Formulario Matematica finanziaria

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Formulario matematica finanziaria

Matematica per Economia, Finanza, e managment (Università Carlo Cattaneo)

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FORMULARIO MATEMATICA FINANZIARIA

n

1. Dominio di una funzione in due variabili in R

𝑥+3 2

2 𝑥 + 1

𝐹(𝑥; 𝑦) (1 𝑦)

2 2

= + √4 − 𝑥 − 𝑦 + ln − 𝑥 + − 𝑒 +7

es. Determinare il dominio di 3

2𝑥 − 𝑦 + 2

3 3

2𝑥 − 𝑦 + ≠0 𝑦 ≠ 2𝑥 +

2 2

{

{ 2 2 2 2

4 − 𝑥 − 𝑦 ≥ 0 𝑥 + 𝑦 ≤ 4

2 2

1 − 𝑥 + 𝑦 > 0 𝑦 > 𝑥 − 1

2. Curve di livello

La curva di livello k di F(x;y) è F(x;y) = k –

es. Determinare la curva di livello di k=0 per F(x;y) = 3x y

– ➔

3x y = 0 y = 3x

3. Derivate parziali

Si definiscono derivate parziali di F rispetto alle variabile x e y le derivate prime di f:

𝛛 ′

′ (𝒙; )

(𝒙; ) ̅

̅ 𝒚 = 𝒇

𝑭 𝒚 = 𝑭 𝒙 𝒙

𝛛𝐱

𝛛 ′

′ (𝒙 𝒚)

̅;

̅; = 𝒇

𝑭 (𝒙 𝒚) = 𝑭 𝒚 𝒚

𝛛𝐲

3 2 2 ′ 2 ′ 2

𝐹(𝑥; 𝑦) = 𝑥 − 2𝑦 + 𝑥 𝑦 + 𝑥 𝑓 = 3𝑥 + 2𝑥𝑦 + 1 𝑓 = −4𝑦 + 𝑥

es 1) 𝑥 𝑦

2 2 2 2

(𝑥 (𝑥

) )

𝑦 + 𝑦 𝑥 + 𝑦

− 𝑥𝑦 (2𝑥) −𝑥𝑦 (2𝑦)

𝑥𝑦

𝐹(𝑥; 𝑦) = 𝑓′ = 𝑓′ =

es 2) 𝑥 𝑦

2 2 2 2 2 2 2 2

𝑥 + 𝑦 (𝑥 +𝑦 ) (𝑥 +𝑦 )

2 2 2

(𝑦−𝑥)

(𝑦−𝑥) (𝑦−𝑥) ′

𝐹(𝑥; 𝑦) = 𝑒 𝑓′ = 𝑒 ∗ (−2𝑦 + 2𝑥) 𝑓 = 𝑒 ∗ (2𝑦 − 2𝑥)

es 3) 𝑥 𝑦

lOMoARcPSD|9558543 2

2𝑥𝑦 𝑥

3 2 ′ 3 ′ 2 2 3

𝐹(𝑥; 𝑦) (𝑥 𝑦) (𝑥 𝑦)

= 𝑦 ∗ ln 𝑓 = 𝑦 𝑓 = 3𝑦 ∗ ln + 𝑦

es 4) 𝑥 𝑦

2 2 2

𝑥 𝑦 𝑥 𝑦

1 2𝑥 1 1

′

𝐹(𝑥; 𝑦) 2 𝑓′ = ∗ 𝑓 = ∗

= √ln(𝑥 + 𝑦)

es 5) 𝑥 𝑦

2 2

2 2

𝑥 +𝑦 𝑥 +𝑦

2 √ln(𝑥 +𝑦) 2 √ln(𝑥 +𝑦)

4. Gradiente

Il gradiente di una funzione è il vettore che raccoglie le derivate parziali:

𝑓′ 𝑥

(𝑥; 𝑦) [ ]

∇𝐹 = 𝑓′ 𝑦

5. Punti stazionari di funzioni a due variabili

• Determinare se F(x;y) abbia dei punti stazionari:

𝑓′ = 0

𝑥

{ P (a;b)

𝑓′ = 0

𝑦

• Determinare se F(x;y) abbia un punto stazionario in (a;b):

′ ′

𝑓 𝑓

Determinare e

o 𝑥 𝑦

00

(𝑎; 𝑏) [ ]

∇𝐹 =

Se allora P(a;b) è un punto stazionario

o

6. (Matrice Hessiana e natura dei punti stazionari)

Ottimizzazione libera

Procedimento:

• Determinare le derivate prime di x e y e il gradiente

𝑓′ 𝑥

(𝑥; 𝑦) [ ]

∇𝐹 = 𝑓′ 𝑦

• Determinare i punti stazionari

𝑓′ = 0

𝑥

{ P (a;b)

𝑓′ = 0

𝑦

• Determinare le derivate seconde di x e y e la matrice Hessiana

𝐹 𝐹

𝑥𝑥 𝑥𝑦

2 (𝑥; 𝑦) [ ]

∇ 𝐹 = 𝐹 𝐹

𝑦𝑥 𝑦𝑦

F F

=

Con xy yx

• Verificare la natura dei punti stazionari

F F

) =

H = determinante ( xx xx

1 –

2 F F * F F * F

H = determinante (∇ ) = ( ) ( )

xx yy xy yx

2 ➔

Se H > 0 e H > 0 (Concordi) Punto di minimo

2 1 ➔

Se H > 0 e H < 0 (Discordi) Punto di massimo

2 1

➔

Se H < 0 Punto di sella

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1. Operazioni di Capitalizzazione VS Operazioni di Attualizzazione

Operazioni Finanziarie:

• Operazioni di Capitalizzazione = Capitale iniziale

C >

M C

= Montante

M

• Operazioni di Attualizzazione = Valore attuale

A >

S A

= Nominale a Scadenza

S

Il Valore Attuale A può essere indicato anche come VA

Il Nominale a Scadenza S può essere indicato anche come N

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2. Capitalizzazione: 𝑴= 𝑪+𝑰

𝐼=𝐶 𝑖 𝑡

I = Interessi maturati > 0

2.1 Regime Semplice VS Regime Composto; Regime degli interessi semplici anticipati

Capitalizzazione:

• Regime semplice: 𝑀 = 𝐶 ∗ 𝑓(𝑡)

( )

𝑴 = 𝑪 𝟏+𝒊 𝒕

𝑀 − 𝐶 𝑀 𝑀 − 𝐶

𝑖= 𝐶= 𝑡=

( )

𝐶 𝑡 1 + 𝑖 𝑡 𝐶 𝑖

f (t) = Fattore di Montante > 1

i = Tasso d’interesse annuo semplice Se non specificato utilizzare l’anno civile

➔

Anno civile: 365 giorni

t = Durata in anni Anno commerciale: 360 giorni (12 mesi da 30 giorni)

3

( )

𝑡 = 2 +

➔

es 1) t = 2 anni e 3 mesi 12 87

𝑡 =

➔

es 2) t = 87 giorni (Anno commerciale) 360

Regime semplice

Tassi periodali

o 𝑖

𝑖 = 𝑖 ∗ 𝑚 𝑖 =

𝑚 𝑚 𝑚

( )

𝑴 = 𝑪 𝟏 + 𝒊 ∗ 𝒎 ∗ 𝒕

𝒎

i = i

m 4

es) Tasso trimestrale m = 4

• Regime composto: 𝑀 = 𝐶 ∗ 𝑓(𝑡) 𝒕

( )

𝑴 = 𝑪 𝟏+𝒊

1 𝑀 )

ln (

𝑀 𝑀

𝑡

𝑖=( ) −1 𝐶= 𝑡= 𝐶

𝑡 ( )

( ) ln 1 + 𝑖

𝐶 1 + 𝑖

d’interesse annuo composto

i = Tasso Regime composto

Tassi periodali

o 1

𝑚 ( )

( ) − 1 𝑖 = 1 + 𝑖

𝑖 = 1 + 𝑖 − 1

𝑚

𝑚

𝑚 𝒎 𝒕

( )

𝑴 = 𝑪 𝟏 + 𝒊 𝒎

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• Regime degli interessi semplici anticipati:

𝑀 = 𝐶 ∗ 𝑓(𝑡)

𝟏

𝑴=𝑪 ( )

𝟏−𝒅 𝒕

𝐶 𝐶

( )

𝑑= − +1 𝐶 = 𝑀 1−𝑑 𝑡 𝑡= − +1

𝑀 𝑡 𝑀 𝑑

Regime degli interessi semplici anticipati

Tassi periodali

o 𝑑

𝑑 = 𝑑𝑚 ∗ 𝑚 𝑑 =

𝑚 𝑚

𝟏

𝑴=𝑪 ( 𝟏 − 𝒅𝒎 ∗ 𝒎 ∗ 𝒕 )

d = Tasso annuo di sconto commerciale

Diverso tasso d’interesse negli anni ≠ ≠

❖ ➔ i i i etc.

1 2 3

• Regime semplice ( ) ( )

𝑀 = 𝐶 1 + 𝑖 𝑡 ∗ … ∗ 1 + 𝑖 𝑡

1 1 𝑛 𝑛

• Regime composto 𝑡 𝑡

(

( ) )

∗ … ∗ 1 + 𝑖

𝑀 = 𝐶 1 + 𝑖 1 𝑛

𝑛

1

• Regime misto 𝑡

( ) ∗ ( 1 + 𝑖 𝑡 )

𝑀 = 𝐶 1 + 𝑖 1 2 2

1

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3. Attualizzazione: 𝑨=𝑺−𝑫

D = Sconto > 0

3.1 Regime semplice VS Regime composto; Regime dello sconto commerciale

Attualizzazione:

• (o Regime razionale):

Regime semplice 𝛷(𝑡)

𝐴 = 𝑆 ∗

φ(t) φ(t)

= Fattore di sconto, 0 < < 1 𝟏

𝑨=𝑺 ( )

𝟏+𝒊 𝒕

𝑆 𝑆

( )

𝑖= −1 𝑆 =𝐴 1+𝑖 𝑡 𝑡= −1

𝐴 𝑡 𝐴 𝑖

• Regime composto: 𝛷(𝑡)

𝐴 = 𝑆 ∗ 𝟏

𝑨=𝑺 ( ) 𝒕

𝟏 + 𝒊 𝑆

ln ( )

𝑆

𝑡 𝑡

( )

√ 𝐴

𝑡=

−1 𝑆 = 𝐴 1+𝑖

𝑖 = ( )

ln 1+𝑖

𝐴

• Regime dello sconto commerciale: 𝜑(𝑡)

𝐴 = 𝑆 ∗

( )

𝑨 = 𝑺 𝟏−𝒅 𝒕

𝐴 𝐴 𝐴

𝑑= − +1 𝑆= 𝑡= − +1

( )

𝑆 𝑡 1 – 𝑑 𝑡 𝑆 𝑑

Regime dello sconto commerciale

Tassi periodali

o 𝑑

𝑑 = 𝑑𝑚 ∗ 𝑚 𝑑 =

𝑚 𝑚

𝑨 = 𝑺 ( 𝟏 − 𝒅𝒎 &lowas