Fisiologia I

Fisiologia I

Parte Prima

• Flusso delle particelle

• Membrana cellulare

• Potenziale elettrochimico

• Pompa sodio-potassio

• Potenziale d’azione

patch-clamp

• Tecnica del

• Canali ionici

Anno Accademico 2020-21 CdL in Medicina e Chirurgia

Flusso delle particelle

Viscosità

• L'ambiente cellulare è un ambiente estremamente viscoso dove il solvente è l’acqua

• In realtà l’acqua non sembra un ambiente viscoso, tuttavia, considerando la dimensione

cellulare essa si presenta come un ambiente estremamente viscoso; infatti, più si riducono le

dimensioni e più il movimento diventa difficoltoso, prevale quindi la viscosità

• Il coefficiente di viscosità misura la difficoltà di strati diversi di fluidi di scorrere l'uno sull'altro

• Questa difficoltà si riflette anche a livello di un oggetto che si muove nel fluido

• Quando due superfici parallele di area A si muovono una relativamente all'altra si trova

sperimentalmente che la forza F necessaria per farle scorrere è proporzionale all'area della

superficie considerata e al gradiente di velocità

• Il gradiente di velocità esprime come cambia la velocità nella direzione perpendicolare a questa

• Esso cambia in funzione della profondità, in funzione cioè della distanza tra le due superfici

Viscosità

• Si trova quindi una forza che fa muovere questa superficie in uno stato stazionario, ovvero uno

stato in cui le grandezze non cambiano e dove la velocità è costante (l’accelerazione

conseguentemente risulta essere nulla)

• La forza F riesce a far sì che le due superfici, cioè la superficie A su cui agisce la forza F e la

A

Quando superfici parallele di area di un fluido si muovono l una relativamente all altra come

superficie di base che ha velocità nulla, scorrano una sull’altra

F

nella figura, si trova sperimentalmente che la forza necessaria per farle scorrere è

• Nel momento in cui una forza F fa muovere questa superficie A abbiamo un gradiente di velocità

A v x η

d /d

proporzionale all area e al gradiente di velocità . La costante di proporzionalità si

che essendo costante si può eguagliare alla che ha la superficie rispetto alla base diviso

l'altezza totale

chiama coefficiente di viscosità o anche, più semplicemente, viscosità. η

d

• Il coefficiente che misura il rapporto di proporzionalità è il coefficiente di viscosità ( )

• Il coefficiente di viscosità misura quindi il rapporto fra la forza diviso la superficie e la velocità

d ℎ

diviso la profondità a cui si trova la superficie di riferimento

• Il coefficiente di viscosità misura quindi la difficoltà che strati diversi di fluido hanno di muoversi

l'uno rispetto all’altro F

A v

h V

Base ( =0)

F/A

• Nella formula sottostante è una forza su una superficie e quindi avrebbe la dimensione di

1

2

N/m , cioè di quella grandezza che è il Pascal (misura della pressione)

• In questo caso non si tratta di una pressione, infatti, una pressione indica quando una forza

agisce perpendicolarmente alla superficie

• Si trova quindi una grandezza che dimensionalmente è una pressione ma fisicamente non

rappresenta una pressione anche se si misura in Pascal

V/h

• La grandezza si misura in (m/s)/m quindi risulta come secondi per cui la dimensione del

coefficiente di viscosa risulta essere Pascal per secondo

F dv V

= η = η

A dx h

Fisiologia I - A.A. 2020-21 Pagina 1 di 12 Flusso delle particelle

• Nel SI l'unità di misura della viscosità è il Pa•s, nel sistema CGS invece (sistema centimetro,

grammo) l'unità di misura della viscosità è il Poise (1 Pa•s corrisponde a 10 poise)

• Si trova che l'acqua a 20 °C ha un coefficiente di 1 mPa•s

• L'acetone è molto meno viscoso, infatti ha una viscosità di circa un terzo quella dell'acqua

• L'etanolo ha una viscosità simile a quella dell'acqua

• L'olio di oliva ha una viscosità molto più grande dell'acqua

• Il glicerolo ha una viscosità enormemente più elevata dell'acqua

• La viscosità di un liquido dipende dalla temperatura, infatti essa tende a diminuire con

Viscosità

l'aumentare della temperatura

• Infatti, l’acqua a 37°C ha una viscosità di circa il 30% in meno rispetto a quella dell'acqua a

20°C

• Il plasma sanguigno ha una viscosità di 1.5 mPa•s, il sangue invece, compresa la parte

L unità di misura della viscosità è il Pa·s nel SI, mentre nel sistema cgs è il poise.

corpuscolare, ha una viscosità di circa 4 mPa•s

1 Pa·s=10 poise

Liquido Viscosità a 20°C (mPa·s)

Acetone 0.32

Acqua 1.00

Etanolo 1.2

Olio di oliva 84

Glicerolo 1408

Liquido Viscosità a 37°C (mPa·s)

Acqua 0.69

Plasma sanguigno 1.5

Sangue intero 4.0 2

Numero di Reynolds

• Un oggetto che si muove attraverso un fluido viscoso è soggetto a una forza che si oppone al

movimento

• La grandezza di questa forza dipende da come il fluido fluisce attorno all'oggetto e dipende da

un parametro che è il numero di Reynolds

• Il numero di Reynolds è definito come la densità del fluido per la lunghezza caratteristica

dell'oggetto lungo la direzione del moto per la velocità dell’oggetto, rapportato al coefficiente di

viscosità ρLv

Re = , dove:

η

ρ è la densità del fluido

L è la lunghezza caratteristica dell’oggetto lungo la direzione del moto

v è la velocità dell’oggetto

η è la viscosità F = m a

• Dalla legge di Newton si trova che , quindi la forza inerziale sarà data dalla massa per

l’accelerazione

• Il numero di Reynolds misura il rapporto fra la forza inerziale e la forza viscosa

• Se il numero di Reynolds è grande le forze viscose sono relativamente poco importanti, se è

piccolo invece le forze viscose sono considerevoli

F

• Per bassi numeri di Reynolds la forza che si oppone al moto dell’oggetto è proporzionale alla

velocità, si trova che:

F = − γ v γ

, dove è il coefficiente di resistenza viscosa

Fisiologia I - A.A. 2020-21 Pagina 2 di 12 Flusso delle particelle

r

• Se l'oggetto fosse una sfera di raggio si trova che lo strato infinitesimo di fluido che tocca la

sfera non scorre sulla sfera ma si muove con essa v

• In questo caso, quindi, sfera e fluido si muovono con una velocità del fluido

• Nel primo strato di fluido aderente alla sfera si trova che il coefficiente di resistenza viscosa

6π

dipende da un fattore geometrico ed è proporzionale alla viscosità e al raggio della sfera

• Quindi il coefficiente di resistenza viscosa γ dipende dal fluido e dall'oggetto che si muove con

esso secondo la relazione: γ = 6π ηr

• Mettendo insieme queste due relazioni si trova che la forza che si oppone al moto in caso di un

oggetto sferico a bassi numeri di Reynolds è uguale a quella che è la legge di Stokes

• La legge di Stokes vale solo per un oggetto di forma sferica, tuttavia se voglio un'idea di questa

forza posso approssimare l'oggetto a una sfera

• La legge di Stokes rappresenta la forza che si oppone al moto ed è:

F = − γ v = − 6π ηr v

• Nella tabella sottostante sono riportati i numeri di Reynolds per alcuni elementi

• Si trova che per una piccola proteina di forma più o meno globulare la velocità è calcolata

dall'equipartizione dell'energia, cioè una proteina di 6 nm di diametro con una massa di 10 kDa

ca. soggetta all'agitazione termica, tra un urto e l'altro ha la velocità in tabella

Numero di Reynolds

• Per un batterio posto in acqua vale la legge di Stokes perché si ha un basso numero di

Reynolds Oggetto Dimensione Velocità Densità del Viscosità del Numero di

fluido fluido (Pa·s) Reynolds

3

(kg/m ) -3 9

transatlantico 100 m 15 m/s 1000 10 1.5·10

-3 6

nuotatore 2 m 1 m/s 1000 10 2·10

-6

ape 10 mm 0.14 m/s 1.3 18·10 100

-3

proteina 6 nm 8 m/s 1000 10 0.05

-3 -5

batterio 2 μm 25 μm/s 1000 10 5·10

Moto di un batterio

• Si consideri un batterio di 2 μm di lunghezza che nuota nell'acqua a una velocità di 25 μm/s

• Per la legge di Stokes possiamo approssimare il batterio a una sfera con circa 1 μm di raggio

• Dati tutti i dati si può calcolare il coefficiente di resistenza viscosa del batterio che si muove

4

nell'acqua (UDM: (N•s)/m) Moto di un batterio

• Quindi i motori molecolari che muovono i flagelli devono poter generare una forza di almeno 0.5

pN motori

flagelli 500 nm

• Trovato γ con la legge di Stokes moltiplico γ per la velocità ottenendo una forza di 0.5 pN

Consideriamo un batterio di 2 μm di lunghezza, come ad esempio l E. coli, che nuota nell acqua

• Essendo in uno stato stazionario il batterio si muove a 25 μm/s in maniera stazionaria, ovvero a

γ

a una velocità di 25 μm/s. Per la legge di Stokes, la resistenza , è circa 20 nN·s/m. Quindi i

motori molecolari che muovono i flagelli devono poter generare una forza di almeno 0.5 pN.

velocità costante e quindi con accelerazione nulla

• Se l'accelerazione è nulla la forza totale che agisce su questa cellula è nulla

• Per la legge di Stokes il fluido si oppone al movimento quindi qualcosa spinge il batterio con

una forza pari a quella che contrasta il moto, questa forza è esercitata dal flagello, mosso da

motori molecolari

• La forza che questi motori devono generare deve essere almeno pari a quella che il fluido

oppone al moto del batterio per mantenerlo in questo movimento stazionario

5

Fisiologia I - A.A. 2020-21 Pagina 3 di 12 Flusso delle particelle

Costante di tempo

• Quando i motori molecolari cessano di agire la sola forza che agisce su un batterio è la forza

viscosa F = m a

• Si applichi quindi la seconda legge di Newton ( ) dove l'accelerazione è la variazione di

velocità nel tempo F = − γ v

• La sola forza che agisce è la forza del fluido che tende a fermarlo,

d v(t)

m = − γ v

dt

• L'espressione è un esempio semplice di una classe di problemi, si tratta di un'equazione

differenziale che mette in relazione una grandezza con la sua derivata

• Questa differenziale esplicita che la velocità cambia in proporzione alla grandezza stessa, la

derivata della funzione incognita è proporzionale alla funzione stessa

v(t) = v(0) * (−t /τ)

exp

• Supponiamo che la velocità diminuisca del 10% ogni secondo, se all'inizio è 100 dopo un

secondo sarà 90, dopo due secondi sarà 81, dopo un altro secondo sarà di circa 73, e così via

• Con il passare del tempo questa grandezza diminuisce sempre meno, mettendo a grafico la

Moto di un batterio

variazione di questa grandezza nel tempo si ricaverebbe un'esponenziale

• Tutte le volte che è presente una grandezza che nel tempo o nello spazio cambia in maniera

proporzionale alla grandezza stessa si tratta di un’esponenziale

d

• La velocità diminuisce esponenzialmente col tempo e il parametro τ è la costante di tempo, cioè

d

misura dopo quanto tempo la funzione è diminuita a circa il 37% del suo valore al tempo zero

m τ m γ

0 exp / = /

dove:

τ = Moto di un batterio

γ d d τ m γ

0 exp / = /

dove:

0 63% 0

37% 63%

0

0 1 2 3

37%

t

La velocità diminuisce esponenzialmente col tempo e il parametro è la costante di tempo, cioè

0

0 1 2 3

misura dopo quanto tempo la funzione è diminuita a circa il 37% del suo valore al tempo zero.

7

t

La velocità diminuisce esponenzialmente col tempo e il parametro è la costante di tempo,

• Procedendo con l'approssimazione del batterio ad oggetto sferico si trova che il volume della

misura dopo quanto tempo la funzione è diminuita a circa il 37% del suo valore al tempo zero

3

4/3π r 7

sfera è , moltiplicandolo per la densità (simile a quella dell'acqua) si trova una massa di

−15

circa 4x10 kg m /γ

• Il τ è definito come quindi si ha un τ di circa 0.2 μs

• L’esponenziale non andrà mai zero ma vi si avvicinerà asintoticamente, dopo circa 3 o 4 τ la

velocità è praticamente nulla

• Si trova che il batterio, una volta spenti i motori molecolari, è fermo in circa 1 μs

Fisiologia I - A.A. 2020-21 Pagina 4 di 12 Flusso delle particelle

del batterio a una sfera e la sua densità ρ a quella dell acqua:

4 3 −1

4 10 kg

3

x

• La distanza percorsa dal batterio per inerzia, da quando i flagelli si fermano, si calcola come

20 nN s/m

l'integrale della velocità nel tempo

v(0) ΔV

• Inizialmente la velocità è , si trascura la dato il tempo molto piccolo, in questo caso lo

v(0) 0.2 μs

spazio percorso è dato da per il tempo x

• Dopodiché si calcola la nuova velocità dopo questo tempo e si calcola quant'è la in un altro

tempo relativamente piccolo

• Risolvendo l'integrale si trova che la soluzione è data dalla velocità iniziale per la costante di

La distanza x percorsa dal batterio per inerzia, da quando i flagelli si fermano, si calcola come:

tempo t

d 0 exp d 0

0 0

• Quando il batterio smette di muovere i flagelli nell'acqua questo si ferma praticamente subito

v τ x

costituendo una prova che per una cellula l'acqua è un mezzo estremamente viscoso

(0)

Con = 25 μm/s e = 0.2 μs otteniamo = 5 pm = 0.05 Å

• La maniera più opportuna per descrivere fenomeni che non vanno a zero è la costante di tempo

8

• Si supponga di descrivere un fenomeno in cui la grandezza parte da un certo valore e

diminuisce in maniera esponenziale, in questo caso però l'asintoto non è più zero ma è un

valore che in questa equazione è rappresentato da 3

• Non è possibile affermare che la costante di tempo è il tempo dopo il quale la grandezza si è

ridotta al 37% del valore iniziale, infatti inizialmente era 13 mentre qui siamo a circa 10

• E' quindi più opportuno affermare che la costante di tempo è quel tempo dopo il quale la

variazione della grandezza ha raggiunto il 63% della variazione totale

Costante di tempo

• La variazione totale partendo da 13 e arrivando a 3 è di 10, quindi il 7 rilevato dopo il τ si

avvicina a questo valore del 37% 20 ( ) 3+10 (- /3)

18

16

14

Y(t) 12 63%

10 100%

8

6 37%

4

2

0

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t

Costante di tempo

Se una grandezza cresce o diminuisce in maniera esponenziale, allora possiamo definire la

• Il fenomeno accade nella stessa maniera anche se la curva invece di diminuire in maniera

t

costante di tempo come quel tempo dopo il quale la variazione della grandezza ha raggiunto il

esponenziale cresce ma con un asintoto

63% della variazione totale. 9

20 ( ) 3+10 (1- (- /3))

18

16

14

Y(t) 12

10 37% 100%

8

6 63%

4

2

0

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t

Se una grandezza cresce o diminuisce in maniera esponenziale, allora possiamo definire la

t

costante di tempo come quel tempo dopo il quale la variazione della grandezza ha raggiunto il

63% della variazione totale.

Fisiologia I - A.A. 2020-21 Pagina 5 di 12 Flusso delle particelle

10

Diffusione

• La diffusione è la migrazione casuale di molecole o particelle che nasce dal moto indotto

dell'energia termica

• Questi fenomeni diffusivi sono efficaci su piccoli distanze ma non su grandi distanze

• Una cellula può far affidamento sui fenomeni diffusivi per scambiare materiale con l’ambiente,

un organismo complesso non più

• Organismi complessi hanno quindi sviluppato complessi circolatori, ad esempio il circolo del

sangue o il circolo dell'aria

• La diffusione è quindi un fenomeno efficiente solo su brevi distanze

• Si consideri sempre il caso semplice monodimensionale, cioè che avviene in una sola direzione

e che quindi presenta una sola variabile T

• Una particella che si trova in un ambiente a temperatura assoluta ha in media un energia

x

cinetica associata al movimento lungo una direzione data dalla costante di Boltzmann

−23

(1.38x10 J/K) per la temperatura diviso per due

m v x

Quindi per un insieme di particelle di massa che ha velocità lungo la direzione l'energia

• x

2

1/2mv

cinetica è data da 1 k T

Dal momento che si considera la media delle particelle si calcola l’energia cinetica media:

• B

2

• Si trova quindi che: ( )