Fondamenti e didattica della matematica II

Lezione 22.09.2023: Geometria

Attività 1: Verbalizzazione

La disciplina:

• Che cos’è la geometria?
• A cosa serve?
• La geometria ha una storia?

Il suo insegnamento:

• Cosa vi ricordate della vostra esperienza della geometria?
• Quali sono i principali elementi della geometria della scuola dell’infanzia e primaria?

La geometria studia due tipi di figure:

• Le figure nel piano, che sono un prodotto della nostra mente, perché viviamo nello spazio.
• Le figure solide, che hanno tre dimensioni.

La geometria, piana e solida, studia le figure, tra gli altri oggetti di studio. Quindi, studia lo spazio tridimensionale in cui noi viviamo. Dire che è una branca della matematica, vuol dire che ne fa parte e vuol dire che è una teoria matematica = un sistema di contenuti di tipo matematico; è qualcosa che viene elaborato per spiegare fenomeni reali (es. lo spazio) ma può anche avere come oggetto qualcosa di ideale. Oltre alla geometria euclidea (la geometria delle figure piane e solide) ci sono tantissime altre geometrie che non descrivono lo spazio: la geometria proiettiva, la geometria analitica. La geometria analitica si può ricondurre al piano cartesiano.

Un fine immediato della geometria è risolvere problematiche che possono essere riferite a:

• Problemi reali e di vita quotidiana: misurare l’area di un campo.
• Problemi di tipo teorico: sappiamo che vale una certa proprietà, ma possiamo dimostrarla, trovare un ragionamento che ci convinca della verità di un qualcosa che intuiamo?

La geometria non serve a risolvere solo problemi, ma serve anche ad educare: ha una fortissima valenza educativa. L’insegnamento trasmette un’importante capacità di argomentare, di dedurre, di affrontare un discorso, di ragionare su un problema. Raramente ai problemi geometrici si dà una risposta di puro calcolo; bisogna ragionare e il ragionamento geometrico contribuisce all’educazione.

La geometria ha anche una valenza multidisciplinare: serve ad architetti, ingegneri, navigatori, astronomi, artisti. Pensiamo alla differenza tra gli artisti che hanno imparato ad utilizzare la prospettiva rispetto a prima, quando non sapevano nulla della geometria proiettiva: non c’è profondità. Se si vuole calcolare una rotta navale si utilizza la trigonometria (branca della geometria, la geometria degli angoli). La geometria ha anche prestato linguaggi e concetti allo studio di stelle, pianeti, moti astrali: è uno studio geometrico di trigonometria nello spazio.

La storia della geometria si identifica spesso in alcuni capisaldi come Pitagora, Archimede, Euclide. La costruzione delle piramidi è un prodotto della geometria egizia, ben precedente ad Euclide (circa 2500 anni prima). Anche la ruota fa parte della storia della geometria, e in generale la dinamica (parte della fisica che studia oggetti e loro movimenti). Per quanto riguarda la geometria non euclidea si può ricordare Gauss, uno dei risultati di ricerca matematica contemporanea (fine ‘800, inizio ‘900).

Alla scuola primaria bisogna imparare facendo, partendo da un problema concreto e ragionandoci insieme, senza dar subito la risposta agli alunni. Si consideri anche la potenzialità dell’interdisciplinarietà: arte e immagine, scienze naturali (simmetrie presenti in natura, l’astronomia, la fisica), educazione fisica (corsa dei 100 m, facendo “toccare” ai bambini quanti sono 100 m nel concreto). Questo molto spesso si perde nei successivi gradi, in cui gli insegnanti, presi da programmi e necessità di preparazione alle prove, fanno tabula rasa limitandosi ad un insegnamento quasi del tutto nozionistico in cui si apprende e basta, senza quella fase di scoperta che necessita di tempi più lunghi.

Come contenuti, la base minima alla primaria sono perimetro, aree, riconoscimento di forme e figure fondamentali, simmetria, angoli, disegno. Sono anche fondamentali gli strumenti di misura: non solo righello, ma anche goniometro, compasso. Un tempo i bambini avevano una manualità maggiore, cosa che adesso si sta perdendo tantissimo: sempre più bambini non hanno più la percezione di come ci si approccia alla misura. In un mondo sempre più digitale c’è sempre meno possibilità di vedere nel quotidiano l’utilizzo di questi strumenti. Il disegno è fondamentale: la geometria insegna a disegnare lo spazio in cui siamo immersi, le figure geometriche fondamentali, a rappresentare su una superficie bidimensionale qualcosa che ha un’esistenza tridimensionale.

La geometria è una disciplina scolastica e nel senso concettuale del termine (è una delle componenti della cultura. La geometria coglie un aspetto fondamentale dell’esperienza fisica, la spazialità, e la formalizza in una teoria. Con esperienza fisica si intendono l’insieme di esperienze che quotidianamente compiamo con il nostro corpo. Formalizzare vuol dire tradurre o esprimere le proprietà della spazialità con un linguaggio specifico, un linguaggio fatto di simboli e formule, quindi un linguaggio formale. Nel caso della geometria sono simboli e formule matematiche. La geometria formalizza le proprietà dello spazio con un linguaggio fatto di simboli e formule matematiche. Per questo la geometria è sia una disciplina sia una teoria matematica.

Il passaggio dallo spazio fisico alla formalizzazione è delicato, perché filtrato dalla nostra mente. Metafora degli occhiali: chi è miope vede la realtà senza gli occhiali poco definita, vede lo spazio un po’ vago, se l’oggetto è lontano non lo vede; ciò che permette al miope di vedere bene sono gli occhiali, che sono un filtro, una lente, che consente di vedere lo spazio esattamente com’è, corregge i difetti della nostra vista. La lente è fondamentale nel caso della geometria: è l’insieme di ragionamenti, meccanismi del pensiero matematico che consentono di restituire le proprietà della spazialità in modo perfettamente definito e chiaro. Si passa dalle proprietà dell’esperienza fisica alla formalizzazione di queste proprietà con un percorso che si chiama elaborazione culturale e concettuale, percorso che non è spontaneo ma richiede allenamento e bisogna imparare a compiere poco per volta. Da un lato abbiamo le lenti della geometria e le forme geometriche fondamentali in cui viviamo immersi; dall’altro lato c’è il processo di elaborazione culturale che ci permette di passare dallo spazio come noi lo percepiamo alla teoria geometrica, lo spazio formalizzato.

Concettualizzazione spaziale VS teoria geometrica attraverso due esempi:

• Parlare di verticalità e orizzontalità, destra e sinistra, sopra e sotto... I bambini si allenano in questo, imparano lavorando sull’esperienza concreta. Significa imparare ad orientare se stessi e gli altri nello spazio, è esperienza fisica. Questo è un meccanismo di concettualizzazione spaziale, cioè ci si allena a descrivere le proprietà dello spazio concrete in termini: verticale, orizzontale, destra, sinistra, sopra, sotto. La concettualizzazione spaziale è qualcosa di abbastanza spontaneo.
• Il passaggio di questa concettualizzazione spaziale (concetti tipici dello spazio sopra detti) a quegli stessi concetti espressi in linguaggio formale è difficile perché questi termini cessano di avere significato. “Il microfono è sopra la cattedra” diventa “la retta su cui giace il microfono è parallela rispetto alla retta su cui giace il tavolo”. E via discorrendo per gli altri termini. È un’astrazione dell’esperienza fisica in un linguaggio specifico. Si fa questo perché il linguaggio specifico è molto più specifico. Parallelismo e perpendicolarità possono essere definiti in maniera univoca e universale specifica, mentre invece verticale e orizzontale sono linguaggi naturali i cui concetti possono variare a seconda della persona. Il passaggio è quindi difficile e non spontaneo, ma garantisce rigore ed assoluta precisione. È anche uno strumento incredibilmente potente perché verticale, orizzontale ecc. sono termini che in tante lingue hanno dei sinonimi, si può esprimere lo stesso concetto con tante parole diverse; la formalizzazione permette di chiarire anche il punto di vista del lessico.

Concettualizzazione spaziale e la teoria geometrica non vanno percepite in antitesi l’una all’altra. Pur essendo una visione molto tipica della geometria. La concettualizzazione spaziale e la formalizzazione in una teoria geometrica sono infatti due momenti di un processo che si colloca in un tema più ampio, quello dei rapporti tra la realtà che ci circonda e la matematica. La matematica non deve essere percepita come coincidente solo nel momento della formalizzazione: la matematica è in rapporto con la realtà, e questo rapporto con una visione moderna si risolve utilizzando un termine molto importante, quello di modellizzazione significa che la matematica non solo formalizza nel suo linguaggio l’esperienza, la realtà, ma offre alla realtà degli strumenti culturali e tecnici per operare dentro la realtà in modo efficace.

Modellizzare è un’attività, insieme alla formalizzazione, che sono nel cuore del pensiero matematico. L’attività di modellizzazione parte dallo spazio fisico, da un aspetto, da un ambito, da un problema reale dello spazio fisico e la trasforma in un teorema della geometria. Usando le conoscenze geometriche si può risolvere tutta una serie di problemi analoghi a quello da cui si è partiti. L’attività di modellizzazione si svolge in due momenti:

1. Selezione di determinati aspetti su cui concentrarsi. Nel caso della geometria si selezionano aspetti spaziali legati ad orientamento, superficie, misura eccetera. Sono aspetti legati alla spazialità, appunto. Per l’aritmetica, sono aspetti legati alla numerosità.
2. Elaborazione di questi aspetti trasformandoli alla luce di regole all’interno di una teoria matematica. Se si parla di modellizzazione in geometrie, le regole con cui si lavora sono le nozioni di parallelismo, perpendicolarità, congruenza, similitudine, misura. Se siamo in ambito aritmetico le regole sono molto più semplici: le quattro operazioni.

La modellizzazione consente quindi di partire da un problema specifico e permette, una volta che si è modellizzata quella situazione problematica di base, di risolvere problemi della stessa classe di quello da cui si è partiti. Esempio: l’uomo dell’antico Egitto che si deve calcolare l’orto; modellizza la situazione problematica: deve sapere la superficie del suo orto. Arriva a determinare che l’area del rettangolo è base x altezza. Con questo, si può calcolare l’area di qualsiasi rettangolo. Con altri artifici si possono calcolare superfici molto più complesse. Si può passare poi dal calcolo dell’area di una superficie piana ad un solido.

La geometria ha una storia millenaria. La geometria nasce più di 2500 anni fa con la società egizia, che è riuscita a produrre le piramidi ed aveva quindi una serie di conoscenze geometriche. La ricerca archeologica di anno in anno anticipa l’inizio. Fin dai suoi albori, si sviluppa intorno a tre aspetti/dimensioni principali:

• Aspetto pratico-intuitivo: insieme di studi di geometria che hanno attinenza diretta con problemi spaziali nel mondo fisico. Esempio: determinare l’area di un campo, misurare un oggetto. È pratico, perché si tratta di problemi di vita pratica. Intuitivo perché spesso sono stati risolti in prima battuta tramite un’intuizione, tramite prove ed errori. La geometria nasce dallo studio di aspetti pratico intuitivi. Geometria deriva dal greco geo = terra, metron = misura. Nasce quindi come capacità di misurare la terra, quindi nasce per calcolare e determinare lunghezze, aree, volumi, di figure geometriche elementari, quelle che realmente vediamo circondarci: retta, cerchio, rettangolo… Poi, in 3 dimensioni: parallelepipedi, prismi, piramidi. Il corpus di conoscenze pratiche poi si allarga sempre di più.
• Aspetto visuo-spaziale: tocca tutto l’insieme di metodi, problemi, risultati che riguardano visualizzazione, disegno, rappresentazione, costruzione di figure eccetera. Sono tutti aspetti della geometria convolti in arte, disegno geometrico e nelle discipline “sorelle” della geometria: l’astronomia, la geografia, la teoria della navigazione, la fisica, l’arte, l’architettura, l’ingegneria. Tutte le discipline che rappresentano, disegnano e costruiscono utilizzando la geometria. Questo aspetto nasce anche fin da subito, come il primo aspetto, in contemporanea. Nasce nella civiltà egizia dall’esigenza di documentare l’informazione visiva per comprenderla meglio. Fin da subito nasce l’esigenza di disegnare il proprio appezzamento di terreno, oltre che di volerne calcolare l’area. Oppure, l’esigenza di disegnare delle mappe. Questo aspetto ha poi un’accelerazione intorno al 1400, quando si passa alla rappresentazione prospettica. Il disegno in prospettiva è qualcosa in cui la geometria contribuisce fortemente.
• Aspetto teorico-formale: tipica dei matematici specialisti, intellettuale, in cui gli oggetti non hanno nessun legame con lo spazio e la realtà che ci circonda, che possono avere un grado di astrazione molto raffinato. L’aspetto teorico comprende spazi infiniti, le geometrie non euclidee eccetera. Sono costruzioni del tutto intellettuali. Questo aspetto è molto recente. Consiste nel considerare le forme, le loro proprietà, le loro trasformazioni nello spazio come ingredienti per la costruzione di una teoria in cui tutto sia espresso in un linguaggio completamente rigoroso e formale in cui tutto sia definito e dimostrabile tranne poche eccezioni. Questa esigenza è antica: Euclide nei suoi Elementi costruisce una teoria geometrica in cui unisce tutte le conoscenze dimostrando i vari teoremi. Però, in Euclide le forme geometriche, le loro proprietà, i loro cambiamenti nello spazio hanno ancora uno stretto legame con la realtà, da cui si è partiti. Le proprietà delle forme geometriche vengono tradotte e inserite in una costruzione formale ma c’è uno stretto legame con la realtà. Il matematico Hilbert (1862-1943) fornisce un importante contributo: spogliare del tutto di significato concreto gli oggetti geometrici. “La vera essenza di un sistema geometrico non risiede nei suoi oggetti, qualunque essi siano, ma negli assiomi che regolano la loro interazione”.

Il collegamento tra questi tre aspetti deve essere sempre mantenuto. Devono essere sempre presenti nell’insegnamento a qualsiasi anno scolastico e sempre legati tra loro affinché l’insegnamento sia efficace. Nei livelli primari (infanzia e primaria) sono soprattutto i primi due aspetti ad essere valorizzati. Nei livelli secondari l’aspetto teorico necessità di essere maggiormente presente, presentato con una certa gradualità, non può essere fatto precocemente perché non può esserci vera comprensione.

In passato avveniva una netta separazione tra geometria nella scuola dell’infanzia e primaria, rappresentata come scienza dello spazio, ci si soffermava solo sui primi due aspetti. Si faceva solo tanto disegno delle figure geometriche, tanti volumi e tanta misura. È ancora presente, soprattutto nei libri di testo, che non aiutano in questo senso perché sono ancora molto tradizionali. Attualmente, a partire da un’attività di riflessione molto franca e severa condotta dagli anni ’60 in avanti, ci si è chiesti: il collegamento fra i primi due aspetti e l’aspetto teorico può essere oggetto di studio alla scuola dell’infanzia e primaria? All’infanzia si ritiene di no, è troppo precoce. A livello di scuola primaria la risposta è stata affermativa: occorre incominciare con attività di argomentazione e attività esplorative che non riguardino solo le proprietà delle forme geometriche, ma anche le loro particolarità, evitando che gli studenti abbiano un ruolo passivo.

In questi ultimi anni si è partiti anche a livello di scuola primaria dall’auspicio e dalla volontà di introdurre dei collegamenti, un primo avvio a quest’ultimo aspetto, al passaggio all’ultimo aspetto ponendo enfasi su 3 processi:

1. Di internalizzazione
2. Di matematizzazione
3. Di giustificazione o argomentazione

Sono tre processi che consentono il passaggio dalla geometria come concettualizzazione dello spazio alla geometria come teoria matematica.

Lezione 28.09.2023

È buona prassi dell’insegnamento geometrico mantenere un collegamento tra

• Aspetti pratico intuitivi
• Aspetto teorico
• Aspetti visuo-spaziali

Nessuna delle tre dimensioni è autosufficiente. La geometria a livello di scuola dell’infanzia e primaria è presentata come scienza dello spazio e si ponga l’identificazione delle figure geometriche, delle loro proprietà, il disegno e la misura. Queste attività evidenziano i collegamenti tra gli aspetti pratico intuitivi e quelli visuo-spaziali, è una tradizione che sussiste ancora in molti libri di testo e nella prassi didattica.

Enorme ritardo rispetto a ciò che la ricerca della matematica va dicendo fin dagli anni ’60, infatti presentare la geometria in questo modo ha subito critiche molto severe e molto dure; perché?

• Manca o limita fortemente le attività esplorative, tende a presentare le forme geometriche e le loro proprietà come degli oggetti distaccati l’uno dall’altro, questa tipologia di insegnamento non favorisce la ricerca delle regolarità.