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Gauge di Lorenz
Ora scegliamo tale che
Abbiamo ottenuto due equazioni delle onde non omogenee.
Formule di Green
Scriviamo ora la formulazione del teorema della divergenza:
Per ogni possiamo trovare e continue e derivabili tale che:
In questo modo riduciamo il problema a due sole variabili, poiché e sono scalari.
Riscriviamo quindi:
Prima formula di Green:
Se posso ottenere :
Sottraendo membro a membro alla prima formula di Green di ottiene:
Seconda formula di Green:
Tornando ai potenziali, abbiamo trovato che obbediscono alle equazioni:
Queste possono essere generalizzate come: , dove g rappresenta il termine disorgente.
Supponiamo ora che abbia un andamento oscillante, e quindi e facciamo un'ipotesi ondulatoria sulla soluzione, quindi il potenziale che stiamo cercando si può scrivere nella forma
Sostituendo si ottiene:
Abbiamo ottenuto un'equazione differenziale del secondo ordine con termine noto.
Scriviamo l'omogenea associata: Equazione di Helmotz
Supponiamo ora che il
problema abbia una simmetria sferica, quindiQuindi la soluzione dell'omogenea associata è del tipo:Immaginiamo ora che la posizione della sorgente sia identificata dal vettore posizione e il punto incui vogliamo calcolare il potenziale dal vettore posizioneConsideriamo una sfera di raggio centrata in che non include la sorgente e chiamiamo la suasuperficie e una sfera centrata in che include la sorgente ( ) di raggio .Applichiamo la seconda formula di Green sul volume delimitato dalla differenza tra le due sferesapendo che , successivamente mandiamo e in modo da trovare ilpotenziale prodotto in da tutte le sorgenti.Per ciascuna sfera si scrive:Sappiamo che:Considerando si ha:Nel calcolo di valuto e consideroNel calcolo di valuto e consideroPossiamo fissare a zero il potenziale valutato all'infinito, , estabilire che il potenziale va all'infinito almeno come .Sotto questa condizione, detta condizione di irraggiamento,Il fattore fa capire che c'è una
Queste sono dette soluzioni dei potenziali ritardati.
3.2 Caso particolare
Supponiamo di voler misurare il potenziale in un punto con cariche limitate in una regione di spazio molto piccola. Facciamo una serie di ipotesi:
- Sorgenti in una regione limitata (distanza tipica: <d>)
- Vogliamo valutare il potenziale a distanza dalla sorgente (vicino gli effetti sono non lineari)
- Mettiamo l'origine degli assi centrato in (baricentro della sorgente del campo elettromagnetico).
Uniamo le condizioni nella relazione:
Ora vogliamo generalizziamo in 3D l'espansione in serie di Taylor:
Ora dobbiamo
Questo termine è del tipo e e possiamo espanderlo come:
Poiché è grande e quindi piccolo, eSvolgiamo il prodotto e otteniamo:
Definiamo: NOTA: G e P sono complessi (integrali di funzioni complesse)
In generale si ha quindi:
Studiamo ora casi specifici.
- Per il potenziale: Rappresenta la carica totale che poniamo a 0
Questo termine è un momento di dipolo (infatti nonostante il sistema sia globalmente neutro sono presenti cariche che si spostano nello spazio)
- Per il potenziale vettore: Tensore delle pressioni
Quindi scriviamo:
Ora, le correnti e il momento di dipolo non sono indipendenti, e per scoprire il legame tra le due grandezze supponiamo che nella sferetta ci siano cariche con moti regolari (approssimazione di dipoli oscillanti)
3.3 Approssimazione di dipolo oscillante
La densità di carica obbedisce a una equazione di continuità:
Per semplicità imponiamo , mettendo l'asse z lungo la direzione del modo
dellecariche.Essendo il moto 1D l'equazione diventa:
Quindi:
Stiamo integrando tra e tanto è una delta di Dirac.
Svolgiamo il terzo integrale:
Il primo termine è nulla poiché la carica è localizzata in una regione ala finito.
Sostituendo si trova:
In generale si ha:
Riscriviamo le soluzioni in funzione di P per r generico, dove r rappresenta la distanza tra il dipolo oscillante e l'osservatore:
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