v2} = 0 (1) a₁ ≠ 0 (*). Supponiamo a₁ ≠ 0, dunque ∃ a₁ ∈ K, a₁ · a₁ · a = A. Da I uguaglianza(*) possiamo trasporre il vettore -a₂/_v2 dal primo al secondo membro sommando ad ambi i membri senza -a₁ ∈ V. a_{1 v1} = a_{2 v2}. Moltiplicando ambi i membri per a^-1₁ si ottiene a^-1₁ · a_{2 v2} = -a^-1_{1 v1}.

(⇐): Ovvia.

Esempio di vettori e sistemi

In K[x] 2(x⁵x) + 3(x + x⁴) = 2∙2x.1x³ + 3x⁴ + 2 ∙ ∆ x¹ + 3x¹

In k^v: A = (1 0 0) (2 ∆ 1 3)a (1 0 0) + b (0 ∆ 1) (0 2 0) (0 0 1)(a ∆ 0) = (0 0 0) da cui: a+b = 0, b = 0 ⇒ a-b = 0, a - 3b = 0 quindi il sistema A ∆ è linearmente indipendente. Si dice invece linearmente dipendente o anche legato se esiste una combinazione lineare di vettori di A uguale al vettore nulla con coefficienti non tutti nulli: a₁v₁ + a₂v₂ + a₃v₃ = 0 ai ≠ 0.

Esempio

In K²: A = {(1 0 2), (0 λ 1), (1 2 0)}} a (1, 0, 2) + b (0, λ, 1) + c (1, 2, 0) = (0, 0, 0) (a + c, bλ + 2c, 2a + b) = (0, 0, 0) a+c = 0, bλ + 2c = 0 ⇒ bλ + 2c = 0, 2a-b = 0. Sistema ammette soluzioni non nulle c = 1 ⇒ a = -1 b₂ = -1∆ è linearmente dipendente. Inoltre, OGNI SISTEMA DI VETTORI CONTENENTE IL VETTORE NULLO È LINEARMENTE DIPENDENTE.