Costruzioni idrauliche - parte 2

COSTRUZIONI IDRAULICHE - MODULO 2

RICHIAMI DI IDRAULICA DELLE CORRENTI A PELO LIBERO

DEFINIZIONI PER UNA CORRENTE A PELO LIBERO

Una corrente si dice a PELO LIBERO quando ha la parte superiore a contatto con un gas a pressione

costante. La corrente può essere LINEARE (filetti liquidi paralleli e rettilinei) o GRADUALMENTE

VARIATA (filetti liquidi paralleli e curvi) e la curvatura è trascurabile.

Grazie a ciò possiamo fare 3 ipotesi semplificative:

1. Le sezioni perpendicolari alle traiettorie sono piane, l’intersezione tra la sezione piana e la

superficie mi definiscono la quota, il pelo libero si definisce creando tante sezioni piane, questo

ci permette di studiare il problema in modo unidimensionale usando l’ascissa curvilinea X.

2. La distribuzione delle pressioni segue la legge idrostatica.

ℎ = + =

3. Per pendenze di alveo molto piccole le sezioni piane si possono considerare verticali e

perpendicolari alle traiettorie, ciò comporta che linea dei

carichi piezometrici coincida con il pelo libero ed è unica.

3

2

∫

∝

=ℎ+ ∝= 3

2

Possiamo fare delle considerazioni sulle sezioni trasversali e definire

− A: area bagnata

− P: perimetro bagnato

− R: raggio idraulico, cioè il perimetro che esercita resistenza al moto della corrente. Un suo caso

∗ℎ

speciale (sezione rettangolare larghissima) si ha per B>>h = = ≅ ℎ

∗2ℎ

CARATTERIZZAZIONE ENERGETICA DI UNA CORRENTE

L’energia specifica E è il carico totale riferito al fondo dell’alveo, assumendo Q=cost.

2 2

∝ ∝

=ℎ+ =ℎ+ = ∗

2

2 2

Tramite grafico si può osservare l’andamento di E rispetto

ad h, vediamo quindi che esistono diversi livelli energetici

con il quale può transitare la portata.

;

ℎ → 0 →∞ ℎ → ∞ →ℎ 1

Il punto minimo è detto STATO CRITICO, se h=k è detta ALTEZZA CRITICA: (1° definizione: l’altezza

critica è quella condizione in cui Q transita con E ).

min

Per livelli energetici superiori allo stato critico la portata può avere due tiranti diversi ed essere,

CORRENTE VELOCE o CORRENTE LENTA.

k separa il grafico in due regioni e abbiamo:

− h<k correnti veloci, è predominante il termine cinetico di E

− h>k correnti lente, è maggiore l’energia potenziale.

CONDIZIONI DI STATO CRITICO

L’altezza critica è quella condizione in cui Q transita con E

min

=0

ℎ

2 2 2

∝ ∝

[ℎ + ]= 1− = 1−∝ =0

2 2 4 3

ℎ 2 4 ℎ ℎ

2

∝

=1− =0

3

ℎ

3 2

∝

= → à

2

1 − = 0

Se 2

< 1 → > 0

ℎ

Se 2

> 1 → < 0

ℎ

Fr è il numero di Froude, è adimensionale e legato allo stato perturbativo della corrente.

2

∝ ∝

√ √

= = = = =

√ℎ

√ ∝

si definisce la VELOCITA’ CRITICA (per sezione rettangolare )

⁄ √

= ℎ = → = = √

∝

3 2

Da è possibile ricavare k per una qualsiasi sezione. Per una sezione rettangolare la trovo

=∝

moltiplicando per il termine :

2

⁄

1

3 2 3 2 3 2 2 2

()

1 1 ∝ ∝

3 3

√ √

=∝ → =∝ → =∝ → = = =

2 2 3 2 2

Con: = →

2

quindi E in corrispondenza di k vale

= + ∝≅ 1

min 2 3

per sezione rettangolare larghissima (forse) si può approssimare →

= = + =

√

2 2

Quindi le equazioni fondamentali dello stato critico sono:

∝

1) ; 2) ; 3) ; 4)

√ √

=∝ = = = =

√

∝ 2

CURVA CARATTERISTICA DELLE PORTATE

Mettiamoci nelle condizioni che E=cost e Q=variabile, scrivendo in funzione di h.

2

∝ 2

√ (

=ℎ+ → = − ℎ)

2

2() ∝

Assegnato un livello energetico, ci sono infiniti valori

di portata che possono transitare tra un minimo e un

valore massimo. Per:

− h<k, ho correnti veloci

− h>k, ho correnti lente

2° definizione: l’altezza critica è quella altezza a cui corrisponde la massima portata Q in transito, a

max

parità di energia.

CONDIZIONI DI MOTO DI CORRENTI A PELO LIBERO

Ricaviamo le equazioni utili al tracciamento dei profili, partiamo dall’equazione di Bernoulli

(equazione alle derivate parziali che descrivono il moto vario delle correnti a pelo libero in regime di

corrente graduale e fluido reale). 1

+ = −

Si esplicita il termine H

2

1

[ + + ] + = −

2

infine, derivando per X:

ℎ 1

+ + =− =

Possiamo poi scrivere l’equazione di continuità

+ =0

E mettendo a sistema otteniamo le equazioni di De Saint Venant

ℎ 1

+ + =−

+ = 0

{

Adesso vediamo come variano applicando alcune ipotesi semplificative:

1. moto uniforme: le tre quantità V, A, h non variano nello spazio e nel tempo in qualsiasi punto. È

quindi possibile scrivere: =

Grazie a questa ipotesi possiamo scrivere la cadente J tramite la formula di CHEZY

2

1

⁄

= = 6

2

Sostituendo in è possibile ricavare la portata di moto uniforme

= 2 1

⁄ ⁄

=

3 2

3

Da questa è possibile definire il legame per la scala dei deflussi

= (ℎ) 2 5

= ℎ ℎ [ ; ]

3 3

2. Moto uniforme e con sezione larghissima Rh l’equazione di moto uniforme diventa

5 1

⁄ ⁄

= ℎ

3 2

Dalla quale si ricava L’altezza di moto uniforme 3

⁄

5

ℎ = ℎ = [ ] (1)

0 1

⁄

2

ATTENZIONE! “Queste formule che fissano l’ipotesi di moto uniforme vanno utilizzate solo

quando le condizioni permettono di avere questo specifico moto ad Es. un canale artificiale

senza perturbazioni o in un canale larghissimo perché non sono condizioni generali”.

Nota Q si può ricavare h dalla formula (1) e poi k sostituendo in .

=∝

0

Sulla base del confronto tra k e h si possono verificare tre condizioni:

0

• → →

h < k Alveo forte pendenza i > i

0 c

• → →

h > k Alveo debole pendenza i < i

0 c

• → →

h = k Alveo pendenza critica i=i

0 c

OSSERVAZIONE: nello stesso alveo in base alla portata Q fluente, l’alveo può avere

pendenza forte, debole o critica. Come varia i in funzione della portata?

c

Mettendoci sempre nell’ipotesi di sezione larghissima, moto uniforme e Q fissata.

Considerando l’equazione della portata specifica di Chezy → =

√ℎ

0

2

3

Possiamo esplicitare h → √

ℎ =

0 0 2

2

3

Sapendo che √∝

=

In condizioni critiche h =k quindi i=i

→ o c

Uguagliando le formule possiamo ricavare i c

2 2

3 3

√ √

ℎ = → = ∝ → =

0

2 2

∝

Si può rappresentar anche graficamente la funzione = ()

3. Moto permanente, vuol dire che non c’è una variazione temporale ma solamente spaziale le

equazioni di De Saint Venant in moto permanente sono:



=0 Q = cost

+ =0

→ 2

ℎ 1 ℎ 1

+ + =− + [ ]=−

3

{

{ ℎ −

Per alveo prismatico e tramite una dimostrazione otteniamo =

→ 2

1− 4

Quindi possiamo analizzare diversi casi:

• Nel caso di:

moto uniforme i=J con h=h

o 0

moto permanente si può avere:

o h>h (corrente lenta) a portata Q costante, tanto più grande è il tirante con cui transita la

▪ 0

portata tanto più bassa sarà la velocità e allora tanto minore sarà la J. Quindi J<i e quindi

i-J>0.

h<h (corrente veloce) a portata Q costante, la corrente sarà più veloce di quella nel caso

▪ 0

di moto uniforme, si avrà una perdita maggiore di J.

Quindi j>i e quindi i-J<0.

• Essendo che Fr =1 in condizione critiche: per correnti veloci h<k >1 quindi 1-Fr <0, mentre, per

→Fr

2 2 2

correnti lente h>k Fr <1 quindi 1-Fr >0

→ 2 2

• Se h→ h , allora j→i, quindi dh/dx→0, il profilo tende al moto uniforme asintotico mettendosi in

0

orizzontale

TRACCIAMO DEI PROFILI IN CONDIZIONI DI MOTO PERMANENTE

Nomenclatura adoperata:

• D1 o M1, corrente lenta in alveo a debole pendenza e ritardata verso valle.

• D2 corrente lenta in alveo a debole pendenza e accelerata verso valle (tende a k verso valle).

• D3 corrente veloce in alveo a debole pendenza e ritardata verso valle (tende a k verso valle).

• F1 corrente lenta in alveo a forte pendenza ritardata verso valle (a monte tende a k).

• F2 corrente veloce in alveo a forte pendenza accelerata verso valle (a monte tende a k).

• F3 corrente veloce in alveo a forte pendenza ritardata verso valle (a monte ha un asintoto verticale).

5

SOLUZIONE NUMERICA DEL PROFILO DEL PELO LIBERO IN MOTO PERMANENTE

In condizioni di moto permanente, le equazioni di De Saint Venant diventano:

=

ℎ

{ =− ò ℎ =−

La soluzione può essere cercata per via numerica implementando il metodo delle differenze finite.

Ipotizzando che nel tratto d'alveo studiato, la pendenza al fondo i sia costante, si può suddividere il

x, ,

tratto in piccoli intervalli non necessariamente regolari. Le derivate diventano delle differenze

per cui, tra la sezione k-esima e (k+1) -esima, si avrà:

∆

,+1 ̅

= −

,+1

∆

,+1

Consideriamo un corso d'acqua con corrente lenta, altezza

di moto uniforme al di sopra dell'altezza critica; quindi,

corrente lenta influenzata da vale che sbocca in un lago con

una quota superiore. Ci si trova nella zona di tiranti maggiori

dell'altezza di moto uniforme. Il profilo di corrente superiore

ad h in alveo a debole pendenza è il profilo D , in corrente

0 1

ritardata. Il rigurgito allo sbocco influisce su un innalzamento

del livello a monte, bisogna valutare la distanza x dallo

sbocco alla quale si ritorna in condizioni di altezza di

moto uniforme.

Il tirante di sbocco h è noto, devo calcolare:

k 2 2

con

∆ = − = ℎ +∝ = ℎ +∝

,+ +1 +1 +1

2 2

2 2

+1

2 2

+

̅ con

+1

= = =

+1

4 4

⁄ ⁄

2 2 3 2 3

2 2

+1

+1

Esistono due algoritmi risolutivi diversi:

1. DIRECT SPEP

È utilizzato solo negli alvei artificiali con geometria costante quindi A e R non cambiano. I passaggi

k k

sono:

1. Noto h ricavo A , R di conseguenza trovo E , J .

k k k k k

2. Fisso h ricavo A , R di conseguenza trovo E , J .

k+1 k+1 k+1 k+1 k+1

3. Calcolo ∆ = −

,+ +1

∆

4. Infine, calcolo ,+1

∆ =

,+ ̅

−

,+1 6

2. STANDARD STEP

Negli alvei naturali la geometria è piuttosto variabile, pertanto è molto probabile che non si conosca la

geometria della sezione k+1. Solitamente i corsi d'acqua naturali vengono discretizzati con delle

x

sezioni trasversali, i sono noti e non si devono fissare arbitrariamente. Quindi tramite questi valori

noti, si vanno a calcolare tutte le grandezze:

1. Noto h ricavo A , R di conseguenza trovo E , J .

k k k k k E’

2. Calcolo A’ , R’ di conseguenza ricavo E’ e poi

k+1 k+1 k+1 k,k+1

E’’

3. Calcolo =(i-J )x

k,k+1 k,k+1 k,k+1

E’E”

4. Ripeto i passi fino a quando

RISALTO IDRAULICO

Il passaggio da una corrente veloce ad una lenta avviene attraverso una forte dissipazione di energia

con seguente brusco sollevamento del pelo libero. Questa variazione genera un vortice turbolento

dissipativo, il risalto idraulico. In un risalto idraulico le due altezze coniugate sono caratterizzate da un

valore di energia specifica diverso (E ≠E ).

1 2

Il risalto idraulico si determina eguagliando le due spinte che si creano prima del risalto idraulico e dopo

di esso nei punti dove i filetti liquidi sono nuovamente paralleli.

+ = +

1 1 2 2

2

= ℎ +

Ci si appoggia anche al grafico. ATTENZIONE! (guardare appunti idraulica per studio completo).

CASO DI UN RESTRINGIMENTO ARGINALE CONDIZIONI DI NON LINEARITA’

ATTENZIONE! “l’argomento di studio tornerà utile nella trattazione delle Briglie”

La condizione generale del restringimento di un canale con corrente lenta è che si ha una perdita di

linearità nel passaggio da B a b siccome questa perdita è minima la possiamo trascurare poiché

essendo il tratto molto breve la perdita di energia rimane costante. Condizioni: → . → .

Un esempio di restringimento può essere il passaggio attraverso le pile di un ponte con debole

pendenza i<i e possiamo avere due casi:

c

1. CASO (energia sufficiente) DEBOLE RESTRINGIMETO

Per studiarlo si fa l’ipotesi di E costante, che ci permette di

sfruttare il legame della curva caratteristica delle portate. Il

passaggio da q =Q/B a q =Q/b, in condizioni di corrente lenta

1 2

ed E=cost, avviene passando dal tirante h ad h . Essendo h ,

01 02 02

non più in condizioni di moto uniforme, si deve disegnare il

profilo di moto permanente, si parte da h creando un profilo D1

02

con asintoto orizzontale verso valle che tende verso monte con l'altezza di moto uniforme. 7

Questa arriva con una certa portata specifica q, considerando il

cambiamento della sezione la portata specifica aumenta, q >q , h si

2 1

abbassa per via del moto permanente e poi ritorna ad essere inalterato

nelle condizioni di moto uniforme. (Se la corrente fosse stata veloce,

quindi alveo a forte pendenza, il profilo si traccia da monte, partendo da

q per arrivare a q ).

1 2

2. CASO (energia insufficiente) FORTE RESTRINGIMENTO

Siamo nel caso di alveo a debole pendenza h >k e corrente lenta.

0

Nella condizione di livello energetico E la portata specifica nel restringimento q=Q/b è maggiore di

0

quella che potrebbe transitare q . Allora è necessario un nuovo LIVELLO ENERGETICO MINIMO. Per

max

studiarlo lo suddividiamo in tre tratti:

− Tratto 1 (prima del restringimento)

Abbiamo una corrente lenta ritardata D1 con

valore di portata specifica q =Q/B

1

− Tratto 2 (zona del restringimento)

− Tratto 3 (dopo il restringimento)

Con il livello E la portata massima che può

0

transitare è q , essendo il restringimento molto

max

forte, la nuova portata specifica q=Q/b non interseca la curva, questo vuol dire che quella portata con

quel livello energetico non passa cioè, non ha energia a sufficienza per vincere le resistenze della

sezione molto ridotta. Il livello energetico più basso che permette questo superamento è lo stato

critico per cui si ha una nuova curva con livello E’