Formulario Matematica finanziaria

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• Regime degli interessi semplici anticipati:

= ∗ ()

= ( )

−

( )

= − +1 = 1− = − +1

Regime degli interessi semplici anticipati

Tassi periodali

o

= ∗ =

= ( − ∗ ∗ )

d = Tasso annuo di sconto commerciale

Diverso tasso d’interesse negli anni ≠ ≠

❖ ➔ i i i etc.

1 2 3

• Regime semplice ( ) ( )

= 1 + ∗ … ∗ 1 +

1 1

• Regime composto

(

( ) )

∗ … ∗ 1 +

= 1 + 1

1

• Regime misto

( ) ∗ ( 1 + )

= 1 + 1 2 2

1

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3. Attualizzazione: =−

D = Sconto > 0

3.1 Regime semplice VS Regime composto; Regime dello sconto commerciale

Attualizzazione:

• (o Regime razionale):

Regime semplice ()

= ∗

φ(t) φ(t)

= Fattore di sconto, 0 < < 1

= ( )

+

( )

= −1 = 1+ = −1

• Regime composto: ()

= ∗

= ( )

+

ln ( )

( )

√

=

−1 = 1+

= ( )

ln 1+

• Regime dello sconto commerciale: ()

= ∗

( )

= −

= − +1 = = − +1

( )

1 –

Regime dello sconto commerciale

Tassi periodali

o

= ∗ =

= ( − ∗ ∗ )

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4. Altri tassi legati al Regime composto

• (TAN) convertibile mensilmente

Tasso Anno Nominale = ∗

j = j

m 4

es) TAN convertibile trimestralmente m = 4

Il TAN convertibile mensilmente si utilizza per ricavare il tasso periodale i , così trovando:

m

( )

= 1 +

= ( 1+ )

Tasso istantaneo d’interesse

•

= ( + ) = − 1

= ∗

−

= ∗

5. Operazioni finanziarie coniugate

φ

() ()

∗ = ,

Quando f e si dicono fattori coniugati.

• d e i coniugati

1 =

= 1 −

1 −

6. Equivalenze di regimi diversi

Le equivalenze in regimi diversi possono essere:

• Equivalenze per Montante (Capitalizzazione) 1

( 1 + ) =

1

es. ( 1 − )

2

• Equivalenze per Valore Attuale (Attualizzazione)

1 −

= ∗ 2

es. (1 + )

1

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1. Leggi finanziarie in 1 variabile

tassi d’interesse variabili

• a per scadenza

Capitalizzazione semplice =∗ ( )

[ ( ) ( )]

= + − + ⋯ + −

−

( )

= [ 1 + ∑ −

−1

+1

tassi d’interesse variabili

• a per scadenza

Capitalizzazione composta ( )

=∗ −

− ( )

( ) + ⋯ + +

= + −

−

( )

= ∏ 1 + −1

= 1

d’interesse

• e in una legge finanziaria

Tasso annuo Tasso annuo di sconto ()

= −

()

= −

• Scindibilità

Una legge finanziaria in una variabile si dice scindibile se e solo se:

( )= ( )∗

+ ( )

Una legge finanziaria a una variabile è scindibile quando è in Regime composto.

Una legge finanziaria a una variabile non è scindibile quando è in Regime semplice.

La scindibilità rappresenta l’efficacia:

Non vi è arbitraggio in Regime composto.

Vi è arbitraggio in Regime semplice.

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2. Leggi finanziarie in 2 variabili

• Capitalizzazione e Attualizzazione 1 1

( ) ( )

; = ; =

( ) ( )

; ;

= ∗ ( ; )

( )

= ∗ ;

Es. 2

( )

= 1 + 0,01 − + 0,02 ( − )

(;)

Calcolare il valore all’epoca x=3 di 100 disponibili a y=5.

Determinare il tasso d’interesse annuo composto effettivo finanziariamente equivalente.

1

1 = 100 = 97,276

= 0,028

(;) 5−3

= (1 + ) 1,028 = (1 + ) = 1,390%

(;)

• Scindibilità

Una legge finanziaria in due variabili si dice scindibile se e solo se:

( )

( )

; = ( )

Oppure: ( ) ( )

; = ; ∗ ( ; )

1+0,01

( )

; =

es 1) è una legge scindibile;

1+0,01

1+0,03

( )

; =

es 2) NON è scindibile perché non è una legge finanziaria;

1+0,05 0,05

( )

0,05 − 0,05 – 0,05

( )

; = = =

es 3) è una legge scindibile;

0,05

2

0,05 ( − )

( )

; =

es 4) NON è una legge scindibile;

1 1

1−0,02 1−0,02 ()

( ) = =

; = è una legge scindibile poiché

es 5) 1 1−

1−0,02 1−0,02

1+0,01

( )

Ф ; = ( )

Ф ;

es 6) è una legge scindibile poiché fattore di sconto reciproco

1+0,01

( )

;

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1. Flussi di cassa

> 0 ➔ Entrata di cassa

< 0 ➔ Uscita di cassa

a = Flusso di cassa

s

t = Istanti di tempo

s

( )

( ) ( ) ( ) + ⋯ + 1 +

= 1 + + ⋯ + 1 + = 1 +

1

1 1 1 1 1

1 1 1 1

= + ⋯ + = + ⋯ +

1 1

1

( ) ( )

( 1+ ) 1 + 1 +

( 1+ )

1 1 1

( ) ( )

= 1 − + ⋯ + 1 −

1 1

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2. Valore Attuale Netto o Net Present Value (VAN o NPV)

( ) + + ⋯ +

= ( ) ( )

( )

+ +

+

( )

= ∑ ( )

1 +

=0

3. Discounted Cash Flow (DCF)

( )= + + ⋯ +

( ) ( )

( )

+ +

+

• Investimenti puri t = 0 a < 0

0 0

ts > 0 a > 0

s

Data una operazione finanziaria di investimento puro si dice Tasso Interno di Rendimento (TIR)

il tasso annuo composto effettivo tale che G(x) = 0 (Con x > 1).

Ogni investimento puro ammette uno e un solo tasso interno definito TIR.

• Finanziamenti puri t = 0 a > 0

0 0

t > 0 a < 0

s s

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Data una operazione finanziaria di finanziamento puro si dice Tasso Effettivo Globale (TEG)

Г(x)

il tasso annuo composto effettivo tale che = - G(x) = 0 (Con x > 1)

Ogni finanziamento puro ammette uno e un solo tasso interno definito TEG.

4. Tasso Interno di Rendimento (TIR) =

+ + ⋯ +

( )= =

+

+

+

( )

( )

( )

Quando si svolgono i calcoli: 1

=

Risoluzione dell’equazione tramite sostituzione: porre 1

( )

1+

≤ V ≥ 1,

V = Fattore di sconto, 0 non accettare la soluzione negativa.

1

= 1 = −1

1

1

= − 1

=

1

pari, superiore o inferiore all’X%:

Se bisogna determinare il TIR

Es 1) Determinare se il TIR sia maggiore del 10%

Se l’operazione finanziaria è un

• investimento

NPV (10%) = G (0,1) = +50 > 0; allora TIR > 10%

NPV (10%) = G (0,1) = -70 < 0; allora TIR < 10%

NPV (10%) = G (0,1) = 0; allora TIR = 10%

Se l’operazione finanziaria è un

• finanziamento

NPV (10%) = G (0,1) = +50 > 0; allora TIR < 10%

NPV (10%) = G (0,1) = -70 < 0; allora TIR > 10%

Es 2) Determinare R affinché il TIR sia maggiore del 10%

➔

NPV (10%) = G (0,1) > 0 R > X

➔

NPV (10%) = G (0,1) < 0 R < X

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Se non viene specificato se la rendita sia posticipata o anticipata, la si intende posticipata.

1. Rendita posticipata temporanea −

− ( + ) ∗

() ()

= =

= ∗ ┐ −

() 1− ( 1+ )

() ()

∗

( + ) − ()

() =

=

= ∗ ┐

() ( 1+ ) −1