Essenziale Costruzioni idrauliche - parte 1

MODELLISTICA MATEMATICA DELLA TRASFORMAZIONE AFFLUSSI-DEFLUSSI

La valutazione dei deflussi (anche durante le piene) non si effettua direttamente sulla base di

osservazioni dei deflussi stessi ma sulla base delle osservazioni delle piogge.

Questa necessità sussiste in quanto l’informazione relativa alle piogge è molto più diffusa rispetto

all’informazione relativa ai livelli e quindi alle portate dei corsi d’acqua, per una semplice ragione: le

piogge si misurano molto più facilmente ed è molto meno costoso e oneroso.

Non consideriamo i fenomeni con la x poiché a noi interessano i fenomeni di piena e questi fenomeni

durante la piena sono trascurabili.

TIPI DI MODELLO AFFLUSSI DEFLUSSI

Di distinguono per: (quelli in grassetto sono quelli che usiamo noi)

• Scala temporale di modellazione

Modelli d’evento ad evento singolo (durante la piena)

→

- Modelli a simulazione continua

-

• Scala spaziale di modellazione

Modelli globali consideriamo la pioggia distribuita spazialmente in maniera uniforme

→

- sul bacino. Ho una sola h media per tutto il bacino trovata da una media pesata.

Modelli distribuiti

-

• Schematizzazione della trasformazione

Modelli sintetici (o a scatola nera)

- Modelli concettuali tentano di interpretare, in modo semplificato, la dinamica della

→

- trasformazione afflusso deflussi paragonando quello che avviene nel bacino a schemi

molto semplificati. (es: serbatoio)

Modelli a simulazione particolareggiata

-

• Rappresentazione dell’aleatorietà

Modelli deterministici è un modello che risponde ad una certa forzante con una certa

- risposta, (danno un legame semplice causa-effetto)

Modelli stocastici

- 1

STAZIONARIETÀ E LINEARITÀ

I modelli che studiamo sono modelli stazionari e lineari.

Stazionarietà Dato un ingresso () a cui corrisponde

1

un’uscita (), il sistema è stazionario se

1

traslando di una quantità generica ∆

all’ingresso (avanti o indietro), otteniamo

una risposta dal sistema pari al primo

caso traslata di una quantità ∆.

() ()

,

( ∆)

± ( ± ∆)

Linearità Dati: un ingresso () a cui corrisponde

1

un’uscita () e un ingresso () a cui

1 2

corrisponde un’uscita (), il sistema è

2

lineare se vale la combinazione lineare in

uscita provocata dalla combinazione



lineare in entrata con dei parametri e

() ()

{

() ()

() () () ()

+ +

Si può mostrare che un qualunque sistema lineare e stazionario, il legame tra ingresso p(t) e uscita q(t)

è costituito da un’equazione differenziale lineare di ordine generico del tipo:

2

Con: e che dipendono dalle caratteristiche del sistema fisico (o modello matematico).

Con queste condizioni iniziali:

La soluzione dell’equazione differenziale è:

INTEGRALE DI CONVOLUZIONE

() ()( )

= −

∫

Con:

• ingresso al tempo

()

• detto IUH (Instantaneous Unit Hydrograph) idrogramma unitario istantaneo, che

ℎ()

caratterizza il modello. L’integrale di convoluzione lega l’ingresso all’uscita attraverso

() ()

una funzione −

ℎ( ).

IDROGRAMMA UNITARIO ISTANTANEO I.U.H.

È la risposta di un sistema lineare stazionario ad una sollecitazione unitaria e impulsiva δ(t)

Prendiamo una pioggia con queste proprietà: (cioè, volume di pioggia netta, che

∙ ∆ =

corrisponde al diagramma di pioggia netta) con A= valore di pioggia

t)

La sollecitazione è unitaria ma non c’è un impulso (il tempo vale (base rettangolo)

t

Allora faccio tendere a 0 considerando sempre un volume unitario ottenendo una particolare

funzione (grafico rosso) detta delta di Dirac che gode della seguente proprietà:

()

( )

≠ 0 =0

( )

= 0 ≠0

∞ ( )

∫ = 1

−∞

ovvero, il volume rimane unitario mentre la durata della sollecitazione diventa infinitesima (la

sollecitazione è concentrata soltanto nel punto 0). Questa sollecitazione è rimasta unitaria, perché il

volume è unitario, ma è anche questa volta impulsiva perché abbiamo un impulso applicato all’istante

= 0, ma prima e dopo dell’istante = 0 non abbiamo più nulla (la funzione è nulla).

Se consideriamo un sistema lineare e stazionario allora otteniamo lo I.U.H. 3

Adesso dimostriamo che, se applichiamo le proprietà di linearità e stazionarietà troviamo

l’integrale di convoluzione.

Applichiamo all’istante che da cioè, la portata coincide con l’IUH

() = 0 () ≡ ℎ()

Utilizzando la proprietà di stazionarietà: se applichiamo all’istante allora

( ) ( )

= ≡ ℎ( − )

Possiamo considerare che la precipitazione areale è composta da tanti contributi di durata

infinitesima. In figura abbiamo una pioggia areale in forma continua in cui consideriamo un certo

istante e un intervallino infinitesimo .

La precipitazione (zona tratteggiata) avrà un volume pari a: () ∙

Quale sarà la risposta del sistema a questa precipitazione?

Questa precipitazione è impulsiva, perché dura un ma non è unitaria, perché il suo volume non è

,

pari a 1. (se fosse stata unitaria allora sarebbe h(t-)

Per il principio di linearità la risposta alla precipitazione sarà quella unitaria moltiplicata per il volume:

ℎ( ) ()

− ∙

Questa risposta, siccome il volume ∙ è infinitesimo, la chiamiamo

() ().

( ) ℎ( ) ()

= − ∙

Basta applicare la proprietà di linearità, cioè, applichiamo la sovrapposizione degli effetti,

osservando che la portata al tempo è la somma degli effetti (quindi dei di tutte le piogge che si

)

sono verificate tra l’istante 0 e l’istante quelle successive al tempo non possono avere nessun

,

effetto. Dobbiamo sommare i contributi di portata dovuti a queste precipitazioni, quindi

semplicemente dobbiamo svolgere l’integrale:

() ()( )

∫ ∫

= = −

4

Proprietà dello I.U.H.

• Non può avere valori negativi, cioè: , cioè non avrebbe

() ≥ ≥ →

- nessun senso fisico una portata negativa , cioè non si può

() = < → è

- avere una risposta (portata) prima che il sistema sia stato sollecitato (prima che sia

piovuto). Quindi la portata prima dell’istante dell’applicazione della pioggia è nulla.

• Volume unitario a t = ∞ poiché è una portata che consegue ad una precipitazione unitaria

ℎ()

e impulsiva applicata all’istante = 0

∞ ()

∫ =

• Integrale di convoluzione

() ()( )

∫

= −

Possiamo quindi tramite questo integrale calcolare qualsiasi portata di pioggia.

Se p fosse costante nel tempo, cioè, se ̅

() = =

Allora () ℎ( )

= ̅ −

∫

0 =0 → =

(

= − ) ⇒ = − { = → =0

0 (ho tolto il meno invertendo gli estremi di integrazione)

−ℎ( ) ()

̅

= ̅ =

∫ ∫

area sottesa dall’idrogramma unitario istantaneo da 0 e t < 1 (poiché lo IUH

Con ()

∫

ha valore unitario tra 0 e infinito)

Se allora ottengo la curva a s (o risposta a gradino):

̅ = 1

( ) ℎ()

∫

=

0

Solitamente con la risposta sarà la curva a s moltiplicata per

̅ ≠ 1 ̅ 5

Modelli IUH

Modelli a memoria finita: oltre il valore t il valore dello IUH sarà uguale a 0, quindi il modello ad un

b

certo punto si annulla una volta terminata la pioggia. (modello cinematico)

Modello a memoria infinita: il modello non perde mai memoria di quello che è successo. (modello

dell’invaso)

L’ipotesi di linearità e stazionarietà è compatibile con la realtà? In parte, perché:

• Stazionarietà, significherebbe che due piogge uguali una a luglio e una a gennaio, porterebbero

la stessa portata;

• Linearità, significherebbe che, se raddoppio la pioggia raddoppio la portata

Entrambe le ipotesi, quindi, non sarebbero vere a causa dello stato del terreno (infiltrazione ed

imbibizione).

Però se considero la pioggia netta (cioè, al netto delle infiltrazioni) allora le due ipotesi sono accettabili.

Quindi noi utilizzeremo modelli che trasformano la pioggia netta in deflusso con queste ipotesi. 6

MODELLO DEL SERBATOIO LINEARE (O DELL’INVASO LINEARE O DELL’INVASO)

Consideriamo che il nostro bacino sia assimilabile ad un

serbatoio nel quale entra una certa portata di pioggia ()

(portata di pioggia netta) e ne esce una portata (portata

()

deflusso superficiale ), il serbatoio contiene un certo

volume ().

Applichiamo l’equazione di conservazione della massa.

Consideriamo un intervallo di durata infinitesima +

, .

Il volume infinitesimo di acqua che entra nel serbatoio

nell’intervallo infinitesimo è pari a se moltiplichiamo per la densità otteniamo:

(),

la massa che entra nel serbatoio ( e la massa che esce dal serbatoio (

()) ()).

La massa al tempo presente nel serbatoio è la massa al tempo + presente nel serbatoio è

(),

( + e la variazione di massa è pari alla differenza tra massa entrante e massa uscente ed è pari

)

a (). − = = cost − =

→ →

() () () () () ()

Dividiamo per primo e secondo membro otteniamo l’equazione di continuità:

(1)

Nel problema pratico conosciamo ma non conosciamo né né Il nostro serbatoio ha la

() () ().

proprietà di essere lineare quindi sappiamo che esiste una relazione che lega la portata uscente al

volume contenuto ovvero:

, = (2)

() ()

Con: costante caratteristica del serbatoio (ha le dimensioni di un tempo).

Se alla (1) sostituiamo la (2) e portiamo al primo membro tutti i termini che contengono e al secondo

()

si ha:

() (3)

Qual è lo IUH del modello lineare? ⁄

Risolviamo l’equazione (3) e moltiplichiamo primo e secondo membro per e dividiamo per

:

⁄

Il primo membro è la derivata rispetto al tempo di , quindi possiamo scrivere:

() ∙ 7

Moltiplichiamo primo e secondo membro per e facciamo l’integrale:

(N.B: per evitare equivoci la variabile di integrazione

lo chiamiamo mentre è l’estremo di integrazione).

⁄

Spostiamo il termine a secondo membro e otteniamo:

⁄

Portiamo il termine dentro l’integrale e otteniamo:

−

CONFRONTIAMO con

→

l’espressione generale

dell’integrale di convoluzione →

Possiamo notare che: I.U.H MODELLO DELL’INVASO

→

L’idrogramma unitario istantaneo del metodo del serbatoio lineare non è altro che una

esponenziale negativa, in cui è un coefficiente positivo, il cui andamento grafico è il seguente:

1

Al tempo = 0 → (0)

ℎ = ⁄

la curva tende a 0 per → ∞.

La curva possiede le seguenti proprietà:

- ha valori positivi;

- è definita per ≥ 0 (lo imponiamo noi);

- l’area sottesa dalla curva è pari a 1.

Modello a memoria infinita

-

Al variare di supponiamo di prendere un >

,

2 1

il punto sulle ordinate si sposta e otteniamo una

curva meno ripida rispetto all’altra.

Lo IUH è la risposta del sistema ad una

sollecitazione unitaria ed impulsiva ma a noi

interessa la risposta del sistema ad una pioggia

reale. La risposta del sistema ad una pioggia

reale la ricaviamo tramite l’integrale di

convoluzione. 8

Data una generica pioggia possiamo, considerando il

contributo dei vari elementini infinitesimi, applicare l’integrale

di convoluzione e dire che la portata al tempo è:

Vedremo in seguito che non si svolge l’integrale ma si

discretizza la precipitazione, per intervallini di tempo piccoli

finiti (ma non infinitesimi), si trasforma l’integrale in una

sommatoria e si risolve.

Se la forma della è semplice si può pensare di lavorare per via

analitica, per esempio se avesse una forma triangolare si

potrebbe pensare di risolvere l’integrale suddetto.

Il caso più semplice a cui facciamo riferimento è il caso in cui

la precipitazione è costante tra 0 e e poi cessa.



Consideriamo un tempo ≤ e risolviamo l’integrale di convoluzione

Essendo = = possiamo portate fuori dal segno di integrale:

()

Eseguiamo un cambio di variabile e poniamo = – quindi calcoliamo gli estremi di

= −,

integrazione: e otteniamo:

Possiamo invertire gli estremi di integrazione e togliere il segno meno:

Sappiamo quanto vale h (t) (cioè, lo IUH del serbatoio lineare) quindi l’integrale diventa:

per tempo ≤

(1) 9

⁄

Al tempo = 0 la portata = 0 e il fattore quest’ultimo

−

=

è un numero che diventa più piccolo a mano a mano che

cresce.

Se rappresentiamo l’idrogramma otteniamo la linea in grassetto.

Se continuasse a piovere (cosa che in realtà non succede)

otteniamo la linea tratteggiata e la →

() .

Quando smette di piovere, a tempo > l’integrale di convoluzione può essere spezzato in due parti:

Eseguiamo un cambio di variabile e poniamo quindi calcoliamo gli estremi di

= − = −,

integrazione: e otteniamo:

Possiamo invertire gli estremi di integrazione e togliere il segno meno

Sappiamo quanto vale h (t) (cioè, lo IUH del serbatoio lineare) quindi l’integrale diventa:

⁄

Mettiamo in evidenza il termine :

−

per tempo >

Per tempo t= (utilizzando la formula per tempo ≤ sappiamo che la portata al termine della pioggia

)

corrisponde a:

− (2)

= [1 − ]

Quindi l’equazione per tempo > diventa:

se:

(3) 10

Quindi:

• Il primo ramo (ramo ascendente o di concentrazione) ha equazione (1)

• se lo calcoliamo al tempo = otteniamo

.

• Il secondo ramo (ramo di esaurimento) ha equazione (3)

• La portata si smorza nel tempo tendendo al valore nullo.

- l’area \\\ (tratteggio obbliquo) della curva fino al

tempo corrisponde al volume di deflusso avvenuto

fino all’istante ;

- l’area ≡ (tratteggio orizzontale) della curva dopo

l’istante corrisponde al volume di deflusso

avvenuto dopo l’istante e equivale all’area

punteggiata ∴

Sommando le due aree otteniamo il volume piovuto.

Quindi se facessimo l’integrale otterremmo la portata : 11

MODELLO DELLA CASCATA DI SERBATOI LINEARI (O MODELLO DI NASH)

Si immagina che ci siano dei serbatoi disposti in serie e che

questi abbiano tutti la stessa costante k (potrebbero avere

anche costanti diverse).

Con riferimento alla fig. che rappresenta il modello, si nota che

nel primo serbatoio in testa alla serie entra la sollecitazione p(t)

mentre l’uscita dall’ n-esimo e ultimo serbatoio è q(t). Noi

vogliamo c